Синтез цифровых автономных многомерных систем управления с применением периодических структур
Введение
Рассмотрена теория синтеза автономных многомерных цифровых систем управления, основанная на структурном представлении обратных операторов. Полученные результаты позволяют проводить синтез многомерных линейных систем с использованием математического аппарата синтеза одномерных систем управления. Кроме того, открываются широкие возможности в эффективном использовании современной компьютерной техники (контроллеров) в управлении многомерными объектами.
В настоящее время в мире выпускается широкая номенклатура компьютерных средств для управления промышленными объектами. В арсенале известных фирм имеются необходимые технические и программные средства для реализации систем управления, начиная от этапов проектирования до их внедрения в производство. Характерным моментом для всех производителей современных средств автоматизации является практическое отсутствие технических и программных продуктов, предназначенных специально для управления многомерными объектами. Это неслучайно и обусловлено как многообразием многомерных объектов управления, так и недостатком инженерных методик синтеза многомерных САУ, позволяющих применить аппарат синтеза одномерных систем автоматического управления к синтезу многомерных систем. Данная идея в свое время впервые была высказана И.Н. Вознесенским, однако остается актуальной и по сей день [1].
Проектирование автономных многомерных систем автоматического управления (МСАУ) связано с решением линейного операторного уравнения, имеющего вид [2-4]
где U, F- метрические пространства с соответствующими метриками и ; A - непрерывный оператор.
Под решением операторного уравнения, приведенного выше, понимается, что каждому элементу соответствует . Понятие «устойчивости» решения на паре пространств (F, U) подразумевает выполнение критерия Коши [2, 5]. Сложность данного уравнения заключается в том, что решение не может быть найдено для произвольной правой части.
Структурное представление обратного оператора в банаховом пространстве
Функционирование обратного оператора в системах реального времени связано с решением проблем устойчивости и физической реализуемости. Решение операторного уравнения (1), связанного с нахождением обратного оператора, представлено в [6, 7]. Приведем их краткое содержание, основные определения и результаты.
В [6] предлагается алгоритм решения обратных задач, базирующийся на структурном представлении обратных операторов в виде периодической структуры следующего вида (рис. 1).
Рис. 1. Структурное представление обратного оператора A-1
автоматический цифровой управление
Здесь I - тождественный оператор, A - некоторый непрерывный оператор, отображающий множество F в U.
Введены следующие понятия [6].
Определение 1. Оператор A0 называется стабилизирующим оператором, если для заданного прямого оператора A выполняется условие
, (2)
где I - тождественный оператор.
Норма (2) определяется в каждом случае конкретно.
Определение 2. Структура, представленная на рис. 1, называется фундаментальной, если последовательность операторов, описывающая данную структуру, при неограниченном увеличении количества периодических ячеек данной структуры является фундаментальной последовательностью в соответствующем пространстве.
Пусть в (1) U, F - банаховы пространства.
Лемма. Для того чтобы представленная на рис. 1 периодическая структура была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы оператор A0 являлся стабилизирующим оператором.
Теорема. При выполнении условия фундаментальности периодической структуры фундаментальная структура является ограниченной, а оператор периодической структуры сходится к обратному оператору A-1.
1.Структурное представление обратной передаточной матрицы многомерного объекта управления с дискретным временем
автоматический цифровой управление
С целью структурного представления обратной передаточной матрицы дискретного многомерного объекта управления приведем уравнения многомерного объекта управления и решения этих уравнений. В пространстве состояний они имеют вид
где дискретное время, Ad - динамическая матрица, - матрица управления, - матрица выходных координат для дискретного объекта управления,- вектор состояния, - управления, - выходных координат.
Решение уравнений объекта имеет вид
; (4)
,
где - начальный момент дискретного времени, матрица перехода выражается через фундаментальную матрицу следующим образом: .
Уравнения (4, 5) являются дискретными аналогами соответствующих интегральных уравнений для непрерывных систем управления. Естественно, все проблемы решения обратной задачи сохраняются и для уравнений (4, 5). Рассмотренные выше определение, лемма и теорема аналогичным образом формулируется и для передаточной матрицы дискретного многомерного объекта управления.
По аналогии с приведенным выше структурным представлением обратного оператора в банаховом пространстве синтезирована периодическая структура, физически реализующая обратную передаточную матрицу многомерного линейного минимально-фазового объекта управления с дискретным временем (рис. 2).
В соответствии с общефункциональным подходом приведем некоторые понятия применительно к теории автоматического управления.
Рис. 2. Структурное представление обратной передаточной матрицы многомерного объекта управления с дискретным временем: z оператор сдвига, zd выход дискретной периодической структуры
Определение. Назовем передаточную матрицу стабилизирующей матрицей, функционал стабилизирующим функционалом, а представленную на рис. 2 передаточную матричную структуру фундаментальной, если последовательность периодических структур передаточных матриц при неограниченном увеличении количества периодических ячеек данной структуры описывается фундаментальной последовательностью передаточных матриц.
В выражении функционала - передаточная матрица объекта управления с дискретным временем.
Лемма. Для того чтобы представленная на рис. 2 периодическая передаточная матричная структура была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы стабилизирующий функционал удовлетворял условию
.
Доказательство для систем управления с дискретным временем аналогично доказательству, приведенному в [6] для обратного оператора в банаховом пространстве.
Теорема. При выполнении условия фундаментальности периодической структуры при неограниченном увеличении числа периодических ячеек фундаментальная структура является ограниченной, непрерывной и сходится к обратной передаточной матрице модели линейного минимально-фазового объекта управления.
Доказательство приведено там же.
Из изложенного очевидны аналогии в определениях и теоремах для абстрактного банахового пространства и для пространства передаточных матриц линейных многомерных объектов управления. Таким образом, структурное представление обратной передаточной матрицы линейного минимально-фазового объекта по аналогии с определением обратного оператора линейного банахова пространства базируется на соотношении
Индексом обозначено количество ячеек, - передаточная матрица, описывающая фундаментальную структуру длиной .
Частотный диапазон, в котором выполняется условие (6), назовем интервалом регуляризации. Таким образом, в интервале регуляризации матрица периодической структуры сходится к обратной передаточной матрице объекта управления, и физическая реализация обратной задачи в системах с причинно-следственными связями (системах реального времени) возможна только в интервале регуляризации.
Для характеристики качества развязки каналов управления введем понятие обобщенных частотных характеристик последовательного соединения периодической структуры и многомерного объекта управления, представляющего частотные характеристики произведения диагональных элементов их результирующей передаточной матрицы. Обобщенная АЧХ в интервале регуляризации при достижении высокого уровня автономности близка к единице, а обобщенная ФЧХ близка к нулю.
Область частот, лежащая вне интервала регуляризации, определяет погрешность решения обратной задачи для систем реального времени и принципиально не может быть сведена к нулю. Полученные результаты позволяют синтезировать корректирующие звенья для достижения автономности по вектору управляющих сигналов и инвариантности к вектору возмущающих воздействий в системах автоматического управления в интервале регуляризации.
2.Анализ динамических свойств дискретного объекта управления с периодической структурой
Рассмотрим многомерный объект с двумя входами и двумя выходами с непрерывным временем, описываемый следующей передаточной матрицей:
.
Передаточная матрица соответствующего дискретно-совпадающего объекта управления с экстраполятором первого порядка, найденная в среде MATLAB, имеет следующий вид:
Структурная схема дискретно-совпадающей модели объекта управления с периодической структурой с шагом дискретизации ф = 0.01 показана рис. 3.
Рис. 3. Структурная схема дискретно-совпадающей модели объекта управления с периодической структурой с шагом дискретизации ф = 0,01
Степень развязки входов от несобственных выходов (степень достижения автономности) может быть оценена по реакции системы на векторный управляющий сигнал вида col (1 0) и col (0 1) (рис. 4, 5).
Рис. 4. Реакция системы управления на задающий сигнал col (1 0)
Как следует из результатов моделирования, представленных на рис. 4 и 5, степень влияния входов на несобственные выходы в системе «объект управления - периодическая структура» в интервале времени 0-0.025 сек составляет 6-7 процентов на рис. 4 и более 100 процентов на рис. 5, что объясняется конечной длиной интервала регуляризации и наличием высокочастотной части, лежащей вне данного интервала на обобщенной частотной характеристике.
Проведем анализ графиков, представленных на рис. 4. В интервале времени 0,025-0,04 сек указанное влияние составляет не более 4 процентов. Далее влияние интенсивно уменьшается, и после отметки времени, равной 0.23 сек, влияние первого входа на второй выход составляет не более 1 процента. В установившемся режиме достигается полная автономность.
Рис. 5. Реакция системы управления на задающий сигнал col (0 1)
автоматический цифровой управление
Анализ графиков, представленных на рис. 5, показывает, что после отметки времени 0.23 сек влияние на несобственный выход тоже не превышает 1 процента, а в установившемся режиме также достигается полная автономность.
Таким образом, наличие высокочастотной части периодической структуры, лежащей вне интервала регуляризации, отрицательно влияет на качество достижения автономности. Однако это является неизбежным моментом в достижении динамической компенсации в системах реального времени. Ниже будет рассмотрен вопрос уменьшения влияния высокочастотной составляющей периодической структуры.
3.Анализ частотных свойств дискретного объекта управления с периодической структурой
Оценку частотных свойств рассматриваемой системы проведем на базе обобщенных частотных характеристик, вычисленных по следующим формулам. Введем следующие матрицы.
, , n = 6 , ф = 0.01, (10)
где - длина фундаментальной последовательности, - интервал дискретизации.
Стабилизирующую матрицу вычислим по формуле
. (11)
Тогда передаточная матрица периодической структуры примет вид
. (12)
ЛАЧХ и ФЧХ вычислим по формулам
; (13)
. (14)
Во всех приведенных формулах щ - частота.
Соответствующие графики показаны на рис. 6 и 7.
Как следует из рис. 6, 7, в интервале регуляризации периодическая структура (динамический компенсатор) - объект управления представляет собой безынерционное звено с единичным коэффициентом усиления.
Рис. 6. Обобщенные ЛАЧХ при различном числе ячеек структуры: А1(щ) - при n = 6; А2(щ) - при n = 10; А3(щ) - при n = 13
Рис. 7. Обобщенные ФЧХ при различном числе ячеек структуры: ц1(щ) - при n = 6; ц2(щ) - при n = 10; ц3(щ) - при n = 13
4.Редукция многомерного объекта управления к совокупности одномерных типовых объектов с дискретным временем
автоматический цифровой управление
Как показал анализ переходных характеристик системы «объект управления - периодическая структура», а также анализ обобщенных частотных характеристик этой же системы, наличие высокочастотной части, лежащей вне интервала регуляризации, ухудшает качество управления. Наблюдается «просачивание» высокочастотной части спектра управляющего сигнала в несобственный выход. Для окончательной развязки входов от несобственных выходов логично в интервале регуляризации провести цифровую низкочастотную фильтрацию управляющих сигналов. Параметры низкочастотного фильтра (НЧФ) определяются интервалом регуляризации.