Размещено на http: //www. allbest. ru/
Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Синтез алгоритмов оптимального управления процессом индукционного нагрева массивного тела
М.Х. Лапицкая
E-mail: lapitskaya@bk.ru
Аннотация
тепло управление алгоритм алюминиевый
Мария Хамильевна Лапицкая - аспирант.
В данной работе решается задача поиска оптимального алгоритма управления внутренними источниками тепла в системе с обратной связью для стабилизации температурного поля внутри алюминиевой пластины. Рассмотрен метод последовательных приближений для определения коэффициентов данного алгоритма.
Ключевые слова: объект с распределенными параметрами, критерий оптимальности, метод последовательных приближений, температурное поле, удельная мощность внутренних источников тепла.
Введение
Задача синтеза замкнутой системы оптимального управления с обратными связями для процессов индукционного нагрева является одним из перспективных направлений, поскольку подобные системы могут обеспечить автоматическую обработку оптимальной программы управления с допустимой погрешностью в реальных условиях ограниченной неопределенности характеристик объекта с распределенными параметрами и воздействия различных возмущений.
В данной работе решается задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) для управления процессом индукционного нагрева алюминиевой пластины, рассматриваемой как объект управления с распределенными параметрами (ОРП). Рассматривается случай полного измерения функции состояния, представляющей собой распределение температурного поля по пространственной координате и во времени В работе формулируется задача поиска оптимального алгоритма управления внутренними источниками тепла определяемого как функция величины , для стабилизации температурного поля относительного невозмущенного состояния.
1. Постановка задачи АКОР
Рассмотрим задачу АКОР при управлении распределением температурного поля по толщине неограниченной пластины. Для объекта управления, описываемого в отклонениях от невозмущенного состояния уравнением теплопроводности Фурье следующего вида:
(1)
с граничными и начальными условиями:
(2)
требуется найти алгоритм управления с обратной связью , обеспечивающий минимум следующего критерия оптимальности:
(3)
Где
(4)
Здесь - управляющее воздействие, в роли которого выступает удельная мощность внутреннего тепловыделения, - коэффициент теплопроводности, - удельная теплоемкость, - плотность, - коэффициент температуропроводности, - коэффициент конвективной теплоотдачи, - половина толщины пластины, - переменная интегрирования по пространственной координате, и - заранее фиксируемые весовые функции.
Критерий оптимальности (3) представляет собой взвешенную сумму интегральных квадратичных ошибок приближения температурного поля на всем протяжении процесса управления к невозмущенному состоянию и энергетических затрат, оцениваемых величиной интеграла от квадрата управляющего воздействия по области его определения.
Решение задачи АКОР. Оптимальный алгоритм управления, минимизирующий критерий полученный методом динамического программирования, согласно [1] будет иметь вид:
(5)
где
- корни трансцендентного уравнения вида:
, (6)
, (7)
представляют собой моды температурного поля, определяемые по формуле:
. (8)
Числа
являются корнями системы квадратных уравнений
(9)
где
(10)
а для постоянного весового множителя определяются по формуле [1]:
(11)
Система уравнений (9) при заданных значениях , , решается методом последовательных приближений по схеме, предложенной в [1].
Сначала находятся первые приближения для коэффициентов при по формуле:
(12)
Затем по величинам находятся первые приближения для коэффициентов при , как корни квадратных уравнений:
(13)
то есть определяются по формуле:
(14)
Следующие приближения
для коэффициентов находятся по согласно выражению
(15)
Затем находятся из квадратных уравнений вида (13) заменой на :
(16)
Далее вычисления продолжаются по схеме (15) - (16) до тех пор, пока не совпадут M-ое и M+1-ое приближения и с точностью 5%.
Температурные моды, определяемые выражением (8), являются решением системы дифференциальных уравнений [1]:
(17)
Где
(18)
Подстановка в (5) позволяет найти оптимальный алгоритм управления в системе с обратной связью как явную функцию и .
Температурное поле в оптимальном процессе при управлении (5) находится по формуле [1]
(19)
Результаты вычислений. На рис. 1-5 приведены некоторые результаты вычислений для равномерного начального распределения температурного поля рассматриваемого как возмущающее воздействие, в процессе нагрева алюминиевой пластины толщиной при следующих теплофизических параметрах процесса:
критерии Био и .
В процессе вычисления методом перебора было установлено, что устойчивость процедуры последовательного приближения для коэффициентов при данных параметрах обеспечивается, если вместо -того приближения
,,
вычисляемого по формуле (15) , принять величину
(20)
с числовым множителем .
На рис. 1 представлены результаты процедуры последовательного приближения при вычислении коэффициентов без замены -того приближения на величину .
На рис. 2 представлены результаты процедуры последовательного приближения с заменой -того приближения на величину На рис. 3 представлены температурные моды, на рис. 4-5 - внутреннее распределенное управляющее воздействие в относительных единицах и температурное поле для оптимального процесса управления в различные моменты времени соответственно.
Рис. 1 Итерационный процесс вычисления коэффициентов без замены -того приближения на величину : а б в г д е
Рис. 2 Итерационный процесс вычисления коэффициентов с заменой -го приближения на величину : а б в г д е
Рис. 3 Температурные моды: 1 , 2 , 3
Рис. 4 Распределенное управляющее воздействие в различные моменты времени:1 2 3
Рис. 5 Температурное поле в различные моменты времени:1 2 3
Заключение
В результате работы получен оптимальный по критерию (3). алгоритм управления процессом нагрева алюминиевой пластины. Для расчета коэффициентов данного алгоритма в системе с обратной связью была использована методика, расчетные результаты по которой показали достаточно быструю сходимость итерационного процесса при вычислении коэффициентов. Полученные алгоритмы оптимального управления обеспечивают асимптотическую сходимость температурного поля к установившемуся состоянию, соответствующему нулевым значениям.
Библиографический список
1. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. - М.: Высш. шк., 2008.