=( 1( ) + ′1( )) + ′′1( ) + ( 2( ) + ′2( )) + ′′2( ) =
=( 1( ))′ + ′′1( ) + ( 2( ))′ + ′′2( ) = ̂( 1( )) + ̂( 2( )).
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
+ ( ( )) |
′′ |
= ( ( )) |
′ |
+ ( ( )) |
′′ |
̂ |
|||||
2) ( ( )) = ( ( )) |
|
|
|
|
= ( ). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Найдем матрицу в каноническом базисепространства 2: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, |
= , |
= 2. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
̂ |
= ( ∙ 1) |
′ |
+ (1)′′ = 1 = (1; 0; 0), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
̂ |
= ( ∙ ) |
′ |
+ ( )′′ = 2 = (0; 2; 0), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
̂ |
= ( ∙ |
2 |
) |
′ |
+ ( |
2 |
) |
′′ |
= |
3 |
2 |
+ 2 = |
(2; 0; 3). |
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
̂ |
|
|
Запишем матрицуоператора , выписывая координаты образов базисных |
||
векторов в столбцы: |
|
|
1 |
0 |
2 |
= (0 |
2 |
0). |
0 |
0 |
3 |
с) Чтобы найти образ многочлена ( ), запишем его в координатной форме
|
|
( ) = − 2 + 5 − 3 = −3 |
+ 5 |
− 1 |
= (−3; 5; −1). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
−3 |
|
−5 |
̂ |
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 10 − 5. |
||||
|
|
(0 2 0) ( 5 ) = (10) ( ) = −3 |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
3 |
|
−1 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
d) Чтобы |
найти |
ядро |
|
|
̂ |
|
|
|
|
систему |
уравнений: = |
||||||
|
|
, решим однородную |
|||||||||||||||
1 |
0 |
2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.(0 2 |
0) ( 2) = (0), |
|
rang = 3 система |
|
имеет |
единственное |
|||||||||||
0 |
0 |
3 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
̂ |
|
|||
тривиальное решение: = (0) = (0,0,0) |
|
|
|||||||||||||||
Ker = {0}. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
̂−1 |
, оператор |
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
e) Ker = {0} существует |
обратим. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Матрица обратного оператора имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
0 |
−4 |
1 |
0 |
−2/3 |
|
|
|||
|
|
|
−1 |
= |
0 |
1/2 |
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(0 |
3 |
|
|
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
0 ) = ( |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
1/3 |
|
|
||||
Задача 5 (задача 2.11* из типового расчета).
Оператор Â действует в пространстве 2 многочленов степени не выше 2
̂ ( ) = ∙ ( + ) − ∙ ′( − )
a)Показать линейность оператора.
b)Найти его матрицу в каноническом базисе пространства 2.
c)Найти образ многочлена ( ) = 4 2 + − 1.
d)Найти ядро линейного оператора Â.
e)Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
Решение:
a) Проверим линейность оператора:
2)̂( 1( ) + 2( )) = 2 ( 1( + 1) + 2( + 1)) − 2( 1( − 1) + + 2( − 1))′ = 2 1( + 1) + 2 2( + 1) − 2 ′1( − 1) − 2 ′2( − 1) =
=(2 1( + 1) − 2 ′1( − 1)) + (2 2( + 1) − 2 ′2( − 1)) =
=̂ 1( ) + ̂ 2( ).
2)̂( ( ) = 2 ( + 1) − 2 ′( − 1)) = (2 ( + 1) − 2 ′( )) =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ( )). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
b) Найдем матрицу оператора в каноническом базисе пространства 2: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, |
= , |
|
|
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
̂ |
= 2 1 − |
2 |
(1) |
′ |
= 2 = |
(0; 2; |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
̂ |
= 2 ( + 1) |
− |
2 |
( − 1) |
′ |
= |
2 |
2 |
+ 2 − |
2 |
|
= |
2 |
+ 2 = (0; 2; 1) |
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
̂ |
= 2 ( + 1) |
2 |
− |
2 |
(( − 1) |
2 |
|
′ |
= 2 |
3 |
+ 4 |
2 |
+ 2 − (2 |
3 |
− 2 |
2 |
) = 2 |
2 |
+ 2 = |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= (0; 2; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты |
образов |
базисных |
|||||||||
Запишем матрицу оператора , выписывая |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
векторов в столбцы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (2 |
2 |
|
|
|
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) Чтобы найти образ многочлена запишем его в координатной форме: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( ) = 4 2 + − 1 |
= − + |
|
+ 4 = (−1; 1; 4). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(8) = 9 |
+ 8 . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
( ) = (2 2 2) ( 1 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d) Чтобы найти ядро Â, решим однородную систему линейных уравнений
= : |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
(2 |
2 |
2) ( 2) = (0) , rang = 2, |
||
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 =
система имеет бесконечное множество решений: { 2 = −2 ,3 =
Ker  = { ( ) = 2 − 2 + , } Defect ̂ = dim Ker ̂ = 1.
e) Обратный оператор не существует по всем трем критериям:
1) det = 0, 2) |
|
Ker  ≠ {0}, 3) Im ≠ 2. |
Домашнее задание:
№ 1. В пространстве 2 многочленов степени не выше 2 задан оператор
̂ ( ) = ∙ ′( )
a)Показать линейность оператора.
b)Найти матрицу оператора в каноническом базисе пространства 2.
c)Найти образ многочлена ( ) = 3 2 − 5 + 6.
d)Найти ядро линейного оператора Â.
e)Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
№ 2.В пространстве 3 многочленов степени не выше 3 задан оператор
̂ ( ) = ′′( )
a)Показать линейность оператора.
b)Найти его матрицу в каноническом базисе пространства 3.
c)Найти образ многочлена ( ) = −2 3 + − 3.
d)Найти ядро линейного оператора Â.
e)Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
№3. В пространстве 2 многочленов степени не выше 2 задан оператор
̂ ( ) = ′( ) − ( )
a)Показать линейность оператора.
b)Найти его матрицу в каноническом базисе пространства 2.
c)Найти образ многочлена ( ) = − 7 2.
d)Найти ядро линейного оператора Â.
e)Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
№4*. В пространстве оператор ̂ действует по правилу:
3 A
̂ [ ] , где . A = , + = (4; 2; 0)
a) Проверить, что̂ - линейный оператор.
A
b)Найти матрицу оператора в базисе{ , , }.
c)Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
№ 5**. Оператор ̂ действует в пространстве 2×2 всех квадратных матриц
̂ |
|
|
|
−1 |
4 |
второго порядкапо правилу: ( ) = |
|
+ + |
, где = ( |
3 |
−3). |
a)Показать, что ̂ – линейное оператор.
b)Составить его матрицу в каноническом базисе.
c)Найти ядро и образ оператора ̂.
d)Существует ли обратный оператор?Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
№ 6**.Показать, что оператор ̂, действующий по правилу:
̂(( )) = ( ) + (− )
является линейным оператором в пространстве функций :
= { + − + , , , }.
Найти матрицу оператора ̂в каком-нибудь базисе пространства. Найти ядро и образ оператора. Обратим ли оператор ̂?
Решить из типового расчета задачи 2.9 (пункты a), b), c) и d)), 2.10 и
2.11*(свой вариант).