. (7)
Интегралы в соотношении (7) аналитически не берутся, но их легко определить численно. В приближении длинного рупора, когда его угол раскрыва , выражения (2), (3) можно упростить, заменив функции Ганкеля асимптотическими разложениями. Если также приближенно положить, что
,
то формула (7) приобретает вид:
. (8)
Видно, что в рамках простейшей модели описанной в разд. 3 ДН элемента решетки не отличается от ДН одиночного рупора и она также не зависит от положения рупора в решетке.
4. Электродинамическая модель двумерной решетки
В данном разделе будет построена модель решетки, содержащей конечное число рупоров. Модель основана на приближенном решении граничной задачи. Остановимся на принятых допущениях. К ним относятся пренебрежение отражением волн на стыках ПВ и рупоров и приближение длинных рупоров, которые уже обсуждались в разд. 3.
Приближение длинных рупоров позволяет существенно упростить запись электромагнитного поля в области , а также вывод интегральных уравнений, к которым сводится исходная граничная задача. В этом приближении поле внутри рупора записывается следующим образом:
, (9)
,
где - функция Бесселя, - символ Кронекера. Коэффициент имеет смысл коэффициента отражения основной волны в канале с номером
,
,
- общее число рупоров в решетке. Отметим, что структура анализируется при условии возбуждения одного канала с номером основной волной ПВ.
Индекс 1 в формуле (9) соответствует полю при . Коэффициенты имеют смысл амплитуд волн высших типов в рупорах. Мы предположили в разд. 3, что входные ПВ одноволновые. Поэтому можно допустить, что поле высших типов рупорных волн не проникает в ПВ и его искажением на стыке рупора и ПВ можно пренебречь.
Формула (9) верна при выполнении следующих соотношений:
, . (10)
Они соответствуют приближению длинных рупоров и позволяют заменить переменные , которые исходно присутствуют в представлении поля переменными , которые используются в (9).
Магнитное поле в области 2, расположенной при записывается в виде интеграла Фурье:
,(11)
,
где - неизвестная спектральная плотность.
Дальнейший вывод интегральных уравнений проводится стандартным образом. Поля в обеих областях выражаются через электрическое поле в плоскости . Мы предполагаем, в этой плоскости за пределами решетки имеются бесконечные фланцы. Тогда компонента поля отлична от нуля только в раскрывах рупоров. Ее можно представить в виде множества функций , каждая из которых описывает поле в раскрыве рупора с номером . Выражая электрическое поле в областях 1 и 2 через функции мы автоматически удовлетворяем граничному условию непрерывности электрического поля в плоскости . На следующем этапе через функции выражается магнитное поле в областях 1 и 2. Затем они приравниваются при . Равенство магнитных полей дает нам искомую систему интегральных уравнений относительно , решение которой позволяет удовлетворить всем граничным условиям задачи.
Приводим без вывода окончательный вид системы интегральных уравнений:
, , (12)
Решение системы (12) проводим стандартным для таких задач методом Галеркина, представляя неизвестные функции в виде ряда по базисным функциям :
, (13)
где - неизвестные коэффициенты разложения (13).
Соотношение (13) подставляем в систему (12) и проецируем ее на систему тестовых функций, совпадающих с базисными. В результате мы получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов :
,,,
, (14)
.
Параметр - число базисных функций, используемых для описания поля, выбирается из условия сходимости решения СЛАУ (14).
Введем следующие обозначения:
, (15)
.
С их помощью внешние параметры решетки выражаются через коэффициенты :
, (16)
. (17)
5. Электродинамическая модель трехмерной решетки
Электродинамическое моделирование решетки проводилось в системе FEKO [13]. Выбор FEKO в качестве инструмента моделирования решетки определялся возможностью, которую представляет метод интегральных уравнений, используемый в этой системе для решения граничных задач.
В отличие от других численных методов, которые применяются в системах HFSS и MWS метод интегральных уравнений необязательно требует ограниченных размеров области, в которой ищется поле. В частности, допустимо использовать модель решетки с бесконечной подложкой. При этом ограниченные размеры должны иметь только металлические проводники, нанесенные на ее поверхности.
Нетрудно видеть, что в класс указанных выше структур при определенных допущениях попадает решетка на основе Е - плоскостных рупоров и не попадает решетка Н - плоскостных рупоров. Решетка Е - плоскостных рупоров легко может быть преобразована к требуемому виду, если из нее удалить бесконечные фланцы (см. рис. 5). При этом бесконечная область, в которую происходит излучение поля, формируется диэлектрической подложкой свободной от проводников.
Иная ситуация в случае с полосковой решеткой. Здесь область, в которую излучает решетка, образована ПВ. Она имеет металлические проводники, уходящие на бесконечность. Ее также можно было бы свести к требуемому виду, если использовать в качестве неизвестных функций, относительно которых записываются интегральные уравнения, магнитные токи. Однако, в системе FEKO пока такая возможность отсутствует. Поэтому применение модели с бесконечной подложкой для полосковой структуры невозможно.
При этом необходимо отметить, что возможность моделирования бесконечных планарных структур в нашем случае является критически важной. Дело в том, что, ограничивая размеры подложки, мы вносим в структуру источник отражений, которые не позволяют рассматривать найденное поле как поле в дальней зоне, поскольку к нему добавляется поле, отраженное от границ подложки. Данное обстоятельство не позволяет использовать для анализа матричного облучателя такие системы как HFSS.
Возможно, что анализ полоскового облучателя следует проводить с помощью системы ADS, которая работает не только с электрическими, но и с магнитными токами. Однако, ее применение лежит за пределами возможностей авторов данной работы.
Таким образом, практически единственной структурой доступной численному анализу является матричный облучатель на основе ДЩВ. Следует отметить, что качественно полосковый облучатель не должен существенно отличаться от дуального аналога на ДЩВ по соображениям изложенным выше. Поэтому мы ограничились исследованием щелевой структуры.
Исследовались одиночные рупора и решетки рупоров. После решения граничной задачи находилось поле на дуге достаточно большого электрического радиуса с центром в начале координат. Дуга лежит в плоскости XOY. Это поле можно считать дальним и по его зависимости от угла можно найти ДН облучателя.
Каналы облучателя в ходе численных расчетов были нагружены на сосредоточенные порты, импедансы которых определялись численно из условия наилучшего согласования. Для определения параметров портов была проанализирована отдельная структура в виде отрезка ДЩВ нагруженного с двух сторон указанными портами. Их импедансы находились по критерию минимума коэффициента отражения в полосе частот.
6. Численные результаты
Был проведен цикл численных исследований матричных облучателей диапазона 30 - 40 ГГц, которые выполнялись на подложке с проницаемостью толщиной . Расчеты выполнялись с помощью трех описанных выше моделей. Облучатель имел следующие параметры: число рупоров , длина рупора , ширина ДЩВ . Ширина раскрыва рупора изменялась в диапазоне 2 - 3.5. Возбуждался центральный канал облучателя.
На рис. 7 - 10 представлены рассчитанные ДН.
Кривые 1 - 3 на рис. 7 - 10 соответствуют методу физической оптики, решению двумерной граничной дачи и решению трехмерной граничной задачи. Рис. 7 а - е получены для ГГц. Рис. 8 а - д получены для ГГц. Рис. 9 а - г получены для ГГц. Рис. 10 а - г получены для ГГц. Горизонтальными линиями на рис. 7 - 10 показаны уровни в - 3 и - 10 дБ, которые используются в антенной технике для определения ширины ДН.
Рис. 7 ДН облучателя при
Рис. 8 ДН облучателя при
Рис. 9 ДН облучателя при
Рис. 10 ДН облучателя при
Анализ ДН, рассчитанных тремя разными методами, позволяет сделать следующие выводы. Существует диапазон частот, в котором результаты всех методов достаточно близки. При этом совпадение улучшается при увеличении раскрыва рупора . Однако, существуют относительно узкие диапазоны частот, в которых ДН, полученные из решения двумерной и трехмерной задач ведут себя аномальным образом: резко меняется ширина ДН, ее форма и уровень боковых лепестков. При этом метод физической оптики не позволяет описать аномальное поведение ДН в указанном диапазоне частот.
Таким образом, можно говорить о существовании некоторого резонансного эффекта, который искажает форму ДН облучателя. Его резонансная частота зависит от параметров рупора. Так при она равна 39 ГГц, при 33 ГГц, при резонанс слабо выражен и наблюдается на частоте 35 ГГц и при резонансный эффект не обнаружен.
Следует отметить следующее. Резонансная частота достаточно хорошо предсказывается с помощью двумерной модели, которая также хорошо описывает ДН в нерезонансной области, по крайней мере, в пределах главного лепестка. В окрестности резонанса данные, получаемые с помощью двумерной и трехмерной моделей, могут сильно отличаться. Тем не менее, обе модели предсказывают сильные искажения ДН, которые говорят о том, что облучатель в этой области частот неработоспособен. Поэтому вопрос о достоверности расчетов в ней не очень актуален. Важно лишь правильно предсказать частоту резонанса и полосу частот, в которой сильно его влияние.
Интересно выяснить природу наблюдаемых резонансных эффектов. Для этого полезно исследовать частотные зависимости коэффициентов , которые рассчитываются в рамках двумерной модели решетки. Поле внутри рупора складывается из поля основной распространяющейся волны, которой соответствует номер и высших типов волн с . Высшие типы волн не проникают в волновод. Они полностью отражаются от критического сечения рупора, в котором они испытывают отсечку. Если раскрыв рупора также сильно отражает какую-нибудь волну высшего типа, то для нее создаются условия для возникновения резонанса, который иногда называют резонансом «запертых» мод. О наличии такого резонанса будет свидетельствовать резкий рост одного из коэффициентов , которые имеют смысл амплитуд высших типов волн.
Будем анализировать вместо коэффициентов коэффициенты :
, (18)
где - производная от функции Бесселя. Параметры имеют смысл амплитуд электрического поля высших типов волн в раскрыве рупора.
Рис. 11 Частотные зависимости модулей параметров
На рис. 1 а,б показаны частотные зависимости модулей коэффициентов . Кривые 1 - 4 соответствуют номерам волн . Кривые на рис. 11 а получены для центрального канала с , а кривые на рис. 11 б для канала с при . Остальные параметры остались без изменения.
Видно, что коэффициенты ведут себя резонансным образом, достигая максимума на частоте ГГц, которая близка к резонансной частоте определенной выше по искажениям ДН.
В центральном канале в силу симметрии структуры волны с нечетными номерами не возбуждаются.
В первом боковом канале все амплитуды имеют конечные значения. Наибольшей из них является амплитуда второй волны. Можно предположить, что ее резонанс является источником аномального поведения решетки вблизи частоты ГГц.
На рис. 12 показана частотная зависимость модуля коэффициента . Кривые 1 - 4 получены для разных углов раскрыва рупора при .
Рис. 12 Частотная зависимость модуля параметра
Видно, что уменьшение угла раскрыва, то есть удлинение рупора снижает резонансную частоту.
Интересно, что резонанс в решетке приводит к всплеску коэффициентов отражения в ее каналах по основной волне . На рис. 13 показана частотная зависимость модулей . Кривые 1 - 3 получены для . Параметры решетки приведены выше.
Рис. 13 Частотная зависимость модулей коэффициентов отражения
Резонировать в рупоре может не только волна с , как в рассмотренных выше примерах, но и волны других порядков, когда раскрыв рупора близок к критическому сечению выделенной волны. Наиболее опасными являются резонансы волн с четными номерами. Их поле имеет тот же вид симметрии относительно оси рупора, что и поле основной волны. Поэтому они возникают в активном канале, в который включен источник возбуждения облучателя. Волны с нечетными номерами в активном канале появиться не могут (см. рис. 11 а) из-за разной симметрии их поля относительно основной волны. По этой причине влияние резонанса таких волн ослаблено.
В целом по результатам проведенных численных исследований можно сделать следующие выводы. Вне резонансной области частот для оценки ширины главного лепестка ДН можно использовать приближенные методы, в том числе, наиболее простой метод физической оптики. Положение резонанса хорошо описывается решением двумерной граничной задачи. Для оценки таких тонких эффектов, как уровень боковых лепестков предпочтительнее использовать численную трехмерную модель.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-08-12003/12 офи_м).
Литература
1. Банков С.Е. Щелевые интегральные схемы миллиметрового диапазона // Радиотехника и электроника. 2006, Т. 51, №9, с. 1066-1086.
2. Bankov S.E., Bugrova T.I., Levchenko I.V. Planar Lens for Millimeter Wave Integrated Antennas // 24-th European Microwave Conf. Proc., 1994, pp. 76-80.
3. M. Ettorre, S. Bruni, G. Gerini, A. Neto, N. Llombart, S. Maci, Sector PCS-EBG Antenna for Low Cost High Directivity Applications, Antennas and Wireless Propagation Letters, Vol.6, pp. 537-539, Dec. 2007.
4. А.с. 1316063 (СССР). Планарный резонатор / Банков С.Е., Взятышев В.Ф., Широкова О.А. Приор. От 18.11.85. Опубл. БИ №21, 7.06.87.
5. Взятышев В.Ф., Нарытник Т.Н., Рябов Б.А., Емельяненков Б.Н., Банков С.Е. Диэлектрические интегральные схемы КВЧ. Часть 2. Элементы и устройства // Обзоры по электронной технике. - М.: ЦНИИ “Электроника”, 1985, Вып. 13, 73 с.