Контрольная работа: Решение задачи параметрической идентификации математической модели объекта управления

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова

Кафедра промышленной кибернетики и систем управления

Контрольная работа

по дисциплине «Моделирование систем»

Решение задачи параметрической идентификации математической модели объекта управления

Выполнил студент: Сайров Александр Михайлович

Проверил преподаватель: Мухина Елена Юрьевна

Магнитогорск 2007

Задание 1

Решить задачу многомерной оптимизации 2-мя методами, найти оптимальное значение постоянной времени и времени запаздывания для указанной кривой разгона.

Рис. 1. Кривая разгона

Целевая функция:

min

0, при t < ф

h^T (t) = при t > ф

Задание 2

Решение задач линейного программирования.

Задача 1

Максимизировать функцию

f = x₁ + 2x₂ max

x_1, x₂ ? 0;

2x₁ + 2x₂ ? 10;

x₁ + 5x₂ ? 20;

x₁ - x₂ ? 4.

Задача 2

Минимизировать функцию

f = 2x₁ + x₂ min

x_1, x₂ ? 0;

3x₁ + x₂ ? 2;

x₁ + 5x₂ ? 15

Задание 3

Метод покоординатного спуска (метод Гаусса - Зейделя)

При использовании метода покоординатного спуска для определения экстремума применяют следующий алгоритм - поиск с помощью метода золотого сечения, потому что этот метод позволяет исключать интервалы, вычисляя только одно значение функции на каждом цикле вычислений. в результате двух рассмотренных значений функции определяется интервал, который и должен использоваться в дальнейшем. Этот интервал будет содержать одну их предыдущих точек и следующую точку, помещаемую симметрично ей. Точка делит интервал на две части причем так, что отношение целого к большей части равно отношению большей части к меньшей, т.е. равно золотому сечению.

Основным достоинством метода покоординатного спуска (метод Гаусса - Зейделя) является его простота. Что касается недостатков этого метода, то к ним можно отнести трудности в поиске точки экстремума при наличии ограничений и «оврагов». Также этот метод не обладает высокой точностью.

Программа 1

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <iostream.h>

const float e=0.001;

const int S=10;

const int N=3;

const float T=2.75;

const float tau=0.88;

const float k=0.02;

float t[10]={0,1.0,1.5,2.0,2.5,4.0,4.5,6.0,6.5,8.0},

he[10]={0, 0,00192, 0,0045, 0,0087, 0,015, 0,0181, 0,0196, 0,0199, 0,0199, 0,02},

m[N]={0.88,2.75,0.02};

float znach[2];

float fr;

int i;

float ht(float tau,float T,float k,float t)

{

if(t<tau)

return 0;

else

return fr=k*(1-exp(-((t-tau)/T)));

}

void f(float tau,float T,float k)

{

int j;

znach[0]=fabs(pow(he[0]-ht(tau,T,k,t[0]),2));

for(j=1;j<10;j++)

if(fabs(pow(he[j]-ht(tau,T,k,t[j]),2))>znach[0])

{znach[0]=fabs(pow(he[j]-ht(tau,T,k,t[j]),2));

znach[1]=t[j];

}

}

float func(float m,int n)

{switch(n)

{

case 1:f(m,T,k);break;

case 2:f(tau,m,k);break;

case 3:f(tau,T,m);break;

}

return 0;

}

double gold(double a,double b,int i)

{

double x1,x2,y1,y2;

x1=a+(1-tau)*(b-a);

y1=func(x1,i);

x2=a+(tau*(b-a));

y2=func(x2,i);

while(fabs(a-b)>e)

{

if(y1<y2)

{

b=x2;x2=x1;y2=y1;

x1=a+(1-tau)*(b-a);

y1=func(x1,i);

}

else

{ a=x1;

x1=x2;

y1=y2;

x2=a+(tau*(b-a));

y2=func(x2,i);

}

}

return (x1+x2)/2;

}

void min()

{

double x[N];

double h[N]={1.0,2.5,0.02},

m[N]={1.5,4.0,0.02};

int j;

float s,x0;

for(j=0;j<N;j++)

x[j]=(h[j]+m[j])/2;

do

{ s=0;

for(j=0;j<N;j++)

{

x0=gold(h[j],m[j],j++);

s+=pow((m[j]-x0),2);

m[j]=x0;

}

}

while(fabs(sqrt(s)>e));

}

int main()

{

double a[2]={0.5,2.0},b[2]={1.0,4.0},m[2]={0.88,2.75},x0,s;

int j;

clrscr();

do

{

s=0;

for(j=0;j<N;j++)

{

x0=gold(a[j],b[j],j++);

s+=pow((m[j]-x0),2);

m[j]=x0;

}

}

while(fabs(sqrt(s)>0.001));

printf("\n\n\t\t\t**********Metod 1**********\n\n\t\t\t");

printf("tau=%.1f,T=%.0f\n",tau,T);

printf("\min=%.5f\n",znach[0]);

for(j=0;j<10;j++)

{

printf("ht(t)=%.4f\n",ht(tau,T,k,t[j]));

}

getch();

return 0;

}

Результаты выполнения программы 1 заношу в сводную таблицу

Таблица 1

Метод конфигураций (метод Хука - Дживса)

Метод Хука - Дживса или метод конфигураций является методом прямого поиска минимума функции нескольких, т.е. методом, использующим только значения функции. Поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базовой точки, за которой в случае успеха следует поиск по образцу. Хоть метод конфигураций и ближе к экспериментальной кривой, но он также как и метод покоординатного спуска, не является точным методом.

параметрическая идентификация математическая модель

Программа 2

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <iostream.h>

const float e=0.01;

const int S=10;

const int N=3;

const float T=2.75;

const float tau=0.88;

const float k=0.02;

float t[10]={0,1.0,1.5,2.0,2.5,4.0,4.5,6.0,6.5,8.0},

he[10]={0, 0,00192, 0,0045, 0,0087, 0,015, 0,0181, 0,0196, 0,0199, 0,0199, 0,02};

float znach[2],

bb[N],y[N],p[N],h=1.0;

float ps,bs,kk,fi,fb;

float xx[N]={0.88,2.75,0.02};

float fx;

float ht(float tau,float T,float k,float t)

{

if(t<tau)

return 0;

else

return fx=k*(1-exp(-((t-tau)/T)));

}

void f(float tau,float T,float k)

{

int j;

znach[0]=fabs(pow(he[0]-ht(tau,T,k,t[0]),2));

for(j=1;j<10;j++)

if(fabs(pow(he[j]-ht(tau,T,k,t[j]),2))>znach[0])

{znach[0]=fabs(pow(he[j]-ht(tau,T,k,t[j]),2));

znach[1]=t[j]; }

}

float func(float x,int n)

{switch(n)

{

case 1:f(x,T,k);break;

case 2:f(tau,x,k);break;

case 3:f(tau,T,x);break;

case 4:f(xx[0],xx[1],xx[2]);break;

}

return znach[0];

}

void min(void)

{

int i;

clrscr();

kk=h;

for(i=0;i<N;i++)

{y[i]=xx[i];

p[i]=xx[i];

bb[i]=xx[i];

}

fi=func(0,0.03);

ps=0;

bs=1;

int j=0;

fb=fi;

do

{xx[j]=y[j]+kk;

if(func(0,0.03)<fi) y[j]=xx[j];

else

{xx[j]=y[j]-kk;

if(func(0,0.03)<fi) y[j]=xx[j];

else xx[j]=y[j];

}

fi=func(0,0.03);

if(j!=N)

{j+=1;

continue;

}

if(fi<fb-1e-08)

{for(i=0;i<N;i++)

{p[i]=2*y[i]-bb[i];

bb[i]=y[i];

y[i]=xx[i];}

fb=fi;

ps=1;

bs=0;

fi=func(0,0.03);

j=0;

continue;}

if((ps==1)&&(bs==0))

{for(i=0;i<N;i++)

{ p[i]=bb[i];

y[i]=bb[i];

xx[i]=bb[i];}

bs=1;

ps=0;

fi=func(0,0.03);

fb=func(0,0.03);

j=0;

continue;}

else

{kk=h/10;

if(kk<e)break;

j=1;

continue;

}

}

while(1);

}

int main()

{

int j;

printf("\n\n\t\t\t**********Metod 2**********\n\n\t\t\t");

printf("tau=%.1f,T=%.1f\n",tau,T);

printf("\min=%.5f\n",znach[0]);

for(j=0;j<10;j++)

{

printf("ht(t)=%.4f\n",ht(tau,T,k,t[j]));

}

getch();

return 0;

}

Результаты выполнения программы 2 заношу в сводную таблицу

Таблица 2

Таблица 3 Сравнительная таблица

Вывод

В процессе решения задачи многомерной оптимизации были использованы два метода: метод покоординатного спуска (метод Гаусса - Зейделя) и метод конфигураций (метод Хука - Дживса).

Все результаты, как экспериментальные, так и полученные в процессе расчетов, представлены в сравнительной таблице (таблица 3).

В качестве модели можно использовать кривую, полученную методом конфигураций (метод Хука - Дживса), так как эта кривая и её динамические параметры наиболее близки к кривой и динамическим параметрам, полученным экспериментально. Минимальное значение функции, полученное методом конфигураций (метод Хука - Дживса), равно 0,0056, что меньше, чем значение, полученное методом покоординатного спуска (метод Гаусса - Зейделя), которое равно 0,0082. Одним из условий задачи является получение наименьшего значения функции, поэтому метод конфигураций (метод Хука - Дживса) наиболее приемлем для применения в качестве модели.

Задание 2

Задача 1.

f = x₁ + 2x₂ max

x_1, x₂ ? 0;

2x₁ + 2x₂ ? 10;

x₁ + 5x₂ ? 20;

x₁ - x₂ ? 4.

f = 0; x₁ + 2x₂ = 0; 1; 2 /*вектор с координатами x_1, x₂*/

В точке А находится максимум функции. Для нахождения координат т. А решим систему уравнений:

2x₁ + 2x₂ = 10; /x(-1)

x₁ + 5x₂ = 20; /x(2)

-2x₁ - 2x₂ = -10;

2x₁ + 10x₂ = 40;

8x₂ =30;

x₂ = 3.75; x₁ = 1.25;

f = 1.25 + 2*3.75 =8.75

Ответ: Линейная целевая функция принимает наибольшее значение в точке А (1.25; 3.75), максимальное значение функции f_max = 8.75.

Задача 2

f = 2x₁ + x₂ min

x_1, x₂ ? 0;

3x₁ + x₂ ? 2;

x₁ + 5x₂ ? 15

Ответ: ОДР не существует, потому что система неравенств противоречива. Решений нет.