Подставляя в неравенство (3) t из уравнения (2), получаем относительно v следующее неравенство: + 250v ? 210 * 40 > 0. (4)
Так как автомобиль должен был догнать автобус в пути, то расстояние до встречи не должно превышать 105 км. Следовательно, второе неравенство имеет вид 40t105 или
Решение системы неравенств (4) и (5) представляет собой промежуток (30;33,6]. Ответ: Скорость автобуса должна находится в промежутке (30;33,6].
Задачи на течение представляют собой все типы задач на движение, только осложненные ещё одной величиной - скоростью течения. Течение - это скорость передвижения реки. Она может быть как положительна, так и отрицательна, соответствуя движению тела: по течению или против. Рассмотрим следующую задачу: "Скорость катера по течению 18,6 км/ч, а против течения 14,2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения." Первым действием найдём скорость течения вычтя из скорости лодки по течению скорость лодки против течения. Получим: 18,6 км/ч - 14,2 км/ч = 4,4 км/ч. Теперь найдём собственную скорость лодки вычтя из скорости по течению скорость против течения и разделив на два: (18,6 - 14,2)/2 = 2,2 км/ч. Ответ: скорость течения равна 4,4 км/ч и скорость лодки равна 2,2 км/ч.
Теперь рассмотрим осложнённую задачу: "От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом от той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость плота, если известно, что собственная скорость моторной лодки больше скорости плота на 9 км/ч?" Обозначим собственную скорость лодки (т.е. скорость в стоячей воде) через v1 км/ч, а скорость течения реки (и, следовательно, плота) -- через v2 км/ч. По условию задачи собственная скорость моторной лодки больше скорости плота на 9 км/ч: v1 ? v2 = 9. Моторная лодка, двигаясь по течению реки, прошла 20 км за время 20/v1+v2 час; плот прошел те же 20 км за время 20/v2. Так как время, за которое плот проплыл 20 км, на 5 час 20 мин (т.е. на 16/3 часа) больше времени, за которое то же расстояние проплыла моторная лодка, то:
Таким образом, решение задачи сводится к решению системы:
|
v1 ? v2 = 9 |
Из первого уравнения получаем v1 = v2 + 9 . Подставляя во второе уравнение это соотношение, получаем уравнение для нахождения v2:
или 8+21v2 - 135=0. Решая последнее уравнение, находим v2 = 3. (Второй корень уравнения v2 = -45/8 не подходит по смыслу задачи). Записываем ответ: Скорость течения реки (а также скорость плота) равна 3 км/ч.
Задачи на процентное содержание.
Процент» (лат. pro centum «на сотню», «со ста» или «за сотню»). В математике возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же величинах, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности в Вавилоне. Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.
По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством. Есть мнение, что понятие процент ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584 г. он опубликовал таблицы процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.
Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского pro cento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента:
В наши дни проценты употребляются для сравнения однородных положительных количеств. Один процент - это по определению одна сотая часть: 1%=.
Решение любых задач на проценты сводится к основным трём действиям с процентами:
- нахождению процентов от числа; Например найти 15% от числа 60. Сначала нужно найти 1% от числа 60. Для этого 60/100=0,6 так как 1% = числа. Теперь найдём 15% умножив 0,6*15=9. Ответ: 9.
- нахождению числа по его процентам; Например найти число, 12% которого равны 30. 12% неизвестного числа нам известны - это 30. Обозначим неизвестное число за х, и пусть оно будет 100%. Тогда рассмотрим следующую таблицу:
|
12% |
30 |
|
|
100% |
Х |
=
х = = 250; Ответ: 250.
- нахождению процентного отношения чисел; Например сколько процентов составляет 120 от 600? Составим также таблицу:
Перейдём к решению типовых задач для подготовки к ЕГЭ.
Задача 1:"Магазин в первый день продал 49% имеющихся овощей. За второй день он продал 80% овощей, проданных в первый день. В третий день - оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов овощей было в магазине первоначально?" Обозначим за х(кг) - вес имевшихся в магазине овощей. Тогда в первый день магазин продал 0,4х(кг), а за второй день - 0,8 * (0,4 * х) кг. Зная, что в третий день было продано 28 кг овощей, составим уравнение:
0,4х+0,8*0,4х+28=х
0,28х=28
х=100
Задача 2: "Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем ещё на 20%. Какова окончательная цена товара?" Первое снижение цены товара было на 0,1*1000 = 100 руб. После первого снижения цена товара составляла 1000 - 100=900 руб. Второе снижение цены было на 0,2*900=180 руб. После второго снижения цена товара составила 900 - 180=720 руб. Ответ: 720 рублей.
Задача 3: "Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?" Данная задача на так называемые "сложные проценты". Так говорят, когда речь идёт о поэтапном изменении некоторой величины. В данном случае рассмотрим два этапа - на первом начисляется процент на сумму, находившуюся на счету первый год, а на втором этапе производится начисление процентов на сумму, получившуюся после первого этапа, т.е. на сумму с уже начисленными процентами после первого года. 1000 рублей - первоначальная сумма вклада. Начисленные проценты после первого года составят 0,03 * 1000. По окончании первого года на счету окажется 1000+0,3*1000=1030.По окончании второго года проценты составят 0,03*1030=30,9.Таким образом, после двух лет сумма вклада составит 1030+30,9=1060,9. Первоначальный вклад был увеличен на 60,9 рублей.
Задача 4: "Найдите первоначальную сумму вклада (в рублях), если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых?" Для начала введём переменную А - первоначальная сумма вклада. Тогда через год сумма вклада составила А+0,3А = А*(1+0,3)=1,03*А. За второй год проценты составили 0,03 * (1,03*А). Через два года сумма вклада станет равной 1,03 * А+0,03(1,03*А)=1,03 *1,03А. Получаем уравнение:
1,03*1,03*А=А+304,5
0,0609*А=304,5
А=5000. Ответ: первоначальная сумма вклада равна 5000 рублей.
Задачи на совместную работу.
Рассмотрим еще один тип задач - задачи на совместную работу. В таких задачах обычно какую либо работу выполняют несколько человек или механизмов, работающих с постоянной для каждого из них производительностью.
Начнем с некоторых указаний к задачам данного типа:
- основными компонентами задач являются объём выполняемой работы (если он неизвестен и не является искомым, то принимается за 1 - А), время(t), производительность(1/t);
- сначала желательно рассмотреть алгоритм решения задачи (например при помощи таблицы)
Далее перейдём к решению различных задач данного типа. При решении таких задач возможны два случая:
1) объем выполненной работы известен;
2) объем выполненной работы неизвестен.
Первый тип задач удобно решать, используя таблицу. Рассмотрим следующую задачу: " Два токаря вместе изготовили 350 деталей. Первый токарь делал в день 40 деталей и работал 5 дней, второй работал на 2 дня меньше. Сколько деталей в день делал второй токарь?" Составим таблицу:
Таблиц 1
Так как известны производительность и время работы первого токаря, найдем количество деталей, изготовленных первым токарем.
40*5 = 200 (дет.) - изготовил первый токарь.
Работая с таблицей, делаем вывод, что можно найти, сколько деталей изготовил второй токарь.
350 - 200 = 150 (дет.) - изготовил второй токарь.
Обратив внимание на опорные слова «на…меньше», делаем вывод, что можно найти, сколько дней работал второй.
5 - 2 = 3 (дня) - работал второй токарь.
Зная количество и время работы второго токаря, находим его производительность:
150 / 3 = 50 (дет.) - изготовлял второй токарь в день.
Для решения задач второго типа, текст задачи можно проиллюстрировать чертежами. Рассмотри задачу: " Новая машина может выкопать канаву за 8 часов, а старая - за 12. Новая работала 3 часа, а старая - 5 часов. Какую часть канавы осталось выкопать?" Рассмотрим чертёж:
Таблица 2
Для начала разделим первый отрезок на восемь частей, так как работа выполняется за 8 часов. Так как новая машина работала 3 часа, то выполнила части все работы. Отмечаем на третьем отрезке - .
Аналогичные рассуждения проводим, рассматривая старую машину, и отмечаем на третьем отрезке - . Теперь находим какую часть работы выполнили машины вместе. Для этого сложим += . И в итоге находим часть оставшуюся часть канавы: - = . Ответ: часть канавы им осталось выкопать.
Теперь рассмотрим осложнённую задачу из подготовительных курсов ЕГЭ: "Бак заполняют керосином за 2 часа 30 минут с помощью трёх насосов, работающих вместе. Производительность насосов относится как 3:5:8. Сколько процентов объёма будет заполнено за 1 час 18 минут совместной работы второго и третьего насоса?" Решение: так как объём бака не указан, то примем его за 1. Пусть коэффициент пропорциональности равен х, тогда производительности насосов равны 3х, 5х, 8х. И время наполнения бака при совместной работе всех трёх насосов равно = или, по условию задачи, 2 часа 30 минут.
Решим уравнение: = 2,5; х = .
Производительность второго насоса равна * 5 = .
Производительность третьего насоса равна * 8 = .
Совместная производительность второго и третьего насоса равна + = .
За 1 час 18 минут второй и третий насосы наполнят * = * 1,3 = =0,4225 * 100% = 42,25% объёма бака. Ответ: за 1 час 18 минут будет заполнено 42,25% бака.
Заключение
наука математика экзамен
Данная работа была проделана с целью получения прочных навыков решения текстовых задач, изучаемых в рамках школьного курса математики, представленных в материалах Единого Государственного экзамена. Я считаю, что эта цель достигнута, но достигнута не полностью, так как в некоторых аспектах моей темы возможен более глубокий анализ и разбор тех или иных задач.
Основные задачи, которые ставились перед началом работы, были выполнены. Я разобрал все три классификации текстовых задач, проанализировал базового уровня, разобрал задачи повышенной сложности, которые используются для подготовки к Единому Государственному Экзамену. Также была изучена история математики с древнейших времён по наши дни и история появления и развития текстовых задач.
Таким образом, можно сделать вывод, что проделанная мной работа имеет большое значение для тех, кто собирается успешно сдать ЕГЭ в одиннадцатом классе и для тех, кому просто интересно углубить свои познания в "решении текстовых задач по математике".
Список литературы
1. Ляпин С.Е.: Методика преподавания математики. М.; Л., 1952.
2. В.В.Кочагин: Математика. Репетитор; 2006.
3. Ф.Ф.Лисенко: Математика ЕГЭ-2007; 2007.
4. А.В.Морозов: Эффективная методика;
5. Т.А.Корешкова: Математика ЕГЭ-2008. Типовые тестовые задания.
6. В.В.Кочагин: ФИПИ Математика-2008. Реальные варианты.
7. Л.Д.Лаппо, М.А.Попов: ЕГЭ-2007. Практикум.