Материал: Разработка активного фильтра

Re(щ₃) =8,75-5,619 * 10^-5*400²= -0,24;

Re(щ₃) =8,75-5,619 * 10^-5*600²= -11,48;

Im(щ)= 0,02125*50 -1,489 * 10^-7*50³= 1,044

Im(щ)= 0,02125*100-1,489 * 10^-7*100³= 1,976

Im(щ)= 0,02125*200-1,489 * 10^-7*200³= 3,059

Im(щ)= 0,02125*400-1,489 * 10^-7*400³= -1,03

Im(щ)= 0,02125*600-1,489 *10^-7*600³= -19,4

Таблица 1

щ	50	200	377,8	394,6	400	600
Re(щ)	8,6	8,19	6,5	0,73	0	-0,24	-11,48
Im(щ)	1,044	1,976	3,059	0	-0,754	-1,03	-19,4

Система неустойчива, т.к. кривая 1 ( pиc. 4) последовательно не проходит три квадранта.

Воспользуемся вторым значением Кж = К’’ж = 12,5.

Тогда с=к”_ж*к+1=12,5*0,5+1= 7,25.

Уравнения приобретают вид:

Re(щ) = 7,25-5,619 * 10^-5щ²

Im(щ)= 0,02125щ -1,489 * 10^-7щ³

Определяем точки пересечения кривой 2 с осями Re и Im:

Re(щ)=0 при ;

Im(щ₁)= 0,02125* 359,2-1,489 * 10^-7* 359,2³= 0,73;

Im(щ)= 0 при щ₂=0;

;

Re(щ₂) =7,25;

Re(щ₃) =7,25-5,619 * 10^-5*377,8²= -0,77.

Производим аналогичные вычисления:

Re(щ₃) =7,25-5,619 * 10^-5*50²= 7,12;

Re(щ₃) =7,25-5,619 * 10^-5*100²= 6,69;

Re(щ₃) =7,25-5,619 * 10^-5*200²= 5,00;

Re(щ₃) =7,25-5,619 * 10^-5*400²= -1,74;

Re(щ₃) =7,25-5,619 * 10^-5*600²= -13.

Таблица 2

Щ	50	100	200	359,2	377,8	400	600
Re(щ)	7,12	6,69	5,00	0	-0,77	-1,74	-13
Im(щ)	1,044	1,976	3,059	0,73	0	-1,03	-19,4

Строим кривую 2 (рис. 4). Легко убедиться, что система устойчива, поскольку годограф Михайлова последовательно обходит три квадранта. Поэтому для дальнейших расчетов принимаем следующие значения коэффициентов усиления корректирующих звеньев:

k_г=0,0213; Кж = 12,5.

8. Построение области устойчивости системы и определение диапазона изменения коэффициентов усиления корректирующих звеньев

Метод Д-разбиения основан на том, что при непрерывном изменении коэффициентов характеристического уравнения Д(р)=0 его корни непрерывно перемещаются в плоскости корней и могут переходить из правой и левую или из левой в правую полуплоскости, пересекая мнимую ось. Разделение плоскости варьируемых параметров из области, в которых характеристическое уравнение Д(р)=0 имеет определенное одинаковое количество правых корней, получило название Д -разбиения. Области именуются по количеству правых корней, поэтому область, в которой все правые корни отсутствуют, Д (0) является областью устойчивости. Задача Д- разбиения заключается в отыскании границ областей с одинаковым числом правых корней и последующем выделения из них области устойчивости.

Представим характеристическое уравнение (24) в виде:

Д(р)=a₃p³+ a₂p²+(а₁+Кг*К)с+(Кж*К+1)=0.

Подставляя p= jщ и решив характеристическое уравнение относительно Кж и Кг с учетом рассчитанных ранее коэффициентов а₁, а₂, а₃, имеем:

Определяем точки пересечения графика Д-разбиения с осями координат:

k_ж=0 при

k_г=0, при ;

Изменяя щ от 0 до +∞,строим границу Д-разбиения (рис. 5).

Таблица 3

щ	0	133,4	266,7	500
Кж	-2	0	6	28,1
Кг	-0,0212	-0,0159	0	0,0533

Для определения области устойчивости проверим произвольные точки в 1 и 2 области с помощью критерия Рауса. Неравенства в нашем случае приобретают вид:

а₃>0; а₂>0; а₁+Кг*К>0; Кж*К+1>0; (а₁+Кг*К)*а₂>( Кж*К+1)*а₃

Так как первые четыре неравенства всегда выполняются, проверку устойчивости осуществляем с помощью последнего выражения:

) точка в 1 области: k_г=0,1 k_ж=20;

(0,0106+0,1*0,5)*5,619*10^-5=3,41*10^-6;

(20*0,5+1)*1,489*10^-7=1,64*10^-6;

,41*10^-6 >1,64*10^-6 - следовательно, область I является областью устойчивости.

) точка во 2 области: : k_г=0 k_ж=30;

(0,0106+0*0,5)*5,619*10^-5=5,96*10^-7;

(30*0,5+1)*1,489*10^-7=2,4*10^-6;

,96*10^-7 <2,4*10^-6 - следовательно, область I I является областью неустойчивости.

Для сохранения устойчивости системы варьируемые параметры k_г и k_ж должны находиться в I области, причем оба этих коэффициента должны быть больше нуля.

Для неизменного расчетного значения  k_г=0,0213, определяющего рабочую частоту ПФ, можно графически определить диапазон изменения k_ж (а следовательно, и пределы изменения коэффициента усиления k_г ) при котором система находится в устойчивом состоянии. Как видно из рис. 6,устойчивость замкнутой системы обеспечивается при 0< k_ж <17.

Связь величины k_ж с коэффициентом усиления k_р на рабочей частоте ѓ_р можно установить из выражения (20):

При изменении k_ж от 0 до 17 коэффициент усиления k_р изменяется от 1/17 до ∞. При этом система остается устойчивой. Дальнейшее увеличение k_ж, от 17 до ∞ также приводит к изменению k_р от ∞ до 0, однако в этом случае система будет неустойчивой.

 

9. Построение частотных характеристик (АЧХ, ЛАЧХ, ФЧХ)  замкнутой и разомкнутой системы

В качестве исходных данных используем k_г=0,0213, k’’_ж=12,5 -для устойчивой системы и k’_ж=15,5 - для неустойчивой системы.

Частотные характеристики приведены на рис. 7. АЧХ, представленные на рис. 7, а, построены по выражениям (9), (14).

Полученные характеристики подтверждают правильность проведенных расчетов: исходная АЧХ низкочастотного фильтра Ар(щ) с плоской характеристикой в полосе пропускания, частотой среза ѓ₀ =30 Гц и коэффициентом усиления k₀=0,5 преобразована в характеристику узкополосного фильтра с рабочей частотой ѓ_р =60 Гц к коэффициентом усиления Кр=1,5. ЛАЧХ строятся по (13) и (16). Из логарифмических АЧХ (рис. 7, б) видно, что наклон обеих характеристик в области высоких частот составляет - 64 дБ/дек. В низкочастотной области полосовой фильтр ослабляет выходной сигнал на - 23 дБ и поддерживает эту величину неизменной практически до рабочей частоты. Зятем сигнал усиливается до -15 дБ и далее ЛАЧХ замкнутой системы начинает приближаться к Lр(щ).

На рис. 7, в представлены ФЧХ разомкнутой системы ц_р(щ) рассчитанная по (12), ФЧХ корректирующих звеньев ц_к(щ)=arctg(k_Г /k_ж*щ) и суммарная ФЧХ ц_∑(щ)=ц_р(щ)+ ц_к(щ). Две последние характеристики приведены для устойчивой (k’’_ж=12,5) и неустойчивой (k’_ж=15,5) системы. Как видно из этих графиков ФЧХ корректирующих звеньев, для устойчивой ц_к(щ) и неустойчивой ц’_к(щ) системы практически совпадают. Это означает, что проектируемая система приближается к границе устойчивости, что предъявляет жесткие требования к аппаратной реализации корректирующих элементов. Суммарная ФЧХ устойчивой системы ц_∑(щ) позволяет определить сдвиг фаз между входным сигналом и сигналом на выходе корректирующих звеньев при различных значениях частот, т.е. тот фазовый сдвиг, с помощью которого поддерживается отрицательная ОС. Разница между устойчивой ц_∑(щ) и неустойчивой ц’_∑(щ) характеристиками также незначительна, а следовательно, нестабильность параметров корректирующих звеньев может привести к переходу ОС из отрицательной к положительной и выходу системы из состояния равновесия.

ФЧХ замкнутой системы определяется согласно (15). На рис. 7, г приведены ФЧХ устойчивой ц(щ) и неустойчивой ц’(щ) системы. ФЧХ устойчивой системы является убывающей функцией, равной 0 на частоте ѓ₀=0 и стремящейся к -3р/2 (270°) при частоте ѓ →∞. ФЧХ WX неустойчивой системы ц_’(щ) существенно отличается от графика ц(щ), что, как указывалось выше, позволяет оценивать устойчивость замкнутой системы по виду ее ФЧХ.

 

10.Расчёт параметров схемы активного фильтра

Реализация звеньев САР (рис. 2) осуществляется с помощью типовых схем на операционных усилителях. ОУ - это усилитель постоянного тока с большим коэффициентом усиления. ОУ является активным звеном, использующим энергию постороннего источника питания. Современные ОУ представляют собой аналоговую микросхему, имеющую два входных (инвертирующий и не инвертирующий) и один общий выходной зажимы. Кроме них имеются зажимы для подачи напряжения питания, которые обычно на схемах не показываются. Инвертирующий вход создаёт выходное напряжение, полярность которого противоположна полярности входного напряжения. Основные схемы применения ОУ строятся на использовании различных вариантов отрицательной ОС между выходом ОУ и его инвертирующим входом. ОС в таких схемах осуществляется через соответственно подобранные резисторы и емкости в зависимости от характера операций, выполняемых с помощью данной схемы. Для облегчения расчета схем реальные ОУ с достаточной степенью точности представляются в виде идеальных усилителей. Идеальным усилителем является ОУ с бесконечно большим коэффициентом усиления, входное сопротивление которого также равно бесконечности. Такой усилитель должен пропускать сигналы на всех частотах от 0 до ∞, а его выходное сопротивление должно равняться нулю.

В таблице 4 приведены принципиальные схемы, передаточные функции и расчетные формулы для реализации всех звеньев проектируемого активного фильтра.

Фильтр нижних частот второго порядка, являющийся колебательным звеном, осуществляется с использованием многоконтурной отрицательной ОС с R-C -элементами. ФНЧ первого порядка представляет собой простейшее инерционное звено. Корректирующие элементы могут быть представлены простейшими звеньями: ЖОС -безинерционным, ГОС - дифференцирующим и реализованы также в соответствии с таблицей 4.

Однако в этом случае требуется два ОУ. Для построения схемы с использованием одного ОУ находится эквивалентная передаточная функция этих звеньев

которая осуществляется с использованием четырехполюсника в цепи ОС и резистора во входной цепи.

Узел суммирования может быть реализован двумя схемами - инвертирующей и неинвертирующей. В первом случае выходной сигнал сдвинут относительно входного на 180°, во втором - синфазен входному. Несмотря на то, что передаточные функции реальных звеньев получены с использованием инвертирующего входа ОУ, т.е. во всех выражениях табл. 4 присутствует знак "-", их частотные характеристики полностью соответствуют теоретическим. Поэтому в качестве суммирующего звена используется активный неинвертирующий сумматор.

Таблица 4

Передаточная функция звена и её параметры	Схема звена	Расчётные формулы
1. ФНЧ 2-го порядка
2. ФНЧ 1-го порядка
3. Корректирующие звенья
4. Суммирующее звено (для двух входных напряжений)

Воспользовавшись исходными данными и расчетными формулами из таблицы 4 и положив:

С1 = С3 = С4 = 1 мкФ; R1O=2 кОм;

получаем:

для ФНЧ второго порядка

для ФНЧ первого порядка

(выбираем потенциометры с максимальным сопротивлением соответственно 1 кОм и 3,6 кОм);

суммирующее звено

В скобках приведены стандартные значения сопротивлений.

 

Литература

частотный фильтр активный

1. Методические указания к курсовому проектированию по дисциплине «Теоретические основы автоматизации электрической части станций и подстанций» / Составитель: В.Ю. Румянцев.- Мн.: БГПА, 1996 г.