Материал: Разработка активного фильтра

Разработка активного фильтра

1. Исходные данные

Шифр: 306718/110

. Частота среза ФНЧ

f₀ = (N1+3)*10 Гц = (0+3)*10 Гц = 30 Гц;

2.   Коэффициент усиления в полосе пропускания ФНЧ

k₀ = (N1+1)/2 = (0+1)/2 = 0,5;

3.   Рабочая частота полосового фильтра -

f_р= (N1+N2+5)*10 Гц = (0 +1+5)*10 Гц = 60 Гц;

4.   Коэффициент усиления на рабочей частоте

К_р = (N1+N2 +2)/2 = (0 +1+2)/2 =1,5.

. Введение в теорию частотных фильтров

Активные фильтры широко используются в разнообразных автоматических устройствах. Они представляют собой функциональные элементы, в которых в качестве частотно-избирательных звеньев используются резисторно-конденсаторные RC - цепочки, а в качестве активного звена - операционный усилитель (ОУ). Благодаря наличию ОУ такие фильтры называются активными.

Активные фильтры могут использоваться как фильтры нижних частот, фильтры верхних частот и полосовые фильтры (ПФ). На рис. 1 показаны примерные амплитудно-частотные характеристики (АХЧ) ФНЧ и ПФ, представляющие собой зависимость коэффициента передачи K=U_ВЫХ/U_ВХ от частоты f подаваемого входного напряжения.

Рис. 1

На каждой из показанных АЧХ могут быть выделены 3 определенные полосы частот: полоса пропускания, где коэффициент передачи К имеет наибольшее значение, полоса запирания или подавления, где коэффициент передачи доходит до минимума, и промежуточная или переходная полоса. Последняя - эта интервал частот, в пределах которого значение коэффициента передачи К изменяется от максимального К_max до минимального значения. Чем уже переходная полоса, тек блике характеристика фильтра к идеальной. Для ФНЧ первой границей полосы пропускания является частота, при которой коэффициент передачи становится ниже1/√2 ( при К_max = 1 ). Эту частоту называют частотой среза f₀. Частотой подавления, являющейся второй границей переходной полосы, считается частота f₁, при которой К < 0,3 от максимального значения.

Для полосовых фильтров характерны граничные частоты полосы пропускания f₁ и f₂ , определяемые аналогично (см. рис.1,б).

ПФ с узкой полосой пропускания П= f₂- f₁ порядка П=(0,1…0,2)* fp получили название узкополосных или частотовыделяюших. Они настраиваются на рабочую (резонансную ) частоту f_р , на которой происходит максимальное усиление сигнале в Кр раз. В окрестностях частоты fp коэффициент усиления сигнала значительно уменьшается, т.е. на рабочей частоте fр функция имеет явно подчеркнутый максимум.

При разработке частотного фильтра, так же как и любого другого элемента с частотнозависимой характеристикой, необходимо решить две задачи. В первую очередь следует выбрать передаточную функцию W(р) частотного фильтра. Затем решается вторая задача - реализация выбранной передаточной функции W(p) на основе той или иной электронной схемы.

В настоящее время разработано большое количество различных схем активных частотных фильтров. Из множества таких схем наиболее приемлемыми для использования в быстродействующих автоматических устройствах оказались активные фильтры первого и второго порядков. Порядок - это степень многочлена знаменателя передаточной функции W(p) частотного фильтра. Чем выше степень многочлена, а, следовательно, и порядок фильтра, тем круче наклон АЧХ в переходной полосе и лучше его фильтрующие свойства. Поэтому фильтра высоких порядков получают последовательным соединением простейших звеньев (например, фильтр 3-го порядка реализуется соединением звеньев первого и второго порядков).

Рис. 2

Целью курсовой работы является проектирование активного фильтра третьего порядка с регулируемой частотной характеристикой.

Используя в цепи отрицательной обратной связи ФНЧ параллельно соединенные безинерционное и дифференцирующее звенья с регулируемыми коэффициентами К_ж и Кг . преобразовать исходный ФНЧ в узкополосный частотный фильтр с рабочей частотой fp и коэффициентом усиления на этой частоте Кр.

3.Определение постоянных времени ФНЧ

В общем случае передаточная функция активного частотного фильтра второго порядка имеет следующий вид:

Вид фильтра определяется степенью числителя R (р):

фильтр нижних частот - R(р) = К₁,

полосовой фильтр -R(р) = К₁р,

фильтр низких частот 1-го порядка строится на основе передаточной функции

В этих выражениях:

Т₁, Т₂, Т₃ - постоянные времени;

К₁,К₂  - коэффициенты усиления в полосе пропускания:

р  - оператор дифференцирования по времени р=d/dt

Настройка частотных фильтров на заданные параметры - частоту среза f₀  (или рабочую частоту fр) и коэффициент усиления в полосе пропускания Ко (Кр ) - сводится к расчету постоянных времени в выражениях (1), (2):

частотный фильтр передаточный

Определяем постоянные времени и коэффициенты усиления ФНЧ 1-го и второго порядков. Воспользуемся выражениями (3)-(5):

4. Определение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы

Передаточная функция разомкнутой системы определяется как произведение

Для определения передаточной функции замкнутой системы воспользуемся преобразованием параллельно соединенных звеньев:

W’(p)=W₃(p)+W₄(p)=k_ж+k_г∙р

В результате получаем структурную схему представленную на (Рис. 3).

Преобразование схемы производим согласно выражения:

После преобразований W(р) принимает вид:

Введем новые обозначения и вычислим их значения :

к=к₁*к₂=0,707*0,707=0,5;

а₃=Т₁²Т₃=2,81* 10^-5*5,3*10^-3 =1,489 * 10^-7;

а₂=Т₁² +Т₂ *Т₃=2,81 * 10^-5+(5,3*10^-3 )²=5,619 * 10^-5;

а₁=Т₂ +Т₃=5,3*10^-3 +5,3*10^-3 =0,0106;

b=a₁+k_г*к;

с=к_ж*к+1.

С учетом новых обозначений передаточные функции разомкнутой замкнутой системы принимают вид:

5. Нахождение частотных характеристик разомкнутой и замкнутой системы

Если на вход системы (или отдельного звена) подавать гармонические колебания с постоянными амплитудами и частотой, то после затухания переходных процессов на выходе также возникают синусоидальные колебания с той же частотой, но с другой амплитудой, и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний.

Обычно важно знать отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного А=U _{вых m} /U _{вх m} и фазовый сдвиг ц. Эти величины зависят от частоты сигнала, т.е. А и ц является функциями щ и называются соответственно амплитудно-частотной и фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

Аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ можно получить, имея передаточную функцию. Для этого в выражение передаточной функции W(p) вместо р подставляется jщ . При этом получается комплексная величина W(jщ), которая называется комплексной частотной характеристикой. Модуль этой функции представляет собой амплитудно- частотную характеристику А(щ ), а аргумент - фазочастотную характеристику ц(щ), т.е.:

где Re(щ), Im(щ) -соответственно действительная и мнимая части комплексной частотной характеристики.

При анализе схем автоматического регулирования удобно пользоваться амплитудно-частотными характеристиками, построенными в логарифмическом масштабе. Логарифмической единицей усиления по амплитуде принят децибел (дБ). Величину логарифма АЧХ, выраженную в децибелах,

L(щ)=20lgA(щ)  (10)

называют логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). Например, если один сигнал больше другого в 10 раз, то отношение первого ко второму составляет + 20 дБ, а если один сигнал в 10 раз меньше другого, то - 20 дБ.

За единицу частоты обычно принимают декаду. Декадой называют интервал частот между какой-либо величиной частоты и ее десятикратным значением. В логарифмическом масштабе частот отрезок в одну декаду не зависит от частоты и имеет длину, равную

lg10щ-lgщ=lg10=1.

Для разомкнутой системы, подставляя jщ вместо р в выражении (6), определяем комплексную частотную характеристику

Для разделения W_p(jщ) на действительную и мнимую части умножаем числитель и знаменатель этого выражения на сопряженный комплекс.

Тогда:

АЧХ разомкнутой системы определяется согласно (8). После несложных преобразований:

Для расчета ФЧХ разомкнутой системы воспользуемся выражением:

ЛАЧХ paзoмкнутой системы определяется по (10):

Lp(щ)=20lg(Ap(щ)).   (13)

Замкнутая система. Поступая аналогично, имеем:

комплексная частотная характеристика замкнутой системы:

действительная и мнимая части W(jщ):

АЧХ замкнутой системы:

ФЧХ замкнутой системы:

ЛАЧХ замкнутой системы:

L(щ)=20lg(A(щ)).    (16)

6. Расчёт коэффициентов усиления корректирующих звеньев

В соответствии с заданием на проектирование необходимо получить узкополосный частотный фильтр, настроенный на рабочую частоту ѓ_р с коэффициентом усиления на этой частоте Кр. При этом регулироваться могут только коэффициенты усиления корректирующих звеньев Кг и Кж, а все остальные параметры САР должны оставаться неизменными.

Одним из путей решения поставленной задачи является анализ АЧХ замкнутой системы. АЧХ, представленная в виде (14), неудобна для анализа, поэтому ее преобразуют к более удобной форме.

Для этого в коэффициенты АЧХ, которые определяются согласно выражения, подставляются соответствующие выражения (3)-(5) при добротности Q=1. Тогда коэффициенты в (14) принимают вид:

а АЧХ замкнутой системы определяется:

Такая форма представления АЧХ позволяет производить независимую настройку фильтра. Пусть с помощью коэффициента Кг осуществляется настройка ПФ на частоту ѓ_р, а с помощью Кж - на заданный коэффициент усиления К_Р. Тогда на рабочей частоте щ=щ_р=2р ѓ_р правый член подкоренного выражения должен обращаться в нуль, а левый - обеспечивать заданный коэффициент усиления, т.е.

Разрешая (19) и (20) относительно Кг и Кж, получаем:

которые обеспечивают настройку узкополосного фильтра на заданные параметры.

На частоте щ=0 выражение (18) с учетом (22) приобретает следующий вид:

Из (3) следует, что если пренебречь отношением К /К_р, то для получения приемлемого коэффициента передачи на нулевой частоте выбирать рабочую частоту ПФ ѓ_р в несколько раз большей частоты среза ѓ₀ ФНЧ.

Расчет производим по выражениям (21) и (22)

откуда k’_ж=15,5; k’’_ж=12,5

7.Определение устойчивости САР с помощью критерия Михайлова

Определяем коэффициенты b и c по выражению, при k’_ж=15,5, k_г=0,0213:

b=a₁+k_г*к=0,0106+0,0213*0,5=0,02125;

с=к_ж*к+1=15,5*0,5+1=8,75.

характеристическое уравнение с учетом рассчитанных ранее коэффициентов a₃ и а₂ запишется в виде

Уравнение характеристической кривой согласно (2.4):

где Re(щ) =8,75-5,619 * 10^(-5)щ²

Im(щ)= 0,02125щ -1,489 * 10^-7щ³

Вычисляем точки пересечения годографа с осями координат:

Re(щ)=0 при ;

Im(щ₁)= 0,02125* 394,6-1,489 * 10^-7* 394,6³=-0764;

Im(щ)= 0 при щ₂=0;

;

Re(щ₂) =8,75;

Re(щ₃) =8,75-5,619 * 10^-5*377,8²= 0,73

Приведем вычисления Re(щ) и Im(щ) для различных частот:

Re(щ₃) =8,75-5,619 * 10^-5*50²= 8,6;

Re(щ₃) =8,75-5,619 * 10^-5*100²= 8,19;

Re(щ₃) =8,75-5,619 * 10^-5*200²= 6,5;