Материал: Распространение ограниченных волновых пучков, дифракция

В соответствии с формулой (11) в сечении z = const пучок будет описываться функцией

.

Подставляя сюда выражение (10) для углового спектра F₀(k_x, k_y) падающей волны, вычислим внутренний интеграл по dk_x:

.

Аналогично вычисляется и интеграл по dk_у. В результате для амплитуды волны A(x, y, z) получим:

, (19)

где  - функция Грина параболического уравнения, . Таким образом, амплитуда A(x, y, z) удовлетворяет параболическому уравнению с мнимым коэффициентом диффузии:

. (20)

Можно сказать, что по мере распространения волны происходит диффузия ее амплитуды в поперечном направлении, то есть пучок расплывается из-за дифракции. Пусть в сечении z = 0 расположен точечный источник, то есть

A(x₁, y₁) = A₀d(x₁/a)d(y₁/a).

Вычисляя интеграл (19), получим

. (21)

Решение уравнения Гельмгольца (7.1) для точечного источника, описывающее сферически расходящуюся волну, имеет при x/z << 1, y/z << 1 вид

,

совпадающий с выражением (21). Таким образом, в приближении квазиоптики сферический волновой фронт заменяется параболическим, в параксиальной области эта разница несущественна.

Если в сечении z = 0 пучок имеет плоский фазовый фронт и гауссово поперечное распределение амплитуды A(z = 0) = A₀exp(-r²/a²), где r² = x² + y², a - характерная ширина пучка в плоскости z = 0, то интеграл (19) дает

 (22)

При z > 0 радиальное распределение амплитуды по-прежнему гауссово, но ширина пучка при распространении волны растет, то есть, a²(z) = a²(1 + D²), при этом амплитуда волны уменьшается, а ранее плоский волновой фронт искривляется.

Рассмотрим теперь роль нелинейности среды в квазиоптическом приближении. Пусть диэлектрическая проницаемость среды зависит от интенсивности волны e = e₀ + e_нл(|Е|²) = e₀ + e₂|Е|² + e₄|Е|⁴ + ... . Тогда уравнение Гельмгольца (7.1) примет вид:

DE + e₀Ew²/c² + e_нл(|Е|²)Ew²/c² = 0. (23)

Для волновых пучков с узким угловым спектром и при малой нелинейности среды уравнение (23) можно упростить с помощью метода ММА, положив

 (24)

Здесь принято, что поперек волнового пучка изменение амплитуды происходит быстрее, чем вдоль, кроме того, e_нл ~ me₀. Подставляя соотношение (24) в уравнение (23), получим в первом порядке малости по m:

. (25)

Уравнение ММА (25) совпадает с уравнением (20) при e_нл = 0, то есть является квазиоптическим приближением для нелинейной среды. Для того чтобы перейти в уравнении (25) к действительным величинам, положим

A = A₀exp(-iky), (26)

где y - эйконал комплексной амплитуды, который является добавкой к эйконалу плоской волны (24). Подставляя соотношение (26) в уравнение (25) и отделяя мнимую и действительную части, получим:

, (27)

. (28)

Отметим, что уравнение (27) можно рассматривать как уравнение эйконала с двумя "силами": нелинейной рефракцией и дифракцией. Уравнение (28) описывает закон сохранения энергии в волне, то есть является уравнением переноса. В отличие от уравнений геометрической оптики (7.4) и (7.5), здесь уравнения эйконала и переноса не являются независимыми, что отражает самовоздействие волн.

Можно показать, что если ограничиться первым нелинейным слагаемым

e_нл(|Е|²) = e₂А₀²,

то при e₂ < 0 нелинейная рефракция и дифракция действуют в одну сторону и совместно приводят к расфокусировке луча. При e₂ > 0 нелинейная рефракция противодействует дифракции, и возможна самофокусировка луча, когда он сходится в нелинейный фокус, а затем вновь расходится.

Литература

дифракционный теорема кирхгоф интеграл

1. Вихман Э. Берклеевский курс физики. Квантовая физика. М.: Наука, 2007.

. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2009.

. Гершензон Е.М. и др. Курс общей физики. т.т. 1-2. Механика. М.: Академия, 2008.

. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс общей физики. М. Высшая школа, 2009

. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Бином, 2008.

. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2009.

. Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2009.

.Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука, 2007.

. Китель И., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. Механика. М.: Наука, 2007.

.Матвеев А.Н. Курс физики. т.т. 1-4. М.: Высшая школа, 1976-2009.

. Парселл Э. Берклеевский курс физики. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 2009.

.Рейф Ф. Берклеевский курс физики. Статистическая физика. М.: Наука, 2007.

. Савельев И.В. Курс физики, т.т. 1-5. М.: Наука, 2007.

. Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.т. 1-5. М.: Высшая школа, 2008.

. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. т.т. 1-9. М.: Мир, 2007.

. Хайкин С.Э. Физические основы механики. М.: Наука, 2007.

. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики, т.т. 1-2. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.