Задание 1. Определение суммы процента за кредит при германской и английской практике
Кредит в размере 30 тыс. руб. был взят 20 марта 2000 г. со сроком погашения 15 августа этого же года по ставке 30% годовых. Определите сумму процента за кредит при германской и английской практике их начисления.
В германской (коммерческой) практике расчет числа дней основывается на длительности года в 360 дней и месяцев в 30 дней. Сокращенно суть данного метода можно записать1:
12 месяцев по 30 дней = 360 / количество дней в году - 360
Во французской практике длительность года принимается равной 360 дням, количество дней в месяце соответствует их фактической календарной длительности (28, 29, 30, 31 день). 365 / 360
В английской практике Tгод = 365 (366) дней, продолжительность каждого месяца - фактическая. 365 / 365
Исчисляемые по германской базе проценты называются обыкновенными или коммерческими, по английской - точными.
Количество дней по германской системе:
10+30+30+30+30+15-1 = 144,
где 1 - день вложения и снятия суммы
Количество дней по английской системе:
11+30+31+30+31+15-1 = 147 дней
Наращенную сумму по схеме простых процентов можно будет определять следующим образом2:
FV = PV + I = PV + i * PV * n = PV (1 + i * n) = PV * kн,
где kн - коэффициент (множитель) наращения простых процентов.
FV - показывает будущую стоимость "сегодняшней" величины PV
PV - сегодняшняя величина.
i - процентная ставка
n - количество лет наращивания
Сумма процента за кредит при германской практике начисления составит:
FV = 30000(1+0,3*144/360) = 33600 руб.
Сумма процента за кредит = 33600-30000 = 3600 руб.
Сумма процента за кредит при английской практике начисления составит:
FV = 30000(1+0,3*147/365) = 33624,7
Сумма процента за кредит = 33624,7-30000 = 3624,7 руб.
Задание 2. Определение суммы процентов, полученных за кредит, погашенный единовременным платежом
процент кредит инфляция доходность
Банк выдает долгосрочные кредиты по сложной ставке 30% годовых. Определите сумму процентов, полученных за кредит в размере 20 тыс. руб, погашенный единовременным платежом через 2,5 года (двумя методами)
1 метод:
Наращение по сложному проценту рассчитывается по следующей формуле3:
Рn = Р0(1 + i)n ,
где Pn - наращенная сумма через число периодов n,
Р0 - первоначальный размер долга,
i - сложная ставка наращения,
n = a+b - число периодов (лет) наращивания,
a - целая часть периода;
b - дробная часть периода;
(1 + i)n - множитель наращивания по сложным процентам.
20000*(1+0,3)2,5 = 38537,93
Сумма процентов, полученных за кредит = 38537,93-20000 = 18537,93
2 метод:
Смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года - формулу простых процентов:
Рn = Р0 * (1 + i)a * (1 + bi),
где Pn - наращенная сумма через число периодов n,
Р0 - первоначальный размер долга,
i - сложная ставка наращения,
a - целое число лет;
b - дробная часть года.
20000*(1+0,3)2 * (1+0,5*0,3) = 38870
Сумма процентов, полученных за кредит = 38870-20000 = 18870
Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.
Задание 3. Определение ставки процентов по кредиту с учетом инфляции
Кредит в размере 50 тыс. руб. выдается на 3 года. При ожидаемом годовом уровне инфляции 10% реальная доходность операции должна составить 3% по сложной ставке процентов. Определите ставку процентов по кредиту с учетом инфляции, погашаемую сумму и сумму начисленных процентов
Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.
Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле4:
iф = i + ф + iф
где iф - процентная ставка с поправкой на инфляцию;
i - простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную
доходность финансовой операции (нетто-ставка);
ф - показатель инфляции.
Ставка процентов по кредиту с учетом инфляции должна быть равна:
iф = 0,03 + 0,1 + 0,03*0,1 = 0,133
Наращение по сложному проценту рассчитывается по следующей формуле5:
FV = PV (1 + i)n ,
где FV - наращенная сумма через число периодов n,
PV - первоначальный размер долга,
i - сложная ставка наращения,
n - число периодов (лет) наращивания,
(1 + i)n - множитель наращивания по сложным процентам.
Наращенная сумма с учетом инфляции:
FV = 50000*(1+0,133)3 = 72720,98 руб.
Сумма процентов:
I = FV - PV = 72720,98 - 50000 = 22720,98 руб.
Задание 4. Определение доходности в виде годовой ставки сложных процентов
Определить доходность в виде годовой ставки сложных процентов от учета векселя по простой учетной ставке 8 % годовых, если срок оплаты его наступает через два года.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j / m6:
(1 + i)n = (1 + j / m)m * n, тогда i = (1 + j / m)m - 1.
где j - номинальная годовая ставка процентов
m - число периодов начисления,
n - период вклада.
i = (1+0,08/2)2 - 1 = 0,1664
Таким образом, доходность по годовой ставке сложных процентов составит 16,64%.
Задание 5. Определение доходности вкладов по годовой ставке сложных процентов
Банк начисляет ежемесячно проценты на вклады по номинальной ставке - 26 %. Определить доходность вкладов по годовой ставке сложных процентов.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j / m7:
(1 + i)n = (1 + j / m)m * n,
где j - номинальная годовая ставка процентов
m - число периодов начисления,
n - период вклада.
Следовательно,
i = (1 + j / m)m - 1.
i = (1+0,26/12)12 - 1 = 0,293
Таким образом, доходность по годовой ставке сложных процентов составит 29,3%.
Задание 6. Определение суммы процентов, начисленных на вклад за период
Сложные проценты начисляются на вклады ежемесячно по номинальной ставке - 36 %. Определить сумму процентов, начисленных на вклад 2000 руб. за два года.
Начисление процентов за дробное число лет может выполняться по формуле сложных процентов8:
Рn (или S) = Р0(1 + i/m)nm =Р0(1 + j)nm;
где Pn (или S) - наращенная сумма через число периодов n,
P - первоначальный размер долга,
i - номинальная процентная ставка наращения,
n - число лет наращивания,
m - число периодов за год,
j = i/m - проценты за один период начисляемые по ставке i,
nm - количество начислений