Пример систем итерируемых функций
Одним из наиболее ярких примеров среди различных систем итерируемых функций, несомненно, является открытая М. Барнсли система из четырех сжимающих аффинных преобразований, аттрактором для которой является множество точек, поразительно напоминающее по форме изображение листа папоротника. Ее можно представить в виде следующей таблицы
|
a |
b |
c |
d |
e |
f |
p |
|
|
0 |
0 |
0 |
0.16 |
0 |
0 |
0.01 |
|
|
0.85 |
0.04 |
-0.04 |
0.85 |
0 |
1.6 |
0.85 |
|
|
0.2 |
-0.26 |
0.23 |
0.22 |
0 |
1.6 |
0.07 |
|
|
-0.15 |
0.28 |
0.26 |
0.24 |
0 |
0.44 |
0.07 |
|
Каждая строчка этой таблицы соответствует одному аффинному преобразованию с коэффициентами а, b, с, d, е, f в соответствии с выражением
В последнем столбце таблицы приведены вероятности р, в соответствии с которыми в методе случайных итераций выбирается то или иное преобразование.
Результат действия этой системы функций на некоторую начальную точку для разного числа итераций приведен на рис. 1.43. Видно, как с ростом числа итераций действительно возникает все более и более четкое изображение листа папоротника, удивительным образом напоминающее существующее в природе растение.
Это множество точек бесконечно самоподобно, как и полагается всякому фракталу. Как следует из рис. 11, увеличенные малые фрагменты изображения подобны целому. Для разрешения этих фрагментов необходимо только, чтобы число итераций было достаточно велико.
Таким образом, чем больше используемое разрешение, тем больше точек требуется внести в память компьютера для того, чтобы построить соответствующее изображение. С другой стороны, запоминать координаты этих точек вовсе не требуется, так как они каждый раз могут быть заново получены с использованием системы функций, заданных таблицей
Рис. 11. Увеличенный фрагмент листа папоротника
В результате всего 28 чисел содержат всю необходимую информацию об этом нетривиальном рисунке! Возникает мысль, а нельзя ли подобным образом "кодировать" и другие изображения. Эта идея, будучи реализованной на практике, позволила бы сжимать изображения в десятки или даже в сотни раз. И действительно в 1988 г. она была успешно воплощена Барнсли и Слоаном в созданной ими совместно компании по кодированию и сжатию графической информации с помощью соответствующим образом подобранной системы функций.
Генерация фракталов
Для генерации фрактальных рисунков можно написать алгоритм программы в Паскале, Бейсике или в других языках программирования. Есть множество литературы в которой подробно рассмотрено написание алгоритма программы для генерации фракталов, например, Р. М. Кроновер «Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории», в содержании рассмотрено теория о фракталах а так же примеры с написанием программ для генерации фракталов. Но на сегодняшний день существует большое количество уже написанных программ генерации фрактальных рисунков. Рассмотрим одну из них- Fractal Explorer версии 2.02.
При запуске Fractal Explorer появляется пустое окошко, сверху находится панель инструментов.
Слева которой активны шесть иконок. Первые пять для генерации новых, а шестое для открытия ранее сохраненного. Например, при нажатии на первою иконку начинает генерироваться фрактал Мандельброта, причем генерация происходит в реальном времени. В меню Size можно поменять разрешение для фрактальной картинки. По умолчанию 300 х 300, из предоставленного списка разрешений можно либо прибавить, либо убавить. При увеличении разрешения фрактал уже генерируется дольше чем раньше, так как компьютеру становится сложнее рассчитать фрактал на большее количество точек. При двойном клике левой клавиши мыши фрактал увеличивается, но не просто он становится крупнее, а просчитывается заново. После того как фрактал сгенерировался, можно изменить некторые параметры генерации фрактала. При нажатии появляется окошко, в котором можно изменить итерационную формулу, количество итераций, параметры функций, и множество других настроек.
Так же можно построить систему итерируемых функций, фракталом которой является лист папоротника. По умолчанию для построения этого фрактала стоит 100 итераций. И если лист папоротника начать увеличивать, то при сравнительно небольшом увеличении видно, что он состоит из точек. При изменении 100 итераций на 5000, увеличенный часть листка папоротника уже состоит из множества листочков папоротника.
Заключение
В заключении описании программы Fractal Explorer, можно сказать, что очень интересно наблюдать за тем как рисуется фрактал, какой палитрой он раскрашивается. Сильно понравившийся фрактал, можно сохранить или напечатать.
Может быть, в будущем новые идеи фрактальной геометрии помогут нам изучить многие загадочные явления окружающей природы.
В настоящее время фракталы и мультифракталы стремительно вторгаются во многие области физики. Фрактальные методы обработки изображений и распознавания образов, использующие новые понятия, дают возможность исследователям применить этот математический аппарат для количественного описания огромного количества природных объектов и структур.
Список использованной литературы
1. Джураев Р.Х Помехоустойчивые коды в телекоммуникационных системах. Учебное пособие - ТУИТ, Ташкент 2013.
2. Бондаренко В.А., Дольников В.Л. Фрактальное сжатие изображений по Барнсли-Слоану.
3. Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. Computerworld-Россия. -1995.-N15.-с.11.
4. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ.-М.: Мир,1991.-254с. (Jens Feder, Plenum Press, NewYork, 1988)
5. http://levinaleks.narod.ru/fractals2.htm