Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А
= 1 − /(1− ) , = (1+ )/(1− ) , где = .
Первая формула определяет частоту электромагнитной волны в ′ - системе зеркала, вторая в - системе неподвижного наблюдателя для отражённой волны.
Итак, в соответствии с изложенным, частота и импульс
фотона в |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, =а |
в |
1 −- |
/(1− ) |
и |
|||
|
′ - |
системе будут равны |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
= |
|
|
|
1 − |
/(1 − |
) |
|
|
|
системе |
= |
|||
(1+ )/(1− |
|
) |
|
|
= |
|
|
(1+ |
)/(1− |
|
||||||||
|
и |
= |
) |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В′ - системе ,в которой зеркало покоится, частота
падающего и отражённого фотонов равны , а их импульсы противоположны. Следовательно, переданный зеркалу импульс
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
. |
|
|
|
|
|
= |
|
∙ |
|
|
|
|
= / |
|
|
|
|||||
С = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|||||
точки зрения наблюдателя - системы частоты падающего |
|||||||||||||||||
и отражённого |
фотонов |
|
соответственно |
равны |
и |
, а |
|||||||||||
импульсы |
= |
|
и |
|
|
|
, |
|
имеющие |
противоположные |
|||||||
направления. При этом |
переданный зеркалу импульс равен |
|
|||||||||||||||
= + = |
|
|
1+ |
1+ |
= |
2 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
1 − |
(1− ) |
|
|||||||||||
5.12. Короткий импульс лазерного излучения виртуально можно представить как отдельный испущенный фотон частоты = / , поскольку энергия аддитивная величина, а зависимость энергии кванта от частоты линейная. В процессе почти мгновенного взаимодействия импульса излучения с зеркальцем само зеркальце остаётся в покое. Вследствие этого частота и импульс фотона при отражении не изменяются. Тогда полученные зеркальцем механический импульс и кинетическая
энергия будут равны: = 2 = 2 = 2 = 2 / ,
11
= |
|
= 2 /( |
). Наличие кинетической энергии приведёт |
|
к повороту зеркальца в вертикальной плоскости относительно точки подвеса. Максимальный угол отклонения зеркальца определяется законом сохранения механической энергии:
|
|
= |
|
|
(1 −cos |
) = 2 |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
= 13 |
sin |
= |
|
мг |
, |
|
sin |
= |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Для |
= 0,5 . |
= 10 |
|
|
= 10 |
см , |
максимальный угол |
|||||||||||||
|
Дж , |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
отклонения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.13.Испущенный фотон обладает гравитационной массой
ивследствие этого притягивается звездой. Удаляясь от звезды, фотон часть своей энергии затрачивает на совершение работы против гравитационной силы притяжения, первоначальная энергия фотона уменьшается. В обобщённом смысле скажем:
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
== |
|||||
работа силы идёт на приращение энергии частицы: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
гравитационная |
масса |
||||||||
фотона, |
|
|
|
|
|
энергия фотона. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||||||
|
|
|
имеем уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Итак,= |
= |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
гравитационная |
постоянная, |
||||||||||||||||||
Здесь |
- |
масса |
звезды, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
расстояние до центра звезды−. Интегрирование уравнении (1) |
|||||||||||||||||||||||||||
− |
|
= |
|
|
|
|
/ . |
При |
= |
|
∙ |
|
|
|
= |
, |
|
|
|
|
|||||||
даёт: |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
частота |
|
|
тогда |
||||||||||||
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
||||
Для |
|
= |
|
|
|
|
|
|
/ |
= . |
Приращение |
частоты фотона на |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
( |
|
− ) . |
||||||||||||||||
большом |
расстоянии от |
звезды |
|
|
|
= |
|
− = |
( |
|
|
|
− 1) |
||||||||||||||
Величина |
|
|
|
|
и, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= − |
(1 − |
|
|
следовательно, сдвиг частоты |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
) |
отрицательный, т.е. |
в |
сторону |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
/ |
< 1/ |
|
|
||||||||||||||||||||
меньших частот. Относительное смещение частоты |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
/ |
|
= −(1− |
|
/ |
|
). |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.14. Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра соответствует одному из вероятностных исходов, когда
кинетическая |
|
энергия ускоренного |
электрона |
|
|
|
|
|
|
при |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
в= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
последующем торможении |
полностью переходит |
энергию |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
испущенного кванта излучения, т.е. |
|
|
|
|
|
|
, или |
||||||||||||||||||||||||||
|
= 2 / |
|
|
рентгеновской = 2 / |
|
|
|
|
|
|
переходе от |
|||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
. |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При= |
|
|||||||||||||||||
потенциала |
|
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трубке к потенциалу |
|
|
|
имеем : |
||||||||||||||||
′ |
|
= |
, |
′′ |
= |
|
|
|
′′ |
/ |
′ |
|
= / = ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
− |
|
|
= |
1− |
|
|
|
|
в= 1 − |
|
∙ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
. |
|
Если |
|
|
кВ, |
|
|
в пм, |
то |
|
||||||||||||||
|
= |
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 26 |
|
|
= 1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
, |
∙ |
|
|
|
. |
Для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пм, |
|
|
|
|
|
первоначальное |
||||||||||||
|
|
5.15. |
|
|
|
|
|
|
|
= 16 |
кВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
напряжение на трубке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Осуществление |
|
|
зеркального |
|
отражения пучка |
|||||||||||||||||||||||||
рентгеновских лучей предполагает наличие дифракционного максимума какого-либо порядка. Дифракционные максимумы
наблюдаются при |
выполнении условия |
|
|
|
(формула |
|||
Вульфа – Брэгга). |
Здесь - угол |
скольжения, |
= 1, 2, |
… |
||||
|
2 |
sin |
= |
|
и |
|||
порядок максимума. Из формулы видно, что |
= |
, если |
||||||
= 1− |
||||||||
=. Минимальная длина волны при определённом
напряжении |
на трубке |
|
|
|
|
|
(см. |
решение 5.14). |
|||||
|
нм и |
|
2 sin |
= |
|
|
= |
∙ |
|
кВ. |
|||
Отсюда получаем: |
|
|
|
|
= 2 |
/ |
|
|
= 31 |
|
. Для |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= 0,28 |
|
= 4,1 |
напряжение на трубке |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.16.Кинетическая энергия релятивистской частицы
=
−1 , где = / . При полном превращении
кинетической энергии электрона в квант рентгеновского
13 |
= |
= |
|
|
излучения имеет место равенство |
|
|
. Отсюда |
получаем |
= |
|
= |
|
/( |
|
|
− 1) . Для = 0,85 |
|
|
|||||||
|
минимальная длина волны сплошного рентгеновского спектра
=2.8 пм.
5.17.Распределение энергии в спектре тормозного рентгеновского излучения, приведённое в задаче, необходимо
скорректировать и представить в виде |
( ) = ( / |
|
−1)/ , где - |
||||||||||||||||||||
коэффициент пропорциональности. |
|
||||||||||||||||||||||
Установим связь между |
|
и |
. Связь между этими длинами |
||||||||||||||||||||
волн: излучения вытекает из условия экстремума зависимости |
= |
||||||||||||||||||||||
( ) |
⁄ = 0 |
|
|
|
|
|
− 1 ∙ |
|
= 0 − |
|
+ |
|
|
= 0 |
|||||||||
|
= 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
С |
|
= 3 |
/2 |
|
|
/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||
|
другой стороны, коротковолновая граница |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2), |
получим |
||||||||
|
|
|
напряжение на трубке. Приравняв (1) и = |
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
= 3 / |
При |
|
|
= 53 |
пм напряжение |
= 35 |
|
Кв. |
|
|||||||||||||
|
|
− |
|
. Для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
5.18. |
|
|
|
|
решении |
данной |
задачи |
и |
|
|
нескольких |
||||||||||
последующих основным инструментом является уравнение
Эйнштейна для |
внешнего фотоэффекта: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электрона для выбранного |
||||||||||||||
|
|
= |
+ |
|
, где - работа выхода |
|
|
|
|
|
= |
, |
+ |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
т.е. |
< |
|
||||||||
проводника. Фотоэффект имеет место, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Для |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Красная граница фотоэффекта |
= |
|
|
|
|
|
|
цинка |
|
= 3,74 |
эВ |
, |
|||||||||||
мкм. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= 2 |
∙0,66∙10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∙3∙10 /3,74 = 0,332 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Максимальная скорость вырываемых электронов с поверхности цинковой пластинки электромагнитным излучением
равна |
|
|
|
|
|
, |
∙ |
∙ ∙ |
|
∙ , |
|
= |
− = |
− |
|||||||||
|
|
, |
∙ ∙ |
∙ |
, ∙ |
||||||
= 6,6∙10 м/с.
5.19. На основании уравнения Эйнштейна имеем два
равенства |
|
= + |
|
(1), |
|
= + |
|
(2). Представим |
|
|
14
равенства (1) и (2) в виде |
|
− |
= |
|
|
|
|
|
|
(3) и |
|
|
− |
= |
|
|
|
(4), а |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
затем поделим (3) на (4): |
|
/ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
, |
тогда |
|
|
/ 2− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
/ |
= |
|
|
2 / |
− = |
2 |
(2 / |
− |
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Отсюда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
= 2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
||||||||||
|
5.20. |
|
При( −1) |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
выбывании |
|
электронов |
|
с |
поверхности |
||||||||||||||||||||
проводника действием электромагнитного излучения проводник приобретает положительный заряд, вокруг него создаётся поле кулоновских сил притяжения электронов. В отсутствие внешнего электрического поля у поверхности проводника возникает электронное облако. Через весьма малый промежуток времени после начала облучения наступает равновесие, когда число вырываемых электронов с поверхности металла становится равным числу электронов, попадающих на поверхность. При этом электронное облако будет стационарным, а потенциал уединённого проводника достигнет максимального значения . В равновесном состоянии кинетическая энергия электрона, получаемая при поглощении кванта электромагнитной энергии за вычетом работы выхода недостаточна для преодоления поля потенциальных сил притяжения, т.е. поля задерживающего
потенциала . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Итак, |
наступлению |
равновесия |
|
соответствует |
условие |
|||||||||
4,47 |
= 2 / − |
. Отсюда |
= |
|
|
∙ |
|
− |
|
. Для |
меди |
нм= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
эВ . |
Длина волны |
заданного |
излучения |
= 140 |
. |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
Соответствующий потенциал, приобретаемый медным шариком,
|
= |
∙3∙10∙10−9 |
∙0,66∙10−15 − 4,47 = 4,4 |
|
равен |
|
8 |
|
. |
|
|
|
5.21.Электрическую составляющую излучения
представим в виде = {cos + [cos( − ) +cos( + ) ]}. Из
этого выражения видно, что данное электромагнитное излучение
15