Материал: Понятие и свойства фрактальных поверхностей

Понятие и свойства фрактальных поверхностей

Контрольная работа

Понятие и свойства фрактальных поверхностей

Содержание

Введение

1. Термины и определения

2. Топография поверхности

2.1 Основы триботехнологии

2.2 Выбор способа обработки поверхностей трения

2.3 Конструкторско-технологическое обеспечение качества поверхностного слоя деталей узлов трения

Список литературы

Введение

Фрактал в переводе означает "состоящий из фрагментов". Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Бенуа Мандельброта "Фрактальная геометрия природы". В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Фрактал - это грубая или фрагментированная геометрическая форма, которая может быть разделена на части, каждая из которых (по крайней мере, приблизительно) уменьшенная копия всего целого. Можно дать несколько определений фрактала:

) расходящийся критерий: любая форма, обладающая таким необычным свойством, что когда вы измеряете длину, область, поверхность области или объем в дискретных единицах, измеряемое значение изменяется по экспоненте на размер дискретной единицы;

) определение Хаусдорфа: геометрическая фигура или естественный предмет, обладающий следующими характеристиками: а) часть имеет ту же структуру или форму, как и целое, за исключением того, что они при различном масштабе могут немного искажаться; б) форма сильно искажена и фрагментирована, и она остается такой независимо от масштаба.

Существует много математических структур, которые являются фракталами, например ковер Серпинского - снежинка (остров) Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта, аттрактор Лоренца и другие. Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: облака, горы, турбулентные течения, береговые линии, корни, ветки деревьев, легкие животных, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам. Б. Мандельброт дает математическое описание фрактала как множества, размерность которого D строго превышает топологическую размерность. Так, для фрактальной кривой размерность лежит в диапазоне 1<D<2, а для поверхности 2< D_S <3.

Точка имеет топологическую размерность 0, линия - топологическую размерность 1, поверхность - топологическую размерность 2. Строгое определение топологической размерности формулируется так: топологическая размерность множества A равна нулю, если для любой точки множества A найдется сколь угодно малая окрестность, граница которой не пересекается с A; топологическая размерность A равна n, если для любой точки этого множества найдется сколь угодно малая окрестность, граница которой пересекается с A по множеству размерности n-1, и, кроме того, n есть положительное наименьшее число, для которого это условие выполнено.

Снежинка Коха

Приведем некоторые известные фрактальные объекты.

Пыль Кантора. Георг Кантор (1883 г.) рассматривал множество, которое получается следующим образом. Возьмем отрезок и разделим его на три равные части. Выбросим среднюю часть, а оставшиеся отрезки также разделим на три части и выбросим среднюю часть. Продолжая процедуру аналогичным образом, получим следующую структуру.

фрактал фрактальная поверхность триботехнология

В 1904 г. Хельге фон Кох построил фигуру, которую называют остров, или снежинка Коха (snowflake). Построение снежинки понятно из приведенного ниже рисунка.

"Снежинка" как фрактальный геометрический объект имеет бесконечный периметр при увеличении числа элементов, но при этом объект ограничен конечной областью.

В 1915 г. Вацлав Серпинский предложил объекты, названные салфеткой (если исходным элементом является треугольник) или ковром (исходный элемент - квадрат).

Салфетка Серпинского

Природные фрактальные объекты: а - лист папоротника; b - дерево

Таким образом, фрактальные (изрезанные, изломанные) объекты, отличаясь от геометрических объектов "правильной" формой, более полно отражают морфологические особенности реальных тел, включая инженерные поверхности. Использование представлений о фрактальных объектах позволяет создать многоуровневые модели на основе самоподобия или самоаффинности.

1. Термины и определения

Приведем следующие основные термины и определения, относящиеся к фрактальной геометрии инженерных поверхностей.

·        Масштаб измерения (Scale of observation). Линейный размер (для профиля) или размер участка поверхности, подлежащие измерению и (или) анализу.

·        Фрактал (Fractal). Изломанный (негладкий) объект с дробной размерностью.

·        Фрактальные поверхности (Fractal surfaces). Реальная инженерная поверхность может быть частично фрактальной. Ее структура описывается случайным процессом, содержащим нерегулярные (или хаотические) геометрические компоненты разных масштабов. Математические модели идеальных фрактальных поверхностей учитывают различный уровень детализации геометрической структуры поверхности (в том числе шероховатость и субмикрошероховатость).

·        Cамоподобие (Self-similar). Самоподобная поверхность имеет такие же топографические особенности и повторения в статистическом аспекте в широком диапазоне масштабов (рис. 1.1).

Рис. 1.1 Самоподобие профиля поверхности: увеличение участка дает профиль той же структуры, но в другом масштабе

·        Самоаффинность (Self-affine). Траектория броуновской частицы определяется ее координатой и временем, которые являются разными физическими величинами с разными коэффициентами подобия. Запись профилограммы осуществляется в разных масштабах увеличения в вертикальном (ось 0z) и горизонтальном (ось 0x) направлениях. В этом случае можно говорить о самоаффинном подобии профиля реальной поверхности и ее записи. Соотношение между высотными и шаговыми параметрами профиля имеет вид

,

где b-коэффициент увеличения (уменьшения); Н-показатель Херста.

·        Сложность структуры (Сomplexity). Степень сложности структуры определяется особенностями геометрической структуры поверхности или профиля (нерегулярность, хаос) в различном диапазоне масштабов (от микрометрового до нанометрового). Сложность оценивается соответствующим параметром, связанным с фрактальной размерностью. Ее увеличение прямопропорционально росту фрактальной размерности (рис. 1.2).

·        Размерность в эвклидовом пространстае (Euclidean dimention). В двухмерном пространстве положение точки определяется двумя координатами, в трехмерном - тремя (декартова система координат). Положение точки на линии требует знания одной координаты. Если за начало отсчета взять точку 0, то положение другой точки Х определяет расстояние 0Х. Таким образом, размерность линии равна единице D_E=1, размерность плоскости - D_E=2.

·        Фрактальная размерность (Fractal dimension). Фрактальная размерность по Б. Мандельброту (B. B. Mandelbrot) определяется соотношением

 (1.1)

Для идеальной фрактальной структуры профиля в соответствии с уравнением (1.1) фрактальная размерность представляет собой тангенс угла наклона прямых aK, bK, представленных на рис. 1.2. Фрактальная размерность растет с увеличением степени сложности объекта. Для профиля фрактальная размерность в зависимости от сложности лежит в диапазоне 1<D<2, а для поверхности - 2<D_S<3.

·        Параметр сложности (Complexity parameter). Параметр сложности С_р связан с фрактальной размерностью. Введение этого параметра позволяет выделить профили или поверхности, фрактальные размерности которых отличаются от эвклидовой размерности несколькими сотыми или тысячными долями. В этом случае параметры сложности профиля и поверхности соответственно равны C_pp=1000 (D-1) и C_pa=1000 (D_S-2).

Рис. 1.2 Зависимость числа окружностей N, покрывающих профиль, от величины измерительной линейки - раствора циркуля 1/r (в логарифмических координатах).

С уменьшением радиуса окружностей 1/r, r>1 число окружностей одинакового радиуса, покрывающих выделенный участок кривой, растет нелинейным образом. Степени сложности располагаются в следующем порядке: a<b<c

·        Мультифрактальная поверхность (Multi-fractal Surface). Поверхность, чья сложность и, следовательно, фрактальная размерность зависят от шкалы измерения или наблюдения (рис. 1.3). Тонкая структура выявляется при измерении в нанометровом диапазоне, а грубая - в микрометровом.

·        Шкала перехода - кроссовер (Crossover scale). Шкала измерений, в пределах которой наблюдается изменение фрактальной размерности (рис. 1.3). Первый кроссовер характеризует переход от "гладкой" поверхности, когда измерение производится большим раствором циркуля, к шероховатой, когда раствор циркуля сопоставим с шагом неровностей. Определение второго кроссовера требует применения более тонких измерительных приборов, в частности сканирующего электронного микроскопа.

·        Анализ профиля (Length-scale analysis). Одна из известных процедур определения фрактальной размерности заключается в следующем. Длину выделенного участка кривой измеряют измерительной линейкой (раствор циркуля в каждом случае разный). На рис. 1.4 представлена процедура измерения и приведены параметры, характеризующие приближение измеренной с разными шагами длины кривой к истинному значению.

Рис. 1.3 Идеализированная зависимость N от 1/r (в логарифмических координатах) для мультифрактальной поверхности.

Второй кроссовер для мультифрактальной поверхности отражает переход от грубой структуры к тонкой, фрактальная размерность которой меньше (tgα<tgβ)

Рис. 1.4 Измерение длины кривой разными отрезками (результат представлен в виде произведения количества отрезков на их длину. Расстояние между началом и концом измеряемой кривой равно 110 мкм)

Относительная длина кривой для трех приведенных на рис.1.4 примеров соответственно равна: 120/110=1,091; 125/110=1,138; 150/110=1,376.

·        Анализ поверхности (Area-scale analysis). Выделенная для исследования поверхность покрывается одинаковыми элементами, например треугольниками. Площадь покрытия, равная произведению площади одного элемента на их число, делят на номинальную площадь. При уменьшении площади элемента их число растет, и отношение площади покрытия к номинальной площади также увеличивается (рис. 1.5). Построив в двойных логарифмических координатах зависимость относительной площади от масштаба измерения (площади элемента), можно обнаружить первый и второй кроссоверы, найти угловой коэффициент k, параметр сложности C_pa и фрактальную размерность исследуемой поверхности (рис. 1.6).

Рис. 1.5 Покрытие реальной поверхности треугольными ячейками, имеющими различную площадь по данным проф.К. Брауна (Chris Brown)

Относительная площадь покрытия для четырех случаев (рис.1.5) составляет: 1270000^.72/10⁸ =1,052; 263000^.409/10⁸=1,181; 52900^.2416/10⁸=1,330; 7830^.18331/10⁸=1,461.

Рис. 1.6. Зависимость относительной площади А₀ от площади ячейки покрытия (по данным рис. 1.5)

Фрактальная размерность поверхности. Покроем исследуемый участок поверхности системой одинаковых треугольников и подсчитаем суммарную площадь покрытия, равную , где A_Δ-площадь треугольника. Разделим полученную площадь на величину номинальной площади-проекции реальной поверхности на плоскость, определяемую геометрическим очертанием исследуемого участка. Тогда, построив в двойных логарифмических координатах зависимость относительной площади покрытия от площади покрывающего элемента, можно найти в определенном диапазоне изменения площади элемента наклон или угловой коэффициент прямой, величина которого берется со знаком минус. В результате расчета находят фрактальную размерность поверхности, равную:

Фрактальная размерность поверхности изменяется в пределах 2<D_S<3, а ее связь с фрактальной размерностью профиля определяется соотношением D_S=D+1.

При площади ячейки свыше 10⁶ нм² (рис. 1.6) фрактальности не наблюдается. При уменьшении площади ячейки происходит переход через кроссовер, и степенная зависимость на участке между кроссоверами (более 2⁴ до 10⁶ нм²) указывает наличие фрактальной структуры, отражающей особенности шероховатого слоя. При размерах ячейки менее 2⁴ нм² наклон прямой в двойных логарифмических координатах отличается от наклона между двумя кроссоверами и характеризует субшероховатость. На этом участке известные параметры шероховатости не дают необходимую информацию для решения инженерных задач. Таким образом, исследуемая поверхность - мультифрактальна.

2. Топография поверхности

2.1 Основы триботехнологии

Триботехнология представляет собой раздел, связанный с обеспечением качества поверхности. Триботехнология является составной частью более общего научного направления, именуемого инженерией поверхности. Инженерия поверхности объединяет методы направленного изменения физико-химических свойств поверхностных слоев материалов путем деформирования, модифицирования, нанесения пленок, покрытий, защитных слоев различными комбинированными методами. Комплексное использование достижений ряда фундаментальных наук обеспечивает создание и практическое использование в основном в ремонтном производствах новых высокоэффективных ресурсосберегающих технологий управления функциональными свойствами деталей машин путем направленного создания оптимальной топографии, определенных физико-механических характеристик поверхностных слоев и управления их свойствами.

На рис. 2.1, 2.2 представлены поверхности и профили после разных видов обработки.

Рис. 2.1 Поверхность и профиль после финишной обработки

Рис. 2.2 Поверхность и профиль после строгания

2.2 Выбор способа обработки поверхностей трения

Выбор такого способа обработки предполагает выбор методов и режимов обработки, а также инструмента и его параметров.

Каждый из рассмотренного многообразия технологических методов имеет свои особенности и области применения и характеризуется определенными факторами, обусловливающими процесс формирования параметров качества обрабатываемых поверхностей деталей, включая влияние технологической наследственности.

Каждому технологическому методу обработки присущи свои количественные и качественные характеристики: определенные высотные и шаговые параметры неровностей; направление неровностей; коэффициент, степени и глубина наклепа; величина и знак остаточных напряжений. Эти характеристики во многом зависят от условий механической обработки: режимов и геометрических и других параметров инструмента, свойств смазывающе-охлаждающих технологических сред, жесткости оборудования и т.п.