На землю летит метеорит массой 1000000 тонн летит прямо в центр земли. На него нужно посадить корабль, который своими двигателями отклонит его в сторону. Скорость метеорита 12 км/с до земли 500000 тыс. км. Нужно найти силу двигателей ракеты метеорит должен быть отклонен хотя бы на 3 радиуса Земли.
Дано:
Масса Земли
Гравитационная постоянная
Радиус Земли
Запишем уравнения движения.
Сила гравитации.
или ускорение, создаваемое гравитацией Земли.
Причем заметим, что условие эквивалентно
Для решения данного уравнения. Умножаем обе части на
Получим
Навешиваем интегралы на каждую часть
Получим
Имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Обозначим для удобства
Ищем интеграл
Сделаем замену
Получаем
Разложим нашу дробь на элементарные
Или система уравнений
Из первого уравнения
Из второго уравнения
Умножаем первое уравнение на
Прибавляем первое уравнение ко второму
Вычитаем из второго уравнения первое
Данная функция не позволяет аналитически выразить , мы сможем только найти время падения метеорита. Заметим, что при , , а наш интеграл стремится к нулю.
Считаем все по порядку
гравитационный ракета метеорит
Как видим эта постоянная практически равна начальной скорости, что можно было учесть ранее, отбросив член из-за своей малости, но ответ от этого мало меняется.
Подставляем значения
Сила тяги ракеты постоянна и равна (считаем, что масса ракеты много меньше массы метеорита)
Тогда если тягу направить перпендикулярно направлению падения метеорита, то получим путь, пройденный метеоритом в этой плоскости.
или ракета должна создавать минимальное постоянное ускорение, что за время падения метеорит отклонился на
Или реактивная сила тяги
Главный вывод из этого решения. Так как метеорит располагается достаточно далеко, что его начальное ускорение мало
Для того что бы на скорость ускорение как-то заметно повлияло, необходимо расстояние порядка или 10000 км от Земли, что составляет примерно 2% от всего пути метеорита, то есть весь путь он будет лететь практически с постоянной начальной скоростью. Если посчитать примерное время падения без учета гравитации
То получим ненамного большее значение. Разница составляет примерно 15 мин или примерно те же 2%.