Практическая работа №1
по дисциплине «Основы актуарной математики»
1. При какой ставки сложных процентов за 1,5 года сумма удваивается?
Решение:
Sn=P(1+i)*n
2=1(1+i)*1.5
(1+i)*1.5=2
Прологарифмируем полученное выражение:
1.5lg(1+i)=lg2; lg2=0.3;
1.5lg(1+i)=0.3;
Lg(1+i)=0.02
i=0,58
Ответ: За 1,5 года сумма увеличится на 0,58%
В день рождения внука бабушка положила в банк $1000 под 4 % годовых. Какой будет эта сумма к семнадцатилетие внука?
Решение:
S=S0*(1+P/100*n)
где S0 - первоначальная сумма вклада y.e.
P - годовой процент
N - срок вклада
S=1000*(1+4/100*17)=1680 y.e.
При сложных процентах:
S=S0*(1+P/100)n
S=1000*(1+4/100)*17=17680 y.e.
Ответ: При простых процентах к семнадцатилетию внука сумма буден равна 1680 y.e., а при сложных процентах 17680 y.e.
2. Как найти инфляцию за квартал, если известна годовая инфляция?
Решение:
Пусть a инфляция за год, тогда инфляция за квартал x находится из уравнения
(1+х)4 = 1+а => 1+х = => x = - 1
Ответ: инфляция за квартал x = - 1
3. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%?
Решение:
По формуле требуемая номинальная ставка равна:
j= 0.06+0.12+0.6*0.12=0.1872=18.72%
Для получения приближенного решения можно воспользоваться оценкой и прийти к достаточно точному значению.
7*0.06+0.12=0.18=18%
Ответ: банк должен назначить ставку 18%, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%.
4. Наращение простых процентов с переменной ставкой. Пусть простые проценты за k-й год равны . Найдите наращенную сумму через n лет.
Решение:
S = P*(1+n1i1+ n2i2 + …… + nkik) = P*(1+ ),
где P - первоначальная сумма
it - ставка простых процентов в периоде с номером t, t = 1,k
nt - продолжительность t периода начисления по ставке it, i = 1, k.
5. Наращение сложных процентов с переменной ставкой. Пусть сложные проценты за k-й год равны . Найдите наращенную сумму через n лет.
Решение:
S = P* (1+i1)n1 * (1+i2)n2 ……*(1+im)nm = P*nk,
где i1, i2, i3, ….. im - значения ставок процентов, действующих в соответствующие периоды n1, n2, n3,……. nk времени.
6. По договору зафиксирован платеж через 3 года в размере 1000 д.е. Через год процентная ставка увеличилась. Кому это выгодно: тому, кому будут платить, или тому, кто будет платить?
Ответ: плательщику
7. Найдите пять сумм в прошлом и в будущем, эквивалентных сумме 10 000 грн. в момент времени 0, при ставке процента 20,5%.
Решение:
S= (1+i)n-t * P
S5= (1+0,205)5-0*10 000 = 25 405 грн.
S4= (1+0,205)4-0*10 000 = 21 083 грн.
S3= (1+0,205)3-0*10 000 = 17 496 грн.
S2= (1+0,205)2-0*10 000 = 14 520 грн.
S1= (1+0,205)1-0*10 000 = 12 050 грн.
S-0= (1+0,205)0-0*10 000 = 10 000 грн.
S-1= (1+0,205)-1-0*10 000 = 8298 грн.
S-2= (1+0,205)-2-0*10 000 = 6886 грн.
S-3= (1+0,205)-3-0*10 000 = 5715 грн.
S-4= (1+0,205)-4-0*10 000 = 4742 грн.
S-5= (1+0,205)-5-0*10 000 = 3936 грн.
Ответ: 25405, 21 083, 17 496, 14 520, 12 050, 10 000, 8298, 6886, 5715, 4742, 3936 грн.
8. Вексель номиналом 10 000 учтен банком за 12с+40 дней срока погашения. Определить выкупную стоимость векселя, если учетная ставка равна 26% годовых
Решение:
Дан номинал векселя Р = 10000, количество дней до срока погашения t = 76, учетная ставка i = 26% = 0,26.
S = P * (1 - i/360*t), где 360 - это временная годовая база.
S = 10000 * (1 - 0,26 / 360 * 76) = 9450 д. е.
Ответ: сумма полученная владельцем векселя 9450д. е.
9. Покупатель предложил два варианта расчетов при покупке дачи: 1) $5000 немедленно и затем по $1000 в течение 5 лет; 2) $8000 немедленно и по $300 в течение 5 лет. Какой вариант выгоднее для продавца при годовой ставке процента: а) 10,5% , б) 5%.
Решение:
1000*(1+0,105)5 = 1647,44 + 5000 = 6 647,44$ - выгоднее
1000*(1+0,05)5 = 1276,28 + 5000 = 6 276, 28$
300*(1+0,05)5 = 382,88 + 800 = 8 382, 88$
300*(1+0,105)5 = 494,23 + 8000 = 8 494, 23$ - выгоднее
Ответ: при выплате 5000$ немедленно и затем 1000$ в течении 5 лет, при ставке 10,5% выгоднее и при выплате 8000$ немедленно и затем 300$ в течении 5 лет, при ставке 10,5% выгоднее.
10. Бизнесмен арендовал виллу за $10 000 в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 2.25% Решение. Эта выкупная цена есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна
A=R/i=10000/0.0225=444444.4.
Это в точности годовые процентные деньги, которые стал бы получать арендодатель с 444444,4, помещенных в банк под упомянутую процентную ставку.
11. Заем величиной 12000 грн. был взят под 10,5% годовых на 6 лет. Найти размеры ежегодных выплат при возвращении займа следующими способами:
-погашение долга одним платежом в конце срока;
По таблице мультиплицирующих множителей M(6;10,5) = 1,772 Значит искомый платеж равен:
R = 12 000*1,772 = 212,64 грн.
-погашение основного долга одним платежом в конце:
R = iD + D = 0,105 * 12 000 + 12 000 = 13260 грн.
-погашение основного долга равными годовыми выплатами:
R1 = D/n + iD = 12000/6 + 0.105*12000 = 2000 + 1260 = 3260 грн.
R2 = D/n + i(D-D/n) = 12000/6 + 0.105*10000 = 2000 + 1050 = 3050 грн.
R3 = D/n + i(D-2D/n) = 12000/6 + 0.105*8000 = 2000 + 840 = 2840 грн.
R4 = D/n + i(D-3D/n) = 12000/6 + 0.105*6000 = 2000 + 630 = 2630 грн.
R5 = D/n + i(D-4D/n) = 12000/6 + 0.105*4000 = 2000 + 420 = 2420 грн.
R6 = D/n + i(D-5D/n) = 12000/6 + 0.105*2000 = 2000 + 210 = 2210 грн.
-погашение займа равными годовыми выплатами;
Из таблицы коэффициентов приведения ренты находим а(6;10,5) = 4,35526
Значит R = 12 000/4,35526 = 2755,289 грн.
-погашение потребительского кредита равными ежемесячными выплатами;
R = D*(1+ni)/nm = 12000 * (1 + 6 * 0,105) / 6*12 = 39120грн.
-формированием погасительного фонда по более (вдвое) высоким процентам и погашением долга одним платежом в конце:
Процентная ставка погасительного фонда в 2 раза больше, следовательно
g = 2i = 34% = 0,34.
Размер фонда должен составлять
S = D = (1+i)n = 12000*(1+0,105)6 = 12000*1,820 = 21840 грн.
Фонд представляет собой ренту, тогда S будет наращенная величина ренты. Из формулы наращенной величины найдем ежегодный платеж.
R = S / s(6,34)
s(6,34) = ((1+0,34)6 - 1) / 0,34 = 14.086 R = 21840 / 14.086 = 1550,47 грн.
12.Задан инвестиционный проект: Inv = 40000 д.е., последующий годовой доход при 9% годовых равен R=10000, длительность проекта 7 лет. Найти характеристики инвестиционного проекта, то есть NPV, NFV, срок окупаемости (если проект окупается) и IRR.
Решение: Поток доходов есть конечная годовая рента с годовым платежом R, длительностью n лет. Современная величина этой ренты
A = R*a(n,i),
где а(7;9) = 5,0329528. Значит приведенный чистый доход проекта есть
NPV = Inv + R* а(7,9) = - 40 000 + 10 000 * 5,0329528= 10329,528 грн.
d = NPV/ Inv = 10329,528/40 000 = 0,25 = 25%
Для нахождения внутренней доходности найдем такое g, что а (7,g) = 40 000/10 000 = 4; a(7,25) = 3,1611392 => g = 31%.
NFV = NPV*(1+i)tn = 10329,528 *(1+0,9)7 = 923327,315 грн.
Внутренняя норма доходности авансированного в проект капитала IRR = (10329,528/40 000)*100 = 25%.
13.Оборудование стоимостью 10000 д.е. арендуется сроком на 5 лет. Срок амортизации оборудования 8 лет. Рассчитайте ежегодный арендный платеж, если ставка равна 11% годовых.
Решение: Остаточная стоимость оборудования равна
S = P(1-nh) =>10 000*(1-5*0,08) = 6 000 д.е.
Следовательно годовой платеж
инфляция процент вексель заем
R = (P - S/(1+j)n) / a(n,j) = (10 000 - 6000/(1 + 0,11)5)/2,8034730 = 6439/2,8034730 = 2296,7940 д.е.
Ответ: ежегодный арендный платеж 2296,7940 д.е.