Статья: Ортогональные разложения на группах корней из единицы

Ортогональные разложения на группах корней из единицы

Клюжев Н.А., Алексеева А.М.

Аннотация

Для различных приложений функций нескольких переменных построен алгебраический подход к построению многочленов, формулы которых содержат символьные переменные. Примеры демонстрируют эффективность и широкий охват решаемых научно-технических задач.

Ключевые слова: функция, изоморфизм, ряд, формула, примеры.

Введение в гармонический анализ ряда Фурье в комплексной форме позволило все величины ряда интерпретировать в теоретико-групповом смысле.

Ряд Тейлора, рассматриваемый как разложение аналитической функции в окрестности заданной точки в степенной ряд с положительным радиусом сходимости, обладает свойствами интерполяции и равномерного приближения, а коэффициенты ряда, которые пропорциональны значениям производных аналитической функции в этой точке, дают возможность сделать предвидение хода функции при её исследовании.

Актуально, с этой точки зрения, исследование разложений в полиномы сложных аналитических функций многих комплексных переменных.

Цель исследования: синтез алгоритмов гармонического анализа для разложения аналитических функций в полиномы в сочетании с элементами компьютерной алгебры.

Метод исследования: вычисление интеграла типа Коши функций комплексного переменного по дискретной мере и его интерпретация в контексте теории линейных представлений групп.

Начало исследования применения ортогональных разложений, совмещённых с «символьными переменными» представлено в [1, c. 99-108].

На простом примере рассмотрим детально метод исследования.

На комплексной плоскости множество всех корней -й степени из единицы состоит из чисел , m-1, с обычным произведением

(1)

и ему можно дать теоретико-групповое представление, поясняющее его структуру. Полагая в (1) и последовательно, строим конечную циклическую группу. Представим столбцом с номером 1 в матрице (2). Такими же действиями для построим группы и представим их соответствующими столбцами матрицы , где: номер столбца, номер строки.

Формула (1) указывает на равноправное положение в структуре номеров строк и столбцов, что отразилось на её свойстве симметричности.

, (2)

Строки (столбцы) матрицы (2) образуют ортонормированную систему векторов, если столбцы интерпретировать как векторы.

Обратная матрица имеет вид

(3)

Линейное представление T конечных групп имеет вид

. (4)

Определим операцию возведения столбца в степень как

, например, =;

В примере замечаем, что совокупность всех столбцов есть циклическая группа порядка 4 с нейтральным элементом и порождающим элементом . В формуле (4) слева показано прямое произведение четырёх групп. Например, в (2) получаем: ;

Скалярное произведение (, если , свидетельствует, что столбцы матрицы (2) образуют ортогональную систему векторов.

Пусть аддитивная группа вычетов всех целых чисел , кратных по модулю . В примере и группа составлена из положительных целых чисел 0, 1, 2, 3.

Представление это гомоморфизм группы в группу - обратимых квадратных матриц над полем комплексных чисел. Так как элементу (числу) группы ставиться в соответствие своё и только своё комплексное число, то тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между элементами группы и группами в линейном представлении (4). Следовательно, есть изоморфизм, например, , где мультипликативная группа корней из единицы геометрически интерпретируется как группа поворотов «скачками» комплексной плоскости на угол 90⁰ по «орбите» радиуса вокруг начала координат в положительном направлении (против часовой стрелки).

Пусть координаты точки на орбите, сопоставленной группе , и приращение угла положения точки на орбите. Например, получаем:

ортогональное разложение корень единица

:

:

:

Пусть аналитическая функция, определённая на элементах группы ; вектор значений этой функции на группе . Рассмотрим произведение

Здесь каждая ая сумма в строке справа делится на , и результат представляет соответствующее слагаемое полинома.

Пример 1. Разложение функции

Пусть Компоненты на группе : 0.644218, 0); +0.176689); 0.29552, 0); -0.176689). Сумма этих значений равна 1.917830, а после деления на равна 0.479458 значению на группе . На группе получаем сумму после деления на , равную 0,877582, т. е. На группе вычисляем: -0,038354/а на группе вычисляем: 0,004680/(4*)= -0,146264. С учётом изоморфизма можно записать выражение полинома степени 3:

+0.479458+0.877594*(Х-0.5)^1-0.239714*(X-0.5)^2-0.146264*(X-.5)^3.

Уменьшение параметра способствует «отделению» точек на окружности при заданном значении параметра .

Пример 2. Для функции построить полином в точке с параметрами Результат ортогонального разложения:

+1+1*(x-1)^1 +1*(x-1)^2 +0.5*(x-1)^3.

Пример 3. Вычислить при x--> 0 lim (sin(x)/x)^(1/(x^2).

Параметры вычислений: r=0.1-радиус, точка разложения х=0, m=15. Ответ: +0.846482

Пример 4. Для f(x)=(1+x+x^2)/(1-x+x^2) в точке x= 0 многочлен Тейлора

по положительным степеням: +1 +2*x +2*x^2 -2*x^4 -2*x^5;

по отрицательным степеням: +1 +2/x +2/x^2 -2/x^4 -2/x^5.

Функция аналитическая в круге , представима в виде суммы степенного ряда:

, (5)

с коэффициентами

, (6)

Определённый интеграл в правой части выражения (6) можно оценить, вычислив его по дискретной мере на интервале , полагая :

. (7)

Правая часть в (7) зависит от параметров и , вариацией которых можно улучшать оценку коэффициента . Группа корней из единицы можно представить в форме квадратной симметрической матрицы :

Матрица определяется указанием значения параметра и в теории линейных представлений групп отражает наличие гомоморфизма аддитивной группы вычетов по модулю в группу обратимых матриц с элементами из кольца комплексных чисел . Матричная форма вычисления оценок вектора по вектору имеет вид

, (8)

а наличие изоморфизма подтверждает возможность получать разложения с «символьными» параметрами в формулах.

Пример 5. Уравнение определяет как неявную функцию переменных или . Требуется найти значения частных производных функции в точке . Используя загрузочный модуль, получим следующий фрагмент:

-5 -3*(x-2) -6*(y-1) -3*(z-1);

.

Возможность продолжения действительной аналитической функции , где , в аналитическую функцию комплексного переменного значения которой совпадают на действительной оси со значениями функции когда , т. е. , , делает актуальным обобщение для аналитических функций многих переменных ортогонального разложения на группах.

Пусть функция , представлена рядом

, (9)

(10)

В формуле (10) экспоненциальная функция получена применением процедуры дискретизации многомерного интеграла по каждой переменной многократным применением приёма, аналогичного (5-7):

. (11)

Прямая сумма групп вычетов

(12)

приводит к изоморфизму

, (13)

где , основания многоосновной системы счисления, , .

Из (11-13) следует, что построена конечная мультипликативная группа дискретных ортогональных функций. Эта группа представлена квадратными симметрическими матрицами размером . Число определяет число переменных функции и равно числу разрядов многоосновной системы счисления с поразрядным сложением целых чисел. Строки и столбцы матрицы равноправны.

Введем векторы-столбцы размером :

, . (14)

С учетом ортогональности запишем в матричном виде

. (15)

Формулы (14-15), рассматриваемые совместно, образуют пару обобщённых дискретных преобразований Фурье по базису из групп корней из единицы. Строя различные конечные абелевы группы , получаем для аналитической функции многомерный аналог многочлена Тейлора:

, (16)

различающийся числом слагаемых и точностью оценок , которая зависит от произведения радиусов в соответствующих степенях. Для коэффициента достаточно указать его номер . Далее представить этот номер в многопозиционной системе счисления, чтобы определить показатели степеней множителей . Этот приём соответствует изоморфизму (13).

Пример 6. В механике космического полёта представлено уравнение Кеплера , где эксцентрическая аномалия планеты, её средняя аномалия, эксцентриситет планетной орбиты. Искусственный спутник Земли (ИСЗ) имеет следующие параметры эллиптической орбиты: а Разложение по степеням эксцентриситета согласно уравнению Лагранжа имеет вид:

Для первых девяти членов ряда получен многочлен:

0.06+0.05996401*e^1+0.0598561*e^2 +0.05964059*e^3 +0.05928217*e^4 +0.05874625*e^5+0.05799919*e^6+0.05700878*e^7+0.0557446*e^8

Сумма первых девяти членов ряда даёт результат: E= 0.119 рад или 6,82^о.

Пример 7. Система, представлена структурной схемой (рис. 1).

Выражения числителя и знаменателя передаточной функции получим, вычисляя определитель структурной матрицы по формуле

,

где алгебраическое дополнение для элемента матрицы .

Формула показывает, что для получения выражения числителя

+W*A2 +W*A3 +W*W1*A2*A4 +W*W1*A3*A4;

для выражения знаменателя :

1+W1*A4+W*A5+W*W1*A4*A5+W*W1*A1*A2*A6 +W*W1*A1*A3*A6.

В данном простом примере для проверки можно алгебраическими преобразованиями получить без компьютера приведённые выражения.

В теории линейных систем автоматического управления (САУ) развита методика преобразования структурных схем, когда контуры вложены друг в друга без их сложных «переплетений». Многоконтурные САУ требуют алгебраического варианта с «символьными» вычислениями.

Выводы

1. Практика показала [1, 2], что реализация методики актуальна и возможна для широкого круга научно-технических задач. Примеры подробно раскрывают алгебраический алгоритм предлагаемого подхода, что способствует синтезу программной вычислительной модели.

2. Универсальность методики указывает на целесообразность представить её, как состоящую из двух программных модулей: основной программы вычислений и подключаемых к ней программных блоков конкретных задач, разрабатываемых непосредственно пользователем.

3. Пригодность для инженерной практики разработанных вычислительных моделей и алгоритмов подтверждается актами внедрения результатов научно-исследовательских работ, выполненных на их основе.

4. Программное обеспечение для реализации предложенных методик не предъявляет повышенных требований к уровню используемой вычислительной техники. Это обеспечивает возможность широкого использования метода и методики в подготовке специалистов в областях, где имеется необходимость в применении символьно-численных интерфейсов.

Список использованной литературы

1. Клюжев Н.А. Дискретное преобразование Коши как алгоритм аналитических преобразований // Инновационные процессы и технологии в современном мире /Материалы V Международной научно-практической конференции (г. Уфа, 29-30 ноября 2017г.) - Уфа: РИО ИЦИПТ, 2017. - 224 с.

2. Алексеева А.М., Клюжев Н.А. Решение уравнений рядами Лагранжа // Академическая наука в современных условиях/ Материалы III Международной научно-практической конференции (г. Уфа, 10-11 февраля 2020 г.)/ Международный академический вестник, научный журнал