Оптимальная структура организационной системы
система организационный многоуровневый управление
Злотников А.Г., Половинкина А.И.
In the article the definition of multilevel organizational system and the solving of optimum structure search problem are considered. An estimation of system intermediate level number is described in detail.
Рассмотрим многоуровневую организационную систему и решим задачу поиска оптимальной структуры организационной системы: определение оптимального числа центров промежуточного уровня и норм управляемости этих центров.
Для решения поставленной задачи воспользуемся следующим утверждением: политика контроля агентов «с выбыванием» и равными «весами» является оптимальной, при этом оптимальные планы агентов, подчиненных одному центру промежуточного уровня, одинаковы.
Это позволяет найти выигрыш метацентра от взаимодействия с i-й подсистемой. Для этого необходимо в формулу:
подставить параметры оптимальной политики контроля:
. (1)
Тогда целевая функция метацентра, определяемая суммой выигрышей от взаимодействия со всеми подсистемами, равна:
. (2)
Эта функция зависит от сообщаемых центрами промежуточного уровня типов подчиненных им агентов. Однако понятно, что метацентр вынужден определять структуру ОС еще до того, как ему станут известными типы агентов. На момент принятия решения о выборе структуры метацентру известны только вероятности p и 1 - p того, что типы агентов принимают значения соответственно rL и rH. Поэтому метацентр вынужден при принятии решения ориентироваться на среднее значение своей целевой функции. В рассматриваемой модели средний выигрыш метацентра равен:
, (3)
где Er - это математическое ожидание по возможным реализациям типов агентов.
Разобьем поиск оптимальной структуры ОС на два этапа:
1. определение оптимальных норм управляемости si, i = 1, …, m при фиксированном количестве центров промежуточного уровня m;
2. определение оптимального количества центров промежуточного уровня m.
Поиск оптимальных норм управляемости сводится к задаче дискретной оптимизации: максимизации функции по всем натуральным числам si, i = 1, …, m, сумма которых равна числу агентов n.
Рассмотрим пример расчета оптимальных механизмов управления в базовой модели. Пусть ОС включает в себя n = 100 агентов. Каждый агент может иметь один из двух типов: rL = 0,4 либо rH = 0,6 с вероятностью 0,5 (тип агента, как и действие агентов, имеет размерность денежных средств. В рассматриваемых примерах считается, что одна единица соответствует 1,000,000 руб.). Параметр функции затрат агентов равен 3. Кроме того, считаем, что затраты C на содержание одного центра промежуточного уровня равны 1, и за отчетный период один центр промежуточного уровня успевает проинспектировать A = 5 агентов.
При оптимальном количестве менеджеров эта функция достигает своего максимума. На рисунке приведен график функции для количества центров промежуточного уровня от 1 до 50. Непосредственно из рисунка видно, что оптимальное количество центров m = 14. При этом математическое ожидание выигрыша метацентра . Таким образом, в ОС должны входить 14 центров промежуточного уровня, причем 12 центров должны иметь в подчинении по 7 агентов, а 2 центра - 8 агентов, поскольку .
Рисунок 1 - Зависимость выигрыша метацентра от количества центров промежуточного уровня в базовой модели
План, выдаваемый агенту, определяется формулой , где ri - тип агента, а si - норма управляемости центра промежуточного уровня, которому подчинен данный агент. Поэтому для агентов, подчиненных первым 12-ти центрам, плановое действие равно 0.338 в случае, если агент имеет тип rL = 0,4, и 0,507 в случае, если агент имеет тип rH = 0,6. Для агентов же подчиненных двум последним центрам промежуточного уровня, имеющим норму управляемости 8, плановое действие равно 0.316 в случае, если агент имеет тип rL = 0,4, и 0,474 в случае, если агент имеет тип rH = 0,6. Легко видеть, что большая норма управляемости приводит к меньшей интенсивности контроля агентов и, соответственно, к уменьшению планового действия. Таким образом, суммы вознаграждения агентам равны плановому действию, деленному на . Отсюда легко вычислить суммы вознаграждений за выполнение плана для всех четырех рассмотренных категорий агентов, разделив на три соответствующие плановые действия.
К сожалению, дискретность задачи поиска оптимальной структуры ОС не позволяет найти аналитическое выражение для оптимального количества центров промежуточного уровня. В то же время, хотелось бы качественно проследить, как найденные выше оптимальные механизмы управления зависят от параметров модели.
Для того чтобы получить приближенные аналитические формулы для нормы управляемости и количества центров промежуточного уровня, запишем еще раз задачу поиска оптимальной структуры ОС. Она состоит в том, чтобы найти натуральные числа m, s1, …, sm, являющиеся решением следующей задачи максимизации (см. формулу (3)):
, (4)
где Z+ - это множество натуральных (т.е. целых и положительных) чисел.
Собственно, требование того, чтобы нормы управляемости и количество центров были целыми числами, и осложняет задачу. Если снять требования целочисленности, задача поиска параметров оптимальной структуры ОС существенно упрощается, сводясь к следующей задаче выпуклой максимизации:
. (5)
Ее решение даст уже не точные, но некоторые приближенные значения параметров оптимальной структуры ОС.
Во-первых, легко видеть, что при любом количестве центров промежуточного уровня m оптимальным является назначение всем им одинаковой (возможно, нецелой) нормы управляемости s = n/m. Тогда, подставив это выражение в формулу (5), получаем, что для нахождения оптимального количества центров m необходимо найти максимум по всем m [1, n] выражения:
. (6)
Для вычисления оптимального количества центров промежуточного уровня удобнее сделать в формуле (6) замену m = n/s, найти оптимальную норму управляемости s (общую для всех центров), а затем по формуле m = n/s восстановить оптимальное количество центров m.
Итак, подставим в (6) замену m = n/s и найдем максимум по всем s [1, n] получившегося выражения:
. (7)
Найдем особые точки этого выражения: вычислим производную по s, приравняем ее к нулю и решим получившееся уравнение:
.
Разделив обе части уравнения на n и умножив на s2, получим:
.
Отсюда находим формулу для оптимальной нормы управляемости (в предположении, что особая точка принадлежит отрезку [1, n]):
. (8)
Заметим, что оптимальная норма управляемости не зависит от количества агентов n.
Из полученных формул видно, что как оптимальное значение целевой функции метацентра (7), так и оптимальная норма управляемости (8) зависят только от среднего значения типа агентов, определяемого выражением
.
Подставив полученное значение нормы управляемости в целевую функцию метацентра (7) и заменив на , получаем формулу для максимального значения целевой функции метацентра max при оптимальной структуре ОС и оптимальных механизмах управления:
.
Тождественно упростив эту формулу, окончательно получаем, что максимальное значение целевой функции метацентра определяется выражением:
, (9)
оптимальная норма управляемости и количество центров промежуточного уровня - формулами:
, m = n/s, (10)
оптимальные планы и вознаграждение - формулами:
, . (11)
Воспользовавшись описанными выше результатами исследования нецелочисленного приближения, проверим, каким образом целевая функция метацентра (9) и оптимальные механизмы управления (10), (11) зависят от параметров модели: количества агентов n, затрат C на содержание центра промежуточного уровня, количества достоверно инспектируемых агентов A, а также среднего типа агентов и параметра функции затрат агентов.
Из формулы (10) видно, что с точки зрения выигрыша метацентра количество достоверно инспектируемых одним центром промежуточного уровня агентов A и затраты C на содержание одного центра являются «дополняющими» параметрами: выигрыш метацентра зависит только от их отношения A/C, которое можно считать показателем эффективности центров. Именно в повышении этого отношения и заинтересован метацентр, поэтому при найме центров промежуточного уровня должны выбираться те претенденты, у которых отношение A/C максимально.
Это отношение важно и при планировании мероприятий, направленных на повышение эффективности управления ОС. Так, например, если метацентр может на 30% увеличить количество A инспектируемых одним центром агентов за счет увеличения расходов C на содержание центров промежуточного уровня (приобретение служебных автомобилей, увеличение штата и т.п.), то это будет экономически целесообразным только в том случае, если затраты C вырастут менее чем на 30%.
С точки зрения нормы управляемости дополнительной является другая пара параметров: затраты C на содержание центра промежуточного уровня и средний тип агентов и одновременное увеличение этих параметров (на одинаковое количество процентов) никак не сказывается на норме управляемости.
В остальном же зависимость нормы управляемости от параметров C и вполне ожидаемая - рост затрат C на содержание метацентра приводит к росту нормы управляемости, причем с ростом затрат норма управляемости растет сверхлинейно, поскольку, как уже было отмечено выше, степень , в которой в формуле для нормы управляемости фигурируют затраты C, больше единицы. Рост же среднего типа агентов (соответствующего их квалификации) приводит к уменьшению нормы управляемости, поскольку с ростом средней квалификации агентов линейно растут назначаемые им планы, соответственно растет и доход, который каждый агент приносит метацентру и, при фиксированных затратах на содержание центров промежуточного уровня метацентр заинтересован в более тщательном контроле каждого агента. Поэтому метацентр и увеличивает количество центров промежуточного уровня, назначая каждому в подчинение меньшее количество агентов.
Наиболее сложной является зависимость параметров оптимального механизма управления от параметра , который определяется технологией проведения работ агентами (при типичных параметрах ОС рост приводит к уменьшению затрат на совершение заданного планового действия aij ri).
ЛИТЕРАТУРА
1. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. - 606 с.
2. Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. М.: МПСИ, 2005. - 584 с.