Статья: Оценка асимметрии речных бассейнов. Поиски общего подхода

1

Оценка асимметрии речных бассейнов. Поиски общего подхода

Александр Н. Павлов

…вещество перестало играть главенствующую роль. Эта роль перешла к принципам симметрии.

С. Вайнберг [2004]

Концепция

Концептуальное обсуждение задачи по оценке асимметрии речных бассейнов [Павлов, 2010, Павлов, Голосовская, Саноцкая, 2011] показало возможности частных решений. При этом возникла потребность поиска фундаментального подхода, ориентированного на создание некоего эталона симметрии. Такой эталон позволил бы оценивать асимметрию конкретных бассейнов на основе их сравнения с теоретическим макетом.

Гидрологические характеристики бассейна во многом определяются его морфометрическим устройством. Поэтому целесообразно начинать с анализа высотных отметок. Успех здесь ожидается в связи с достижениями спутниковых измерений достаточно высокой разрешающей способности. Кроме того задача может быть сведена к созданию геометрических форм, что позволяет в качестве аналога привлекать хорошо разработанную теорию симметрии кристаллов.

Известно, что вывод видов симметрии прошёл в кристаллографии два этапа: эмпирический и теоретический. Вероятно, и при создании геометрического эталона речных бассейнов такой естественной последовательности будет не избежать.

Наиболее простой путь решения для меня связывается с тренд-анализом. Во-первых, потому что он достаточно простой и обеспечен стандартными программами. Во-вторых, такой подход позволяет работать с реальным фактическим материалом, выделяя в нём систематическую и случайную компоненту.

Природа устроена как причинно-вероятностная система. И эти две стороны её устройства мы разделить не можем. Поэтому часто реальные явления схематизируются как чистый детерминизм (процессы с абсолютной памятью), который, исповедуем мы это или нет, приводит к некой первопричине - причине без причины. И какими бы материалистами мы себя не заявляли, без божественного начала здесь не обойтись. Вторая крайность - принятие случайности (как явления без памяти). Здесь уместно напомнить известные слова Эйнштейна [приводятся по Клайну, 1984]:

· Старик не играет в кости.

Под Стариком он имеет в виду Творца.

Жизнь показывает, что обе версии не являются реальностями, а только, так или иначе, отражают её. Поэтому есть ещё третий путь:

· Каким-то образом делить неделимое.

Тренд-анализ позволяет это сделать. В соответствии с его идеологией, причинной составляющей можно только задаваться. Несовпадение же измеренных значений параметров с вычисленными на основе заданной детерминистической функции, рассматривается как случайная компонента. Очевидно, что здесь спрятан некий произвол, и он должен каким-то образом быть обоснован. Иными словами, выбор функции как тренда следует подкреплять определёнными резонами. Нет нужды доказывать, что эти резоны диктуются тем, что именно мы хотим получить в качестве инструмента анализа. В нашем случае, речь может идти об оценке степени симметрии или асимметрии в морфометрическом устройстве правой и левой бортов речного бассейна. Разделительной линией здесь выступает русло реки.

В алгебраических терминах это выглядит следующим образом:

Z(х,у) = ф(х,у)+е(х,у) (1),

где Z(х,у) - высотная отметка рельефа в точке с координатами x,y (в абсолютных или условных величинах); ф(х,у) - трендовое (вычисленное) значение координаты Z; е(х,у) - случайная составляющая (или остаток).

Морфометрический вариант эталона

Тренд как функция может задаваться разными способами. Для нашей задачи, связанной с картированием, удобнее всего использовать полиномиальные построения. Чтобы не усложнять оценочные операции асимметрии, для описания бортов речного бассейна рациональным представляется использовать линейный тренд (первого порядка). Его уравнение записывается следующим образом:

ф(х,у) = б₀ + б₁х + б₂у (2),

где б₀, б₁, б₂ - полиномиальные коэффициенты.

Значение этих коэффициентов находится при решении матричного уравнения:

S· б = g (3)

Здесь

n Уx Уy б₀ УZ

S = Уx Уx² Уxy; б = б_1; g = УxZ,

Уy Уxy Уy² б₂ УyZ

где n - число точек наблюдения.

Исходные морфометрические данные (отметки высот в соответствующих координатах х,у) позволяют найти матрицы S и g. Задача сводится к нахождению матрицы б из уравнения (3). Для этого обычно вместо матрицы S используют обращённую матрицу S^-1. Тогда

б = S^-1 ·g (4)

Напомним условие обращения матриц

S^{-1 ·}S = 1 (5)

Получив численные значения полиномиальных коэффициентов, следует построить тренды высотных поверхностей для правого и левого частей речного бассейна. Понятно, что эти поверхности представляют собой плоскости. Они наклонены в сторону русла. Угол их наклона (в), также как и угол подхода к руслу (г), в общем случае, зеркально будут не совпадать. Иными словами, на уровне этих трендов правый и левый борта бассейна окажутся асимметричными.

Степень асимметрии можно оценить через отношение углов падения(в), и углов подхода векторов к линии русла (г). Эти углы показывают ориентацию правого и левого трендов в пространстве. При этом русло, разделяющее бассейн на правую и левую части, следует аппроксимировать как линию пересечения правого и левого тренда. Методами начертательной геометрии эта задача решается стандартно.

В общем случае линия пересечения правого и левого трендов не будет совпадать с генеральным направлением речного течения, которое можно получить как уравнение прямолинейной регрессии. И это обстоятельство позволяет ввести ещё один коэффициент асимметрии К_L:

К_L = L_рег/L_ф (6),

где L_рег - линия, показывающая направление русла от истока к устью, вычисленная как вектор по правилам построения регрессии; L_ф - теоретический тальвег русла, полученный как линия пересечения трендовых поверхностей правого и левого бортов бассейна.

Кроме того, для полученных трендов ф(х,у) полезно оценить их силу SS, под которой понимается доля изменчивости трендовой поверхности D_ф от изменчивости поверхности реальной D₀

SS = D_ф /D₀ (6),

де D_ф и D₀ - дисперсии признака (в нашем случае Z).

Появляется дополнительная возможность оценить степень асимметрии речного бассейн ещё и через отношение величин силы тренда в виде коэффициента К_S

гидрологический речной бассейн асимметрия

К_S =SS_пр/SS_лев (7)

Таким образом, использование тренд-анализа позволяет оценивать асимметрию речных бассейнов по морфометрическим показателям, которые принципиально определяют формирование стоковых характеристик. Перед тем как обсуждать дальнейшие возможности выбранного подхода, выпишем все предложенные критерии:

1. Сравнение углов наклона трендовых плоскостей (в).

2. Сравнение углов подхода векторов этих плоскостей к теоретическому тальвегу бассейна (г). Это можно делать как отношение азимутов падения, получаемых по шкале румбов.

3. Сравнение теоретического тальвега (как вектора) с вектором русла, полученным как уравнение регрессии. Коэффициент К_L.

4. Сравнение морфометрического устройства бортов (на уровне линейного тренда), через отношение силы тренда - К_S.

Однако, трендовая геометрия речного бассейна в линейных полиномах бортов выглядит не полной. Здесь явно не хватает ещё одного полинома, который бы помог ограничить борта бассейна сверху - создав имитацию генерального водораздела. Делается это довольно просто - строится тренд второго порядка для бассейна в целом. В отличие от линейных трендов у него будет уже 6 коэффициентов:

ф(х,у) = б₀ + б₁х + б₂у + б₃ху + б₄х² + б₅у² (8)

Три полинома (два первой степени для бортов и один второй степени бассейна в целом) составляют тот набор уравнений, который является достаточным для геометризации речной долины в морфометрических параметрах. Повторим их запись уже в виде системы, обозначив принадлежность к правому борту индексом «пр», к левому - индексом «лев», а для бассейна в целом - индексом «ц»:

ф(х,у)_пр = б_0пр + б_1прх + б_2пру

ф(х,у)_лев = б_0лев + б_1левх + б_2леву (9)

ф(х,у)_ц = б_0ц + б_1цх + б_2цу + б_3цху + б_4цх² + б_5цу²

Симметричная идея заключается в том, чтобы через тальвег, как линию пересечения двух линейных трендовых поверхностей проходила плоскость, зеркально отражающая оба борта, правого и левого - ф(х,у) = б₀ + б₁х + б₂у. Такая геометрия и будет описывать симметричный бассейн как некий идеал для сравнения с ним реальных объектов. Трендовый макет симметричного бассейна в этом случае вырисовывается в виде диэдра с планальным видом симметрии и криволинейного моноэдра, срезающего его грани по линии водораздела. (Рис. 1).

Рис.1. Типовые поперечные профили речных долин [Горшков, Якушова, 1973].

А - долина в виде ущелья; Б - долина с V-образным поперечным профилем; В - асимметричная долина; Г - плоскодонная долина с развитой поймой.

На рисунке показаны схематизированные профили долин. Однако нетрудно понять, что профили речных бассейнов легко можно свести к этим картинкам.

Эталон, который мы стремимся построить как диэдр, прекрасно отражает V-образная долина (Б). Геометрия же диэдра как фигуры симметричной относительно осевой плоскости хорошо видна на рис.2. Чтобы его не загромождать, мы не стали изображать верхний вогнутый моноэдр. Каждый может представить его самостоятельно

Рис. 2. Иллюстрация диэдра.

Скорей всего симметричных эталонов будет несколько. Они должны отражать типовые особенности природных речных бассейнов. Среди них и следует искать прототипы. Это обстоятельство заставит дополнительно прибегнуть к классификационному анализу.

Сегодня известно более 150 классификационных программ [Рыжков, Хаустов, Шелепов, 2003]. Выбор велик. К счастью, существуют общие принципы, которые можно свести всего к двум базовым задачам:

1. Построение классов.

2. Распознавание объекта по классификационным признакам, т.е. отнесение нового объекта к тому или иному из построенных классов.

Использование современных информационных технологий позволяет создать дольно сложные многопараметрические классификационные структуры, обычно излишне формализованные и абстрактные. Поэтому появилась ещё одна задача:

3. Интерпретация классов.

Построение классов. Смысл этой задачи заключается в том, чтобы множество в общем случае многопараметрических объектов разделить на более мелкие и однородные группы (или классы). Число таких групп имеет ограничения. Во-первых, всё исходное множества может быть принято за один класс. Во-вторых, классом может считаться каждый объект отдельно, как нечто неповторимое. Таким образом, если множество содержит n объектов, то число классов m определяется:

1 ? m ? n (10)

Чтобы разделить множество А, состоящее из n объектов, А = {n}, на m групп необходимо выполнить три условия:

1. Выбрать меру сходства между объектами множества. Иными словами, вначале надо решить, по каким признакам мы будем расчленять множество А.

2. Установить правила расчленения, или как говорят, выбрать функцию, отражающую внутреннюю однородность групп.

Таких правил, также как и мер сходства для их реализации, может быть много, теоретически бесконечно много. И выбор их контролируется лишь теми целями, которые ставит перед собой исследователь. Однако в ряде случаев одно и то же правило позволяет создавать различные классификации. Чаще всего, такая ситуация возникает при формальном расчленении множества. Например, используя число Стирлинга S(n,m), легко показать, что даже разделение относительно небольшого количества объектов всего на 4 группы приводит к нереальному для практике росту числа классов:

Число объектов (n) Число вариантов из 4 групп (m)

5 10

10 34 105

15 42 335 950

Следует искать оптимальный вариант. Он должен обеспечивать максимальное сходство объектов внутри каждого класса по выбранному признаку. В связи с этим возникает ещё одно условие:

3. Определить критерий максимальной однородности в группах (классах). Такие критерии могут быть самыми разными, скажем коэффициент корреляции, дисперсия признака и т. п.

Распознавание объекта. Общая теория этого вопроса разработана ещё слабо. Однако, существует ряд методов, которые могут успешно применяться для решения этой задачи. Одним из них является дискриминантный анализ. Важным обстоятельством здесь является наличие стандартных компьютерных программ.

Начинать работу по классификации следует с создания номенклатуры параметров. Это наиглавнейший акт. Но здесь надо иметь в виду проблему «естественности», что для природных объектов, к которым, безусловно, относятся речные бассейны, является приоритетным. При этом надо иметь в виду, что речь должна идти о наиболее информативных признаках. Чем их меньше, тем лучше. Главным инструментом такого выбора является интуиция [Клайн, 1984]. Давно установлено, что если результат интуитивно не понятен, значит, ему нельзя доверять.

Две классификации принято считать образцами «естественности»- таблицу химических элементов Д.И. Менделеева и кристаллографическую классификацию Е.С. Фёдорова-Шенфлиса. Д.И. Менделеев использовал всего два признака - атомный вес и валентность. Увеличение списка химических признаков с использованием современных алгоритмов ничего принципиально не изменили. Гений Менделеева не удалось развенчать.