Материал: Нанесення розмірів, паралельні і перпендикулярні лінії. Побудова кутів та плоских фігур, розподіл окружності на рівні частини

Рис.35

Побудова і розподіл кутів

За допомогою рейсшини і косинця з кутами 45, 45 і 90° будують кути: 45, 90 і 135° (рис. 36).

Рис.36

За допомогою рейсшини і косинця з кутами 30, 60 і 90° можна побудувати кути: 30, 60, 90, 120 і 150° (рис. 37).

Рис.37

Використовуючи два косинці і рейсшину, можна побудувати кути: 15° від вертикальної прямої, 75 і 105° (рис. 38).

Рис.38

Побудова кута, рівного даному, виконується за допомогою циркуля (рис. 39). З вершини А заданого кута ВАС довільним радіусом R проводять дугу до перетинання зі сторонами кута в крапках В и С (рис. 39, а).

Рис.39

У тім місці креслення, де потрібно побудувати кут, рівний даному, проводять пряму лінію (у даному випадку горизонтальну). На ній задають крапку А1 (вершину кута). З крапки А1 радіусом R, рівним АВ чи АС, проводять дугу до перетинання з прямої, одержують крапку C1 (рис. 39, б). З крапки C1 радіусом R1, рівним відрізку ВС, роблять на дузі зарубку, тим самим знаходять крапку В1 (рис. 39, в). З'єднавши крапки A1 і В1, одержують кут B1А1С1, рівний даному (рис. 39, г).

Розподіл кута навпіл виконується циркулем. З вершини кута довільним радіусом проводять дугу до перетинання її зі сторонами кута, одержують крапки В и С (рис. 40, а). Потім із крапок В и С проводять дві дуги радіусом більше половини відстані ВС (рис. 40, б) до їхнього перетинання в крапці D. З'єднавши крапки А и D прямої, одержують бісектрису кута, що поділяє кут навпіл (рис. 40, в).

Рис.40

Розподіл прямого кута навпіл за допомогою косинця з кутами 45, 45 і 90° і рейсшини показане на рис. 41.

Рис.41

Розподіл прямого кута на три рівні частини виконується чи циркулем за допомогою косинця і рейсшини. При розподілі кута циркулем з вершини А довільним радіусом проводять дугу до перетинання зі сторонами кута в крапках В и С (рис. 42, а). Потім тим же радіусом із крапок В и С роблять на дузі зарубки, одержують крапки D і Е (рис. 42, б), що з'єднують із крапкою А. Прямі АЕ і AD поділяють прямий кут на три рівні частини (мал. 42, в).

Рис.42

Розподіл прямого кута на три рівні частини за допомогою рейсшини і косинця з кутами 30, 60 і 90° показане на рис. 43.

Рис.43

Побудова плоских фігур

Побудова багатокутника, рівного даному, можна виконати так, що його сторони будуть розташовуватися паралельно відповідним сторонам заданого багатокутника, чи побудований багатокутник буде повернений у площині щодо заданого. І в тім, і в іншому випадку рішення задачі зводиться до побудови третьої крапки щодо двох заданих.

Наприклад, на площині задані крапки А и В (рис. 44, а). Потрібно побудувати крапку С, розташовану вище заданих крапок на відстані n від крапки А, і m від крапки В. Безліч крапок, що знаходяться на відстані n від крапки А, розташовується на окружності з центром у крапці А радіусом R = n. Безліч крапок, що розташовуються на відстані m від крапки В, знаходився на окружності з центром у крапці В радіусом R1 = m (рис. 44, б). У перетинанні цих окружностей одержують крапки С и С1. З двох отриманих крапок вибирають потрібну. Проводити окружності цілком не обов'язково, досить провести дві короткі дуги (рис. 44, в).

Рис.44

На рис. 45, а заданий багатокутник ABCDE. Потрібно побудувати рівний йому багатокутник A1B1C1D1E1. Побудова багатокутника A1B1C1D1E1 можна почати з побудови будь-якої його сторони, наприклад сторони А1В1. Для цього паралельно стороні АВ проводять пряму і на ній циркулем відкладають відрізок А1В1, що дорівнює відрізку АВ. Потім циркулем вимірюють відстань від крапки А до крапки С и цим радіусом із крапки А1 проводять дугу в напрямку споруджуваної крапки С1, також від крапки B вимірюють відстань до крапки С и цим радіусом із крапки B1, проводять дугу до перетинання з першою дугою в крапці C1. З'єднавши крапку C1 із крапкою В1 прямою лінією, одержують другу сторону багатокутника В1С1 (рис. 45, б). Для побудови крапки D1, вимірюють відстань від крапки D до двох інших вершин багатокутника (наприклад А и В, чи В и С, чи С и A). На рис. 45, в узяті відстані від крапок В и С. Дугу з крапки В1 проводять радіусом, рівним відрізку BD, а з крапки С1 - радіусом, рівним відрізку CD. Перетинання цих дуг дає крапку D1. З'єднавши крапку D1 із крапкою С1, одержують сторону багатокутника С1D1 (рис. 45, в). Аналогічно будують крапку Е1 (рис. 45, г).

Рис.45

Пошук центра окружності чи дуги і визначення їхніх радіусів

Якщо на кресленні мається чи окружність дуга, центри яких чи не відзначені не проставлені радіуси, а для роботи над кресленням їх необхідно знати, то їх визначають у такий спосіб.

Для визначення центра чи окружності дуги проводять дві непаралельні хорди (рис. 46, а) і поділяють їх навпіл. Перпендикуляри, побудовані через середини хорд, проводять до перетинання один з одним (рис. 46, б). Крапка перетинання буде центром заданої чи окружності дуги. Відстань від знайденого центра (крапки О) до будь-якої крапки на окружності буде радіусом даної окружності чи дуги.

Рис.46

Розподіл окружності на ріні частини і побудова правильних багатокутників, що вписані .

Розподіл окружності на рівні частини і побудову правильних уписаних багатокутників можна виконати як циркулем, так і за допомогою косинців і рейсшини.

Розподіл окружності на чотири рівні частини і побудову правильного вписаного чотирикутника. Дві взаємно перпендикулярні центрові лінії поділяють окружність на чотири рівні частини (рис. 47, а). З'єднавши крапки перетинання цих ліній з окружністю прямими, одержують правильний вписаний чотирикутник.

Рис.47

Розподіл окружності на вісім рівних частин і побудова правильного вписаного восьмикутника. Дві взаємно перпендикулярні лінії, проведені під кутом 45° до центрових ліній за допомогою косинця з кутами 45, 45 і 90° і рейсшини (рис. 47, б), разом з центровими лініями розділять окружність на вісім рівних частин.

Розподіл окружності на вісім рівних частин можна виконати циркулем. Для цього з крапок 1 і 3 (крапки перетинання центрових ліній з окружністю) довільним радіусом робляться зарубки до взаємного перетинання, тим же радіусом роблять дві зарубки з крапок 3 і 5 (рис. 47, в). Через крапки перетинання зарубок і центр окружності проводять прямі лінії до перетинання з окружністю в крапках 2, 4, 6, 8.

Якщо отримані вісім крапок з'єднати послідовно прямими лініями, то вийде правильний уписаний восьмикутник (рис. 47, в).

Розподіл окружності на три рівні частини і побудову правильного вписаного трикутника виконують за допомогою чи циркуля косинця з кутами 30, 60 і 90° і рейсшини.

При розподілі окружності циркулем на три рівні частини з будь-якої крапки окружності, наприклад із крапки А перетинання центрових ліній з окружністю (рис. 48, а і б), проводять дугу радіусом R, рівним радіусу даної окружності, одержують крапки 1 і 2. Третя крапка розподілу (крапка 3) буде знаходитися на протилежному кінці діаметра, що проходить через крапку А. Послідовно з'єднавши крапки 1, 2 і 3, одержують правильний уписаний трикутник. При побудові правильного уписаного трикутника, якщо задана одна з його вершин, наприклад крапка 1, знаходять крапку А. Для цього через задану крапку 1 проводять діаметр (рис. 48, в). Крапка А буде знаходитися на протилежному кінці цього діаметра. Потім проводять дугу радіусом R, рівним радіусу даної окружності, одержують крапки 2 і 3.

Рис.48

При розподілі окружності на три рівні частини за допомогою косинця і рейсшини через крапку 1 під кутом 60° проводять дві прямі лінії до перетинання з окружністю в крапках 2 і 3 (рис. 49, а, б), крапки 2 і 3 з'єднують і одержують правильний уписаний трикутник (рис. 49, в).

Рис.49

Розподіл окружності на шість рівних частин і побудова правильного вписаного шестикутника виконують за допомогою косинця з кутами 30, 60 і 90° і рейсшини або циркуля.

Рис.50

При розподілі окружності на шістьох рівних частин циркулем із двох кінців одного діаметра радіусом, рівним радіусу даної окружності, проводять дуги до перетинання з окружністю в крапках 2, 6 і 3, 5 (рис. 50). Послідовно з'єднавши отримані крапки, одержують правильний уписаний шестикутник. Розподіл окружності на шістьох рівних частин і побудова правильного уписаного шестикутника за допомогою косинця і рейсшини показане на рис. 51 і 52.

Рис.51

Рис.52

Розподіл окружності на дванадцять рівних частин і побудова правильного вписаного дванадцятикутника виконують за допомогою косинця з кутами 30, 60 і 90° і рейсшини або циркуля.

При розподілі окружності циркулем з чотирьох кінців двох взаємно перпендикулярних діаметрів окружності проводять радіусом, рівним радіусу даної окружності, дуги до перетинання з окружністю (рис. 53). З'єднавши отримані крапки, одержують дванадцятикутник.

При побудові дванадцятикутника за допомогою косинця і рейсшини крапки розподілу будують, як показано на рис. 51 і 52.

Рис.53

Розподіл окружності на п'ять і десять рівних частин і побудова правильного вписаного п'ятикутника і десятикутника показане на рис. 54.

Рис.54

Половину будь-якого діаметра (радіус) поділяють навпіл (рис. 54, а), одержують крапку А. З крапки А, як з центра, проводять дугу радіусом, рівним відстані від крапки А до крапки 1, до перетинання з другою половиною цього діаметра, у крапці В (рис. 54, б). Відрізок 1В дорівнює хорді, що стягає дугу, довжина якої дорівнює 1/5 довжини окружності. Роблячи зарубки на окружності (рис. 54, в) радіусом R, рівним відрізку 1В, поділяють окружність на п'ять рівних частин. Початкову крапку 1 вибирають у залежності від розташування п'ятикутника. З крапки 1 будують крапки 2 і 5 (рис. 54, в), потім із крапки 2 будують крапку 3, а з крапки 5 будують крапку 4. Відстань від крапки 3 до крапки 4 перевіряють циркулем; якщо відстань між крапками 3 і 4 дорівнює відрізку 1В, те побудови були виконані точно. Не можна виконувати зарубки послідовно, в одну сторону, тому що відбувається нагромадження помилок і остання сторона п'ятикутника виходить перекошеної. Послідовно з'єднавши знайдені крапки, одержують п'ятикутник (рис. 54, г).

Розподіл окружності на десять рівних частин виконують аналогічно розподілу окружності на п'ять рівних частин (рис. 54), але спочатку поділяють окружність на п'ять частин, починаючи побудову з крапки 1, а потім із крапки 6, що знаходиться на протилежному кінці діаметра (рис. 55, а). З'єднавши послідовно всі крапки, одержують правильний уписаний десятикутник (рис. 55, б).

Рис.55

Розподіл окружності на сімь і чотирнадцять рівних частин і побудова правильного вписаного семикутника і чотирнадцятикутника показане на рис. 56 і 57.

Рис.56

З будь-якої крапки окружності, наприклад крапки А, радіусом заданої окружності проводять дугу (рис. 56, а) до перетинання з окружністю в крапках В и D. З'єднаємо крапки В и D прямою. Половина отриманого відрізка (у даному випадку відрізок ВС) буде дорівнювати хорді, що стягає дугу, що складає 1/7 довжини окружності. Радіусом, рівним відрізку ВС, роблять зарубки на окружності в послідовності, показаної на рис. 56, б. З'єднавши послідовно всі крапки, одержують правильний вписаний семикутник (рис. 56, в).

Рис.57

Розподіл окружності на чотирнадцять рівних частин виконується розподілом окружності на сімох рівних частин два рази від двох крапок (рис. 57, а).

Спочатку окружність поділяється на сімох рівних частин від крапки 1, потім та ж побудова виконується від крапки 8. Побудовані крапки з'єднують послідовно прямими лініями й одержують правильний вписаний чотирнадцятикутник (рис. 57, б).

« Виконала студентка

групи ІКН № 101 (д) ,

Левкович А.А.»