Материал: Начертательная геометрия. Часть 2. методические указания к решению домашних графических заданий для студентов 1-го курса ПГС. Цеханов Ю.А., Менченко Л.В

На рис. 5, а показан наклонный конус и точки А и В, принадлежащие его боковой поверхности. Их фронтальные проекции А₂ и В₂ совпадают. Требуется найти А₁ и В₁.

Решение: через точки А₂ и В₂ проводят образующие S₂1₂ и S₂2₂. Затем проводят горизонтальные проекции этих образующих S₁1₁ и S₁2₁. На этих образующих находят точки А₁ и В₁.

На рис. 5, б показан наклонный цилиндр и точки Е и F, принадлежащие его боковой поверхности. Их фронтальные проекции Е₂ и F₂ совпадают. Требуется найти Е₁ и F₁.

Решение: через точки Е₂ и F₂ проводят образующие 1₂1₂' и 2₂2₂'. Затем проводят горизонтальные проекции этих образующих 1₁1₁' и 2₁2₁'. На этих образующих находят точки Е₁ и F₁.

Рис. 5. Последовательность построения проекций точек, расположенных на

боковой поверхности наклонного конуса (а) и наклонного цилиндра (б)

Последовательность решения задачи 1:

- определяют, какая кривая второго порядка получится в сечении конуса:

эллипс, парабола или гипербола, что зависит от положения секущей плоскости;

- определяют опорные точки искомой линии: для параболы и гиперболы – вершина и точки, лежащие на основании конуса, для эллипса – точки, определяющие его центр, большую и малые оси. Если секущая плоскость пересекает основание, то эллипс получится неполным; для получения точек, определяющих большую ось, необходимо продлить плоскость до пересечения с контурной (крайней) образующей;

- вводят вспомогательные секущие плоскости для нахождения промежуточных точек в количестве не менее восьми; полученные точки соединяют плавной кривой при помощи лекала;

- определяют видимость полученной линии пересечения;

- определяют натуральный вид сечения способом замены плоскостей проекций в одно преобразование. Для параболы или гиперболы строят ось симметрии, для эллипса – большую ось, параллельную новой оси проекций. Промежуточные точки рекомендуется строить относительно оси симметрии сечения, а не относительно новой оси Х₁.

Рассмотрим вариант выполнения задачи 1, когда конус пересекается горизонтально-проецирующей плоскостью α (рис. 3, задача 1).

Последовательность решения задачи:

- определяют, что в сечении получится гипербола;

- на чертеже уже известна горизонтальная проекция сечения 1₁2₁3₁4₁5₁, совпадающая с α₁.

Опорные точки гиперболы:

1. точка 3 (S₁3₁┴ α₁) – вершина гиперболы;

2. точки 1 и 5 – лежат на основании конуса.

Точки 2 и 4 взяты произвольно.

В этом примере рассмотрено построение только 5 точек. При выполнении задания количество взятых точек должно быть не менее 8.

- фронтальную проекцию гиперболы (кривую 1₂2₂3₂4₂5₂) строят по схеме, приведенной на рис. 4, б. С помощью лекала полученные точки соединяют плавной кривой;

- определяют видимость полученной линии пересечения;

- натуральный вид сечения определяют способом замены плоскостей проекций.

На рис. 6 представлено построение сечения поверхности конуса фронтально-проецирующей плоскостью α, пересекающей все образующие поверхности конуса. Сечение получится в виде эллипса. На чертеже уже известна фронтальная проекция эллипса – отрезок с крайними точками А₂В₂, совпадающий с фронтальным следом секущей плоскости α – α₂. Отмечают промежуточные точки отрезка – С, D, K, P, 1 и 2. Горизонтальная проекция эллипса А₁К₁С₁2₁В₁1₁D₁Р₁ построена по принадлежности точек эллипса горизонтальным вспомогательным секущим плоскостям β, γ и δ, проведенным через фронтальные проекции этих точек (см. рис. 4, а).

Опорные точки эллипса:

1. точки А и В – концы большой оси эллипса и точки смены видимости на π₂;

2. точки С и D – концы малой оси эллипса;

3. О – центр эллипса. Натуральный вид эллипса на дополнительной плоскости проекций найден способом замены плоскостей проекций;

4. точки К и Р – точки смены видимости сечения на π₃;

5. точки 1 и 2 взяты произвольно.

Р₂≡(К₂)

(О₂)≡(С₂)≡D₂

А₄

S₂

1₄

О₄

В₄

А₂

β₂

γ₂

δ₂

В₂

х

К₁

С₁

2₁

С

В₁

1₁

Рис. 6. Последовательность построения линий пересечения

фронтально-проецирующей плоскости с поверхностью конуса

Натуральный вид эллипса на дополнительной плоскости проекций найден способом замены плоскостей проекций.

На рис. 7 представлено построение сечения поверхности наклонного конуса фронтально-проецирующей плоскости α, пересекающей все образующие поверхности конуса.

Последовательность решения задачи:

- строят горизонтальную проекцию наклонного конуса, для этого проводят основание конуса в виде окружности и очерковые образующие S₁6₁ и S₁7₁. Точное построение этих образующих представлено на рис. 8.

- по линиям связи строят фронтальную проекцию наклонного конуса с очерковыми образующими S₂1₂ и S₂8₂ и секущую плоскость α.