(11)
Полагая в этом случае , находим уравнение поля
(12)
Отметим, что уравнение (12) изменяет свой тип в зависимости от знака производной :
в области уравнение (12) имеет эллиптический тип;
в области уравнение (12) имеет гиперболический тип;
в области уравнение (12) имеет параболический тип.
Сигнатура метрики (12) не меняется, если потребовать дополнительно .
В стандартной теории поля [34], связь между компонентами тензора Эйнштейна обусловлена наличием уравнения состояния материи, являющейся источником гравитационного поля. Поэтому предполагаемая связь между компонентами в форме означает наличие уравнения состояния у того типа материи или энергии, которая производит гравитационное поле.
В современной астрофизике энергию такого типа называют темной энергии. Считается, что темная энергия соответствует основному состоянию Вселенной. Предполагая, что существует уравнение состояния, мы тем самым наделяем темную энергию определенными свойствами, позволяющими сопоставлять темную энергию с другими видами энергии и материи.
Для обычной материи изменение знака производной означает наличие фазового перехода. Отметим, что параметры уравнения состояния темной энергии связаны с величиной постоянной Планка [22] . Было показано [22], что квантовая механика Шредингера реализуется в области , когда уравнение (12) имеет параболический тип.
Следовательно, если темная энергия может совершить фазовый переход, то в этом случае возникают указанные выше области гиперболичности и эллиптичности уравнений поля. Действительно, рассмотрим статические решения уравнения (12), в этом случае, полагая , находим
(13)
Интегрируя уравнение (13), получим
(14)
Здесь С - произвольная постоянная. Для всякой заданной функции уравнение (14) позволяет определить функцию . Тем самым определяется в параметрическом виде уравнение состояния .
Предположим, что уравнение состояния можно представить в форме
(15)
Тогда решение уравнения (14) при имеет вид
(16)
Таким образом, установлено, что инварианты функции Вейерштрасса в метрике (10) связаны с уравнением состояния темной энергии.
Инварианты функции Вейерштрасса в метрике (10) могут совпадать с таковыми в метрике (7). Такое совпадение означает, что уравнения Янга-Миллса описывают поведение темной энергии с заданным уравнением состояния типа (15) при определенных ограничениях, налагаемых калибровочной симметрией. Следовательно, различие в моделировании метрики в рамках теории Эйнштейна и в теории Янга-Миллса заключается в выборе констант , которые в случае теории Янга-Миллса являются произвольными, а теории Эйнштейна зависят от уравнения состояния.
Отметим, что метрика (10), зависящая от двух углов, описывает пространства Эйнштейна. Обобщение этой метрики на случай произвольного числа измерений дано в [12]:
(17)
Здесь - углы на единичной сфере в - мерном пространстве. Метрика (17) описывает многие важные случаи симметрии, используемые в физике элементарных частиц и в теории супергравитации. Например, 3-х сфера и 5-сфера используются для представления и симметрии соответственно.
Рассмотрим гравитацию в пространствах с метрикой (17). Уравнения Эйнштейна и уравнение движения являются универсальным, поэтому обобщаются на пространство любого числа измерений в виде
(18)
(19)
Здесь - тензор Риччи, метрический тензор и функция Гамильтона-Якоби соответственно. В общем случае имеют место соотношения
(20)
- тензор Римана, - символы Кристоффеля второго рода.
Уравнение поля в метрике (17) имеет вид
(20)
Здесь параметр в пространстве-времени четырех измерений, в пространстве пяти измерений (теория Калуцы). В общем же случае имеем .
Рассмотрим статические решения уравнения (20), полагая , находим
(21)
Интегрируя уравнение (21), получим
(22)
Здесь С - произвольная постоянная. Чтобы получить решение уравнения (22) в виде функции Вейерштрасса, надо взять уравнение состояния в форме
(23)
Тогда решение уравнения (51) при имеет вид
(24)
Уравнение (19) можно проинтегрировать при некоторых предположениях, используя метод, который предложил Шредингер. Суть метода состоит в том, чтобы представить решение уравнения (19) в виде
(25)
Здесь в теорию в явном виде вводится классическое действие - , постоянная Планка и волновая функция . Используя классическое действие, мы определяем те параметры задачи, которые могут считаться внешними для квантовой системы. При таком подходе становится очевидной связь квантовой механики с классической механикой.
В случае метрики (17) удобно будет выбрать в качестве переменных квантовой механики углы на единичной сфере, а в качестве координат классического действия - время и радиальную координату. Тогда уравнение (19) разделяется на два уравнения
(26)
Рассмотрим оператор Лапласа в пространстве N измерений
(27)
Здесь - обобщенный оператор углового момента, собственные функции которого - гиперсферические гармоники, удовлетворяют уравнению
(28)
Гиперсферические гармоники выражаются через сферические функции и полиномы Якоби в виде [37]
(29)
Здесь - координаты точки на единичной сфере в метрике (17). Квантовые числа в метрике (17) удовлетворяют соотношениям
В результате решения вариационной задачи энергия системы определяется как функция квантовых чисел, характеризующих вращение единичной сферы. Таким образом, здесь мы имеем пример метрики кристаллического пространства с центральной симметрией. Очевидным следствием наличия метрики такого типа является зависимость физико-химических свойств вещества от радиальной координаты, например, от расстояния до Солнца - рис. 1-2.
Рассмотрим особый случай электромагнитного поля, для которого тензор энергии-импульса имеет характеристику непростого типа [38]. Статическая метрика в этом случае может быть приведена к виду:
(30)
Вычисляя определитель метрического тензора и скалярную кривизну, находим
(31)
Полагая, что кривизна является отрицательным числом , имеем уравнение
(32)
Общее решение уравнения (32) имеет вид
(33)
Поскольку функция (33) является периодической по любой из координат с периодом , метрика (30) описывает кристаллическое пространство. В таком пространстве тензор энергии-импульса отличен от нуля, так как электромагнитное поле является видом материи. Рассмотрим динамику частиц в метрике (30).
Движение релятивистских частиц в гравитационном поле в общем случае описывается уравнением
(34)
- символы Кристоффеля второго рода. Символы Кристоффеля вычисляются в метрике (2) согласно
(35)
Здесь координаты нумеруются в порядке . Уравнения (34) с учетом (35) принимают вид
(36)
На рис. 3 представлены траектории движения частиц, вычисленные по уравнениям (36) с начальными данными:
(37)
На левом рисунке 3 показана зависимость отношения от параметра интервала. Из приведенных данных следует, что после периода установления указанное отношение стремится к константе, . Следовательно, время и интервал связаны линейной зависимостью для данного типа движения. Координаты изменяются периодически, отличаются между собой на константу (для выбранных начальных данных). С другой стороны, координата изменяется практически линейно - зависимость 3 на нижнем левом рисунке 3.
Движение в координатах - правый верхний рис. 3, подобно движению в координатах - правый нижний рис. 3. Общее движение раскладывается на постоянное движение вдоль некоторого направления и периодическое движение в поперечном направлении.
Рис. 3. Траектории частиц в метрике (30) допускающей электромагнитное поле
Отметим, что существуют различные модификации метрики (30), связанные с постулированием структуры кристаллического пространства, например, метрика
(38)
Здесь функция , может быть определена путем задания скалярной кривизны. Интересной особенностью метрики является, то, что периодический режим реализуется в пространствах положительной кривизны. Действительно, имеем в этом случае
(39)
Интегрируя уравнение с начальными условиями , находим потенциал и определитель метрического тензора - на рис. 4 слева. Отметим, что хотя функция при этих условиях является знакопеременной, определитель метрики всюду не больше нуля. Определим периодический режим для аналогичной метрики
(40)
В этом случае имеем
(41)
Предполагая, что скалярная кривизна является отрицательной и, интегрируя уравнение с начальными условиями , находим потенциал и определитель метрического тензора - на рис. 4 справа.
Рис. 4. Потенциал и определитель метрики (38) - слева, и метрики (39) - справа:
Мы, таким образом, указали возможные метрики кристаллического пространства. Метрика (5), зависящая от функции Вейерштрасса, возникает в теории Янга-Миллса. Аналогичные метрики были найдены в теории Эйнштейна - метрика (10) с потенциалом (16) и метрика (17) с потенциалом (24). Такие метрики, обладающие центральной симметрией, могут быть использованы для обоснования строения элементарных частиц, свойств атомных ядер, атомов и вещества [22].
Метрика (30), допускающая электромагнитное поле связана не только с микроскопической, но и с макроскопической структурой пространства. Одним из наблюдаемых следствий взаимодействия макроскопических систем с решеткой гравитационного эфира являются квадратичные по скорости эффекты, связанные с локальным изменением гравитационного потенциала относительно статистических параметров температуры и химического потенциала. Многочисленные эффекты такого рода обсуждаются в работах [11-12, 22-24, 28-33] и других.
Известно, что распределение частиц космических лучей по энергии обрывается на величине около , что является одним из доказательств теории кристаллического эфира, в которой этим пределом определяется шаг решетки.
Модель стоков и источников Максвелла была рассмотрена в работе [39], в которой предложена модель структуры кварков и лептонов. Эти частицы рассматривается как сложные системы, состоящие из преонов, обладающих собственной динамикой в пределах заданной метрики типа (5), а сами преоны представляются как составные частицы, включающие нейтральный 0-фермион и заряженный скалярный 0-бозон. Таким образом, вопрос о происхождении электрического заряда переносится на нижестоящий уровень организации материи в недостижимую для эксперимента область масштабов.
Бозоны и фермионы нулевого уровня в метрике (17) определяются на основе уравнение состояния, которое согласовано с метрикой Шварцшильда
(42)
Заметим, что в метрике Шварцшильда параметр соответствует массе или энергии покоя системы. Мы предполагаем, что источник гравитации типа точечной массы обусловлен в метрике (17) наличием двух типов уравнения состояния, соответствующих бозонам и фермионам.
Сопоставим первое уравнение (42) с квантовыми статистиками:
- в случае бозонов ;
- в случае фермионов .
Как известно, деление частиц, на фермионы и бозоны, первоначально возникло в статистической физике [35], и лишь благодаря теореме Паули была установлена связь спина со статистикой [36]. Однако уравнение состояния в форме (42) не содержит никакой информации о спинах частиц. Согласно (42), разделение на бозоны и фермионы является фундаментальным свойством гравитационного поля.
В работе [40] рассмотрена электродинамика плазмы и нейтрального газа, состоящего из молекул преонов. Показано, что некоторые свойства такого газа соответствуют свойствам эфира Максвелла [25]. Рассмотрим распространение стримера в такой среде. Для этого используем стандартную модель стримера в газовых разрядах [41-42], которую модифицируем с учетом диффузии электрического поля и ионов, имеем
(43)
Здесь обозначено - плотность электронов, ионов и электрического поля соответственно, - коэффициенты диффузии, - параметр подвижности ионов. В качестве параметра длины в модели (43) используется длина свободного пробега электронов в азоте при нормальном давлении - около 2.3 мкм. Масштаб времени составляет 3 пикосекунды, а масштаб электрического поля - 200 кВ/см [42].
Поясним происхождение третьего уравнения (43). Выражение в скобках в случае электростатического поля тождественно обращается в ноль. Однако при наличии вихревой составляющей поля в случае длинных волн, из уравнений Максвелла и закона Ома следует уравнение диффузии векторного потенциала
(44)
Сравнивая (44) с третьим уравнением (43), находим .
Модель (43) тестировалась на плоских и трехмерных задачах моделирования стримеров Саффмана-Тейлора [42-43] в однородном электрическом поле.
Задача для системы (43) решалась численно, в прямоугольной области , с нулевыми начальными данными и с граничными условиями:
(45)
В случае решения плоской задачи полагаем в условиях (45) и исключаем граничные условия при . Таким образом, решается задача о растекании электронов и ионов в однородном электрическом поле .