Материал: Методы оптимизации и теория управления

Методы оптимизации и теория управления

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»

Расчетно-графическое задание

«Методы оптимизации и теория управления»

Содержание

РГЗ № 3

Задача 1

Задача 2

Список использованных источников

Задача 1

Распределите оптимальным образом денежные средства величиной Х между N предприятиями. В результате выделения средств k-му предприятию в размере u оно дает доход Jk(u).

Вариант 3. X = 100 тыс. руб., N = 4. Средства предприятиям распределяются в количествах, кратных 25 тыс. руб., но не могут превосходить 50 тыс. руб. Функции Jk(u), k = 1, …, 4, заданы в таблице 1:

Таблица 1

u (тыс. руб.)	25	50	75	100
J1(u)	12	14	20	28
J2(u)	12	18	24	30
J3(u)	12	16	24	30
J4(u)	8	12	16	24

Решение.

этап. Условная оптимизация.

-й шаг: k = 4. Предположим, что все средства в количестве u4 = 100 тыс. руб. отданы четвертому предприятию. В этом случае максимальный доход, как это видно из таблицы 2, составит J4(U4)=12 тыс. руб. , следовательно, F4(c4)=J4(U4).

Таблица 2

с4 u4	0	25	50	75	100
0	0	-	-	-	-
25	-	8	-	-	-
50	-	-	12	-	-
75	-	-	16	-
100	-	-	-	-	24
F4(c4)	0	8	12	16	24
u*4	0	25	50	75	100

-й шаг: k = 3. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между четвертым и третьим предприятиями. При этом соотношение Беллмана имеет вид:

на основе которого составлена таблица 3:

Таблица 3

с3 u3	25	50	75	100
0	8	12	16	24
25	12	20	24	28
50	-	16	24	28
75	-	-	24	32
100	-	-	-	30
F3(c3)	12	20	24	32
u*3	25	25	25,50,75	75

-й шаг: k = 2. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между вторым и двумя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

на основе которого составлена таблица 4:

Таблица 4

с2 u2	25	50	75	100
0	0	12	20	24	32
25	-	12	24	32	36
50	-	-	18	30	38
75	-	-	-	24	36
100	-	-	-	-	30
F2(c2)	0	12	24	32	38
u*2	0	0,25	25	25	50

4-й шаг: k = 1. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между первым и тремя  другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

на основе которого составлена таблица 5:

Таблица 5

с1 u1	0	25	50	75	100
0	0	12	24	32	38
25	-	12	24	36	44
50	-	14	26	38
75	-	-	-	20	32
100	-	-	-	-	28
F1(c1)	0	12	24	36	44
u*1	0	0,25	0,25	25	25

этап. Безусловная оптимизация.

Определяем компоненты оптимальной стратегии.

-й шаг. По данным таблицы 5 максимальный доход при распределении 100 тыс. руб. между четырьмя предприятиями составляет: с1 = 100, F1(100) = 44. При этом первому предприятию нужно выделить u1* = 25.

-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго, третьего и четвертого предприятий:

с2 = с1 - u1* = 100 - 25 = 75.

По данным таблицы 4 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером с2 = 75 между третьим и четвертым предприятиями составляет: F2(75)=32 при выделении второму предприятию u2* = 25.

-й шаг. Определяем величину средств, приходящуюся на долю третьего и четвертого предприятий:

с3 = с2 - u2* = 75 - 25 = 50.

По данным таблицы 3 находим, что максимально возможный прирост при распределении оставшихся средств размером с3 = 50 между третьим и четвертым предприятиями составляет F3(50) = 20 при выделении третьему предприятию u3* = 25.

Значит четвертому предприятию останется u4* = 25.

Таким образом, оптимальный план инвестиций: u* = (25, 25, 25, 25), который обеспечивает максимальный прирост производства: F(100) = J1(25) + J2(25) + J3(25) + J4(25) = 12 + 12 + 12 + 8= 44.

Задача 2

На заданной сети дорог имеется несколько маршрутов по доставке груза из пункта 1 в пункт 10. Стоимость перевозки единицы груза между отдельными пунктами сети проставлена у соответствующих ребер. Необходимо определить оптимальный маршрут доставки груза из пункта 1 в пункт 10, который обеспечил бы минимальные транспортные расходы.

Рисунок 1

Решение.

этап. Условная оптимизация.

-й шаг. k=1.

(i)=Ci10

оптимизация денежный доход маршрут

На первом шаге в пункт 10 груз может быть доставлен из пунктов 7, 8 или 9.

Таблица 6

j i	10	F1(i)	j*
7	10	10	10
8	5	5	10
9	3	3	10

-й шаг. k=2.

Функциональное уравнение на втором шаге принимает вид

Все возможные перемещения груза на втором шаге и результаты расчета приведены в следующей таблице:

Таблица 7

7

8

9

F2(i)

j*

5

5+10

3+5

-

8

8

6

-

2+5

3+3

6

9

-й шаг. k=3.

Таблица 8

j i	5	6	F3(i)	j*
2	7+8	-	15	5
3	-	8+6	14	6
4	-	5+6	11	6

-й шаг. k=4.

Таблица 9

j i	2	3	4	F4(i)	j*
1	7+15	4+14	4+11	15	4

этап. Безусловная оптимизация.

На этапе условной оптимизации получено, что минимальные затраты на перевозку груза из пункта 1 в пункт 10 составляют F4(1)=15. Данный результат достигается при движении груза из 1-го пункта в 4-й. По данным таблицы третьего шага необходимо двигаться в пункт 6, затем - в пункт 9 (см. таблицу второго шага) и из него - в конечный пункт (см. таблицу первого шага). Таким образом, оптимальный маршрут доставки груза: 1® 4 ® 6 ® 9 ® 10. На рисунке 2 жирными стрелками показан оптимальный путь.

Рисунок 2

Список использованных источников

Некрасова М.Г. Методы оптимизации и теория управления: Учебное пособие / Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2007. - 132 с.