Статья: Методика проектирования астатической по фазе системы фазовой автоподстройки для цифровых синтезаторов частот

МЕТОДИКА ПРОЕКТИРОВАНИЯ АСТАТИЧЕСКОЙ ПО ФАЗЕ СИСТЕМЫ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ ДЛЯ ЦИФРОВЫХ СИНТЕЗАТОРОВ ЧАСТОТ

А.В. Леньшин

ВУНЦ ВВС «ВВА им. профессора

Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»,

М.В. Матуразов, Т.В. Матуразова

АО «Концерн «Созвездие», Воронеж, Россия,

Е.В. Шаталов

УГИБДД ГУ МВД России по Воронежской области

Предложена методика модельно-ориентированного проектирования астатической по фазе системы фазовой автоподстройки частоты для цифровых синтезаторов частот. Приведены примеры параметрического синтеза линейной системы фазовой автоподстройки частоты высокого порядка с помощью функций пакета MATLAB pidtune и systune.

Ключевые слова: фазовая автоподстройка частоты, синтезатор частот, управляемый генератор, частотно-фазовый детектор, дробный делитель частоты.

A.V. Lenshin, M.V. Maturazov, T.V. Maturazova, E.V. Shatalov

METHOD OF DESIGNING AN ASTATIC PHASE SYSTEM PHASE LOCKED LOOP FOR DIGITAL FREQUENCY SYNTHESIZERS

A technique of model-oriented design of phase-astatic phase-locked loop for digital frequency synthesizers is proposed. Examples of parametric synthesis of a high-order linear phase-locked loop system using the MATLAB pidtune and systune.

Keywords: phase-locked pulse frequency, frequency synthesizer, controlled generator, frequency-phase detector, fractional frequency divider.

Введение

Синтезаторы частот (СЧ_ФАП) на основе системы фазовой автоподстройки с зарядовой накачкой (ФАП_ЗН) по сигналу рассогласования частотно-фазового детектора с тремя устойчивыми состояниями (ЧФД₃) - обязательный элемент современных радиотехнических систем. В радиопередатчиках СЧ_ФАП задает несущую частоту электромагнитных колебаний, которая путем модуляции преобразуется в радиосигнал. В радиоприемниках СЧ_ФАП служат в качестве гетеродинов для понижения частоты принимаемых радиосигналов [1, 2].

Одним из основных требований, предъявляемых к ФАП_ЗН, является обеспечение ее динамических характеристик: устойчивости в «малом», определяемой частотой среза и запасом устойчивости по фазе передаточной функции (ПФ) разомкнутой системы; быстродействия системы; минимума дисперсии фазы выходного сигнала СЧ_ФАП, который достигается компенсацией собственных шумов управляемого генератора (УГ) и ослаблением шумов опорного сигнала и помех дробности системы в области частот выше частоты среза [3-5].

Синтез и анализ систем ФАП_ЗН довольно сложен и может проводиться с применением современных вычислительных машин и специализированных пакетов прикладных программ (ППП) типа MATLAB, AgilentADS, LabVIEW, OrCAD Pspice, SystemVue, VisSim и других [6]. Если не учитывать нелинейность импульсного ЧФД₃, то ФАП_ЗН можно свести к линейной непрерывной системе и проводить ее синтез и анализ хорошо известными способами, например, с привлечением частотных методов [7]. Во временной области удобно использовать четверку матриц для описания векторного дифференциального уравнения системы в пространстве состояний, исследовать в кусочно-линейном режиме некоторые нелинейные свойства ФАП_ЗН [8, 9].

Постановка задачи исследования

Целью работы является нахождение с использованием подсистемы Control System Toolbox системы MATLAB для различных видов ФНЧ зависимостей значений элементов ФАП_ЗН в частотной области от запаса устойчивости по фазе и показателя колебательности . Применение в качестве ФНЧ сложных фильтров (Бесселя, Баттерворта, Чебышева, эллиптических и других) позволяет получить при лучших шумовых параметрах выходного сигнала СЧ_ФАП приемлемые характеристики по быстродействию.

Рассмотрим линейную систему ФАП_ЗН, представленную на рисунке 1.

Рис. 1. Линейная система ФАП_ЗН

На рис. 1 обозначено: - фаза опорного сигнала; - фаза сигнала с ПФ , где - крутизна характеристики управления УГ; - двухполярный импульсный сигнал, пропорциональный разности фаз входных сигналов, с токами и , ПФ непрерывной модели ЧФД₃ описывается выражением ; - ПФ регулятора-корректора (РК), обеспечивающего требуемые параметры устойчивости и переходные характеристики системы ФАП_ЗН при выбранном ФНЧ с ПФ ; - ПФ дробного делителя частоты (Д_N) с коэффициентом деления N (в состав Д_N входит дельта-сигма модулятор порядка для уменьшения уровня помех с частотами, кратными шагу сетки частот); - сигнал на выходе Д_N.

Развернутый вариант линейной системы ФАП_ЗН с РК и ФНЧ третьего порядка приведен на рисунке 2.

астатический автоподстройка синтезатор частота

Рис. 2. Развернутый вариант линейной системы ФАП_ЗН с РК и ФНЧ третьего порядка

ПФ разомкнутой непрерывной линеаризованной ФАП_ЗН (рис. 2) с идеальным операционным усилителем, можно найти в виде

, (1)

где . Представим далее выражение (1) в виде

, (2)

где ; ; - общая ПФ звеньев ЧФД₃, УГ и делителя; - ток, протекающий через резистор .

Большинство применяемых на практике линейных ФАП_ЗН имеют астатизм по фазе второго порядка, который требуется для уменьшения уровня помех с частотой опорного сигнала на выходе ЧФД₃. ПФ таких систем ФАП_ЗН можно представить в виде (2). Проектирование СЧ_ФАП с требуемыми параметрами представляет сложную задачу. С использованием подсистемы Control System Toolbox системы MATLAB предлагается следующий подход к расчету устойчивой ФАП_ЗН с ПФ вида (2):

1) считаем, что , и N заданы;

2) выбран тип ФНЧ из ряда поддерживаемых системой MATLAB фильтров (RC, Беcселя, Баттерворта, Чебышева, эллиптических и др.) и определенного порядка ;

3) звено регулятора-корректора (РК) с передаточной функцией соответствует в терминологии подсистемы Control System Toolbox устройству PI-регулятора с ПФ , где , .

При известных и выбранных PI-регулятор с параметрами , подлежит расчету методами подсистемы Control System Toolbox. Поэтому рассмотрим более подробно расчет параметров PI-регулятора некоторыми способами, разработанными в системе MATLAB. В начале приведем соотношения при использовании встроенной функции Control System Toolbox pidtune

. (3)

Функция (3) содержит выходной параметр и входные . В (3) - линейный стационарный объект (lti-объект) РК, параметры которого , находятся как , (точка в и означает что представляется в виде структуры как одного из типов данных в MATLAB); - (lti-объект), сформированный ПФ ; - параметр, задающий РК в виде PI-регулятора; - частота среза ПФ ; - параметр, задающий запас устойчивости ФАП_ЗН по фазе со значением (в градусах) в виде .

Задача нахождения параметров РК с использованием (3) может быть успешной, если найдены зависимости между характеристиками ФНЧ и характеристиками ПФ - , . Основные характеристики ФНЧ, задаваемые в MATLAB для фильтров RC, Бесселя, Баттерворта, - это значения их порядков и частот среза . Для фильтров Чебышева и эллиптических фильтров необходимо задавать дополнительно значения неравномерности коэффициента передачи в полосе пропускания и значения коэффициента затухания в полосе задерживания.

Для расчета влияния их на формирование требуемой в области частот, близких к , предлагается использовать такой параметр ФНЧ, как групповое время задержки ( определяется из представления в виде . Для формирования требуемой в области частот, близких к , предлагается заменить ФНЧ линией задержки с параметром . Для ФНЧ с одинаковыми и разными зависимость от линейная , где - задержка в ФНЧ с частотой rad/cek; - задержка в ФНЧ с частотой среза .

Линию задержки можно аппроксимировать апериодическим звеном с ПФ . Для линейной динамической системы (эталонной) ПФ

, (4)

где ; , - базовая частота; ; М - показатель колебательности [2].

Задавая в начале проектирования системы ФАП_ЗН значения М и , из (4) находим , и . Используя встроенную функцию MATLAB , определим запас устойчивости по фазе

, (5)

где - lti-объект, соответсвующий .

Результаты вычислений при различных М, рассчитанные с помощью (4), (5), приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Зависимости от М

Вариант расчета с функцией systune

Таким образом, все входные параметры в (3) известны и подлежит расчету только . Рассмотрим вариант расчета с привлечением встроенной функции Control System Toolbox . Функция предполагает использование целевых функций для расчетов параметров . Из более двух десятков предлагаемых Control System Toolbox целевых функций в нашем случае к успеху приводит использование и . Параметры рассчитываются таким образом, чтобы при типовых воздействиях на системы разница между длительностью переходных процессов в эталонной системе и рассчитываемой была бы меньше заданной. Для пояснения дальнейших выкладок опишем ряд операторов.

При помощи оператора вводится контрольная точка u (рис.1), используемая в операторе , а с помощью оператора в схему расчета вводится настраиваемый lti-объект PID - блок по имени c опцией с начальными значениями , , равными и соответственно.

Операторы и формируют lti-объект , соответствующий передаточной функции и имеющий имена входа и выхода (рис. 1) , и , а формирует объект , реакция которого на воздействие линейно нарастающего сигнала должна быть такой же (с точностью ), как и на эталонную модель .

Дополнительные опции для работы функции задаются с помощью , а в с помощью функции находится искомый lti-объект , соответствующий ПФ замкнутой системы ФАП_ЗН . При помощи оператора вычисляются искомые значения и .

Отметим, что для решения поставленной задачи можно использовать не только функции pidtune и systune, но и другие, например, looptune. Функции systune и looptune имеют больше возможностей, нежели pidtune и позволяют найти более сложный РК, отличный от регулятора класса PID.

Синтез астатической по фазе системы ФАПЗН

Рассмотрим синтез астатической по фазе системы ФАП_ЗН с использованием функций pidtune, systune и типа Баттерворта третьего порядка (), и кГц. На рисунках 3, 4 представлены три группы зависимостей: кривая 1 соответствует синтезированной по (5) эталонной ФАП_ЗН; кривая 2 - синтезированной ФАП_ЗН с использованием функций pidtune; кривая 3 - синтезированной ФАП_ЗН с использованием функций systune.

Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики замкнутых систем ФАП_ЗН

Анализ рис. 3, где представлены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) замкнутых систем ФАП_ЗН, синтезированных с помощью pidtune и systune, показывает, что их максимумы отличаются от максимумов АЧХ эталонной ФАП_ЗН не более, чем на 5 %.

Рис. 4. Длительности переходных процессов в системах ФАП_ЗН

Таким образом, предложенная методика синтеза систем со сложными основанная на использовании эталонной модели, приводит к системам ФАП_ЗН с АЧХ, имеющими требуемый показатель колебательности и запас устойчивости по фазе [2].

На рис. 4 приведены зависимости длительности переходных процессов отклонения частоты сигнала от номинала в системах ФАП_ЗН. По оси y отложено , начальное значение МГц. Кривые переходных процессов (рис. 4) в системах, синтезированных с помощью pidtune и systune, практически совпадают друг с другом и несколько отличаются по быстродействию от эталонной системы.

Логарифмические частотные характеристики разомкнутых систем ФАПЗН с различными типами ФНЧ

Исследования систем ФАП_ЗН со сложными ФНЧ разных порядков и типов (RC, Бесселя, Баттерворта, Чебышева) показали, что все они имеют похожее поведение с характеристиками ФАП_ЗН с Баттерворта третьего порядка (рис. 3, 4). На рисунках 5, 6 показаны логарифмические частотные характеристики разомкнутых систем ФАП_ЗН и переходные характеристики систем ФАП_ЗН с различными типами ФНЧ (кривая 1 - Чебышева, кривая 2 - Баттерворта, кривая 3 - Бесселя, кривая 4 - RC) третьего порядка.

Рис. 5. Логарифмические частотные характеристики разомкнутых систем ФАП_ЗН с различными типами ФНЧ

Рис. 6. Переходные характеристики систем ФАП_ЗН с различными типами ФНЧ

Из анализа кривых на рис. 5, 6 можно сделать вывод, что система ФАП_ЗН с фильтром Чебышева (при расчете ФНЧ Чебышева задавался дополнительный параметр - неравномерность коэффициента передачи в полосе пропускания) обладает несколько лучшими фильтрующими способностями и повышенным быстродействием.

Приведем пример синтеза по предложенной методике системы ФАП_ЗН (рис. 2). Будем считать, что заданы , , , ( град) и кГц, использовался ФНЧ Баттерворта третьего порядка ().

С помощью (4) находим и , по этому значению находим частоту среза ФНЧ Баттерворта третьего порядка . Далее с помощью (3) находим параметры РК: и или , .

Перейдем к расчету номинальных значений элементов ФНЧ. Введем обозначения , , , , , . С использованием последних обозначений , , . Для известного типа ФНЧ, его порядка и частоты среза с помощью ряда функций MATLAB можно определить численные значения , , . При неизвестных пяти элементах ФНЧ их значения связывают только три уравнения, поэтому необходимо задать какие-либо два параметра (исходя из физической целесообразности).

Зададимся условием , тогда и из , , можно получить уравнение для определения (в нашем случае равно ). Далее , задаваясь , получим , , , .