На рис. 7 представлены зависимости погрешности восстановления облучающего поля для случаев цилиндрической (а) и сферической (б) волн. Естественно, СППВ при рационально выбранном числе волн практически идеально аппроксимирует цилиндрическую волну, в то время, как точность аппроксимации сферической волны весьма умеренная. В центре рисунков как визуальные образы соответствующих уровней ?55дБ и ?15,5дБ погрешности размещены рельефы полей пучка в S при N = 115 (жирные штрихи на оси N).
(а) (б)
Рис. 7. Погрешность аппроксимации облучающего поля
Понятно, что волновой размер поверхности сканирования S предопределяет угловую разрешающую способность при тестировании облучающего поля. Поэтому попытки повысить точность восстановления этого поля за счет уменьшения углового дискрета пучка (увеличения числа волн) оказываются несостоятельными из-за ухудшения обусловленности СЛАУ. Неожиданным является тот выявляемый расчетами факт, что переход от области устойчивых решений к неустойчивым происходит настолько резко, что впору говорить о пороговом эффекте (в моделируемой ситуации при N = 130).
Точность восстановления ДН испытуемой антенны
Методические погрешности. Как отмечалось выше, основной фактор, ограничивающий потенциальную точность восстановления ДН антенны в условиях идеальных измерений, ? это конечное число N волн пучка и отсчетных точек M. В рамках методологии СППВ число точек M может превышать число N волн пучка[2], обеспечивая определенное усреднение случайных погрешностей измеренных данных. Целесообразно это превышение выбрать кратным: M = K N для упрощения вычислений на этапе восстановления ДН. В расчетных примерах было принято K = 4.
В расчетах, результаты которых приведены ниже, в качестве испытуемой рассматривалась возбуждаемая равномерно синфазная линейная щелевая антенна длиной Lа, т.е. линейная антенна из элементов Гюйгенса с кардиоидными ДН (пунктир на рис. 1(б)). При моделировании сигнал вычислялся интегрированием по Симпсону с точностью до 10?5: в случае цилиндрической волны и в случае сферической волны, где (рис. 1(б)) и . Сигнал антенны связан со спектром пучка волн { An } и истинной ДН антенны очевидным образом: . N отсчетов, соответствующих индексам m = 1 + (p?1)K + k?1, т.е. N углам , где p = 1..N, образуют систему Nуравнений относительно N отсчетов ДН с шагом Д при любом значении k = 1..K, нумерующего отсчет (с шагом ) в пределах дискрета (см. рис. 1(в)). Каждая из этих K СЛАУ приводится к стандартному виду
, (p = 1..N), (2')
если исходные коэффициенты An при n + p > N циклически продолжить: An+p = An+p?N.
Аппроксимация облучающего поля ? важный, но промежуточный этап. Мерилом качества процесса измерений служит точность восстановления ДН. В отсутствии шумов и приборных погрешностей эта точность ограничена методической погрешностью, слагаемыми которой являются: пренебрежение поверхностными волнами (слабый фактор, заслуживающий лишь упоминания), конечное число N волн пучка и, наконец, использование плоского пучка в случае сферической облучающей волны. На рис. 8 вверху представлены зависимости относительной среднеквадратической погрешности в децибелах от числа N волн пучка. Здесь ? восстановленная ДН, Fа(ц') ? истинная ДН антенны, ? измеренная ДН, точнее угловая зависимость принимаемого антенной сигнала. Песочный фон маркирует вариант цилиндрической волны, изумрудный ? вариант сферической волны.
Внизу на рис.8 представлены ДН при рациональном выборе N = 115. В случае цилиндрической волны ДН восстанавливается настолько точно ( < 0,002 = ?54дБ), что толстая голубая кривая и тонкая черная кривая сливаются (рис. 8(а)). Принимаемый антенной сигнала представлен толстой серой кривой. Естественно, для сферической волны (рис. 8(б)) точность скромнее ( = 0,052 = ?26дБ). Но, во-первых, погрешность восстановления ДН заметно меньше погрешности аппроксимации облучающего поля ( = ? 15,5дБ, рис. 7(б))[3]. Во-вторых, в области ближних боковых лепестков отличие восстановленной ДН от точных значений не превышает 0.7 дБ, что на практике может быть вполне приемлемым.
(а) (б)
Рис. 8. Методическая погрешность восстановления ДН при облучении
Шумовые погрешности. Ряд факторов обусловливает погрешности измерений, носящие случайный характер. Основной среди них ? внутренние шумы измерительного прибора, наличие которых приводит к тому, что каждый отсчет комплексных амплитуд и содержит статистически независимые аддитивные слагаемые , реальные и мнимые составляющие которых распределены нормально с нулевым средним и равной дисперсией .
На рис. 9 представлены зависимости среднеквадратичной погрешности восстановления ДН при различных уровнях нормированного к максимальному значению принимаемых сигналов и , задаваемых стандартным отклонением (корень из дисперсии). Геометрические параметры оставались прежними: La = 15, D = 25. Рис. 9(а) соответствует варианту облучения цилиндрической волной, рис. 9(б) ? облучению сферической волной.
(а) (б)
Рис. 9. Шумовые погрешности восстановления ДН.
Понятно, что при номинальной точности восстановления на уровне = ?50 дБ (рис. 9(а)) даже чрезвычайно слабые шумы = 10-3, соответствующие соотношению с/ш = 60дБ, проявляются заметно, а в ситуации умеренной точности восстановления = ?25 дБ (рис. 9(а)) их наличие не ощутимо вплоть до уровня с/ш = 40дБ (дU < 10-2).
В условиях умеренной точности измерений (при отношении с/ш в интервале от 20дБ до 26дБ), представляющих, по-видимому, наибольший практический интерес, точность восстановления ДН в случае сферической облучающей волны оказывается заметно лучшей, чем в случае облучения цилиндрической волной (естественно, при числе N волн аппроксимирующего пучка из диапазона рациональных значений). Это обусловлено большей устойчивостью соответствующего решения к шумовым погрешностям.
На рис. 10 представлены ДН в случае цилиндрической (а) и сферической (б) облучающей волны при с/ш = 26дБ и с/ш = 20дБ.
(а) (б)
Рис. 10. Восстановление ДН при умеренном уровне шумов:
с/ш=26 дБ (верхний ряд) и с/ш=20 дБ (нижний ряд).
Заметим, что существуют алгоритмические средства уменьшения «чувствительности» решений к случайным погрешностям исходных данных, реализующие классический способ Тихонова и Иванова [6] регуляризации некорректно поставленных задач или статистическую оптимизацию решений (см. [7], полемически изложенный раздел 3 «Optimization versusRegularization»), устраняющую неопределенность выбора значения параметра регуляризации. Очевидно, что с использованием этих программных средств обработки измеренных данных точность восстановления ДН испытуемой антенны при облучении цилиндрической волной и в условиях заметной зашумленности данных будет не хуже, чем в ситуации сферической волны, и единственным достоинством облучения сферической волной останется конструктивная простота вспомогательной антенны.
Выводы
Методология восстановления ДН испытуемой антенны, базирующаяся на аппроксимации облучающего поля сходящимся пучком плоских волн, во-первых, наполняет физическим содержанием постулат метода эквивалентной антенны об инвариантности матричного преобразования, связывающего принимаемый зондом или испытуемой антенной сигнала с их ДН. Во-вторых, выявляет факторы, обусловливающие методическую погрешность: пренебрежение поверхностными волнами, ограничения на минимальное и максимальное значение числа волн пучка. В-третьих, условие близости ДН эталонной и ДН испытуемой антенн как гарантии точности восстановления заменяется менее жестким условием близости угловых разрешающих способностей.
Результаты численного моделирования подтверждают возможность достижения приемлемой точности восстановления ДН, когда облучающая волна является сферической, измерения осуществляются в плоскости и поле в рабочей области аппроксимации плоским пучком волн. Более того, получающиеся при этом решения менее чувствительны к шумовым погрешностям измерений.
Литература
1. Бахрах Л.Д., Кременецкий С.Д., Курочкин А.П. Методы измерения параметров излучающих систем в ближней зоне. ? Л.: Изд-во «Наука». 1985. 272 с.
2. Плохих С.А., Сазонов Д.М., Щербаков В.И. Восстановление диаграмм направленности антенн методом эталонной антенны по амплифазометрическим измерениям в ближней зоне // Известия вузов. Радиоэлектроника, т. 30. 1987. № 2. С. 59 - 64.
3. Чони Ю.И., Пироженко С.А. Восстановление ДН антенны по результатам измерений в неидеальных условиях // Известия вузов. Радиоэлектроника. т. 35. 1992. №2. С. 43-50.
4. Weixin Zhao. Retrieval of free space radiation patterns through measured data in a non-anechoic environment. PhD dissertation. Syracuse University. USA. December 2013. 165 p. // [Электронный ресурс]. URL: http://surface.syr.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1007&context=etd
5. Кривошеев Ю.В. Измерение характеристик антенн в зоне Френеля на разреженной сетке углов. Канд. диссертация. ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ». 2014.
6. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач ? М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1979. 288 с.
7. Чони Ю.И. Adjoint operator method and its aspects in regard to antenna synthesis. IХ Proceedings of the 2013 IX International Conference on Antenna Theory and Techniques (ICATT). Одесса. Украина. Сентябрь 2013. С. 86-91.
Примечания
[1] Заметим, что на поверхности S в соответствии с принципом эквивалентных поверхностных токов воспроизводятся касательные компоненты и Eф (магнитным током), и Hф (электрическим током). В результате чего внутри S воспроизводится облучающее поле, а вне S поле отсутствует, как если бы внешняя область была идеально проводящей.
[2] Заметим, что для метода эквивалентной антенны [2] неквадратные матрицы СЛАУ недопустимы.
[3] Причину этого можно видеть в том, что антенна является в определенном смысле фильтром слабо чувствительным к «высокочастотным» осциллирующим составляющим пространственного спектра {An}, в то время как в поле пучка E(r,ц) они присутствуют на периферии области S (рис. 6(б)), ухудшая аппроксимацию облучающего поля E0(r,ц).