Мы видим, что в этом случае через контакт может течь только ток, связанный с процессами зарядки проволоки, который обращается в ноль на нулевой частоте.
3.2 Дальнодействующее взаимодействие между электронами
В случае дальнодействующего взаимодействия между электронами, то есть в отсутствие экранирующего затвора, решение уравнений движения (3) в случае дальнодействующего взаимодействия оказывается более трудоемким и длинным, поэтому мы приведем результат без вывода. Отметим только, что в этом случае уравнения движения для гайзенберговских операторов оказываются интегральными уравнениями по координате, причем на потенциал взаимодействия между электродами в проводе оказывает влияние экранирующее действия электродов - подводящих токовых контактов. Поэтому мы провели расчет для определенной геометрии, в которой длина проволоки полагается меньше размеров электродов, образующих конденсатор, пластины которого соединены одномерным проводником. Тогда электроды можно рассматривать как бесконечные металлические пластины и описывать их экранирующее действие с помощью сил изображения. В этом случае удается решить уравнения с помощью разложения в ряд Фурье по координате. В результате решения оказывается, что перенормировка коэффициента флуктуациями играет значительно меньшую роль. Дело в том, что параметр , определяющий величину взаимодействия, порядка постоянной тонкой структуры, в которой скорость света заменена на фермиевскую скорость,
поэтому средний квадрат флуктуаций оказывается небольшим даже при умеренной величине взаимодействия, соответствующей вполне реалистичным соотношениям параметров, поскольку условие малости флуктуаций при дальнодействии приобретает вид
где измеряется в единицах см/сек. Таким образом во многих случаях можно пренебречь влиянием флуктуаций на перенормировку коэффициентов в (7).
В результате решения уравнений движения для средней фазы мы находим выражение для тока
где
,
а - скорость плазменных возбуждений в системе с кулоновским дальнодействием. Здесь - диаметр квантовой проволоки, который является малой величиной порядка фермиевской длины волны.
Рассмотрим сначала симметричные контакты . В этом случае
Эти выражения упрощаются в предельных случаях больших и малых частот. При низких частотах, , получим
При увеличении частоты в импедансе появится осциллирующая часть, связанная с обращением знаменателей в и в ноль, когда на длине проволоки укладывается целое число длин волн плазменных возбуждений. А в пределе больших частот, , с логарифмической точностью получим
В другой схеме присоединения контактов к квантовой проволоке, когда контакт к квантовой проволоке при отсутствует и вычисляется ток при , получим
где в пределе низких частот импеданс стремится к бесконечности, а при больших частотах импеданс описывающий действие контакта в качестве затвора, изменяющего заряд проволоки, оказывается похожим на результат в случае двух контактов, присоединенных к концам проволоки.
Основное отличие от случая короткодействующего взаимодействия между электронами состоит в том, что вместо фактора влияние межэлектронного взаимодействия на линейный отклик определяется длинноволновой частью кулоновского потенциала, в результате чего в формулах появляются большие логарифмы, зависящие от частоты.
4. Линейный отклик на внешнее электрическое поле
В этом разделе мы будем искать отклик на внешнее переменное электрическое поле стоящее в правой части уравнения движения (3). При этом мы предполагаем, что поле не зависит от координат и вся проволока находится в области поля.
Когда проволока подключена к контактам, токи, вызванные внешним электрическим током, могут через контакты затекать и во внешнюю электрическую цепь, что приведет к образованию на подводящих контактах потенциалов, определяющихся импедансами внешней цепи,
Эти потенциалы нужно учесть в граничных условиях, и они дадут вклад в ток, который вычислялся в предыдущих разделах статьи. Так как мы решаем линейную задачу, то суммарный ток будет определяться суммой двух независимых вкладов, вклада от поля (с нулевыми потенциалами в граничных условиях (5) и вклада от напряжения на контактах (с нулем в правой части уравнения движения (3)).
Поскольку второй случай фактически сводится к результатам предыдущего раздела, ниже мы будем использовать граничные условия (5) с нулевой правой частью.
4.1 Короткодействующее взаимодействие между электронами
В этом разделе мы снова начнем с симметричного случая, когда квантовая проволока присоединена к одинаковым контактам. Мы снова решаем уравнение для термодинамически усредненной части фазы, но теперь с полем в правой части, и с нулевыми граничными условиями (7) и находим значения фаз вблизи контакта, а затем с помощью формулы (1) вычисляем ток вблизи контактов. Для отклика на частоте получим
где мы ввели обозначение. Cогласно (14) получается, что при достаточно больших частотах импеданс растет с увеличением длины проволоки и только в пределе малых частот, зависимость импеданса от длины исчезает
причем импеданс зависит от параметра межэлектронного взаимодействия даже в случае адиабатических контактов, когда фриделевские осцилляции не подавляют проводимость
Если контакт к квантовой проволоке при отсутствует и , для тока через контакт при мы получим
В пределе низких частот, как и следовало ожидать, .
4.2 Дальнодействующее взаимодействие между электронами
В случае дальнодействия мы снова рассматриваем случай, когда параметр не мал по сравнению с единицей, в результате чего кулоновское дальнодействие подавляет одномерные флуктуации.
В симметричном случае мы получаем для тока
где снова и при достаточно больших частотах импеданс растет с увеличением длины проволоки и только в пределе малых частот, , зависимость импеданса от длины исчезает
При повышении частоты импеданс осциллирует из-за отражений возбуждений от контактов и в пределе больших частот, , мы с логарифмической точностью получим
Когда контакт к квантовой проволоке при отсутствует и вычисляется ток при , мы получим
В пределе низких частот, как и в случае короткодействующего взаимодействия, получается . А при увеличении частоты импеданс, проходя через осцилляции, стремится при к
Заключение
Обсудим прежде всего, к каким изменениям приведет учет спиновых степеней свободы. В целом, частотные зависимости импедансов во всех рассмотренных случаях оказываются практически аналогичными. Основное отличие от бесспиновой системы состоит в том, что из-за наличия электронов с разными направлениями спина в формулах для импедансов квант проводимости нужно умножить на 2, а спиновые флуктуации уменьшат величину в результате чего в формуле (8) под надо понимать величину
.
Мы получили, что взаимодействие 1D электронов сильно влияет на линейный отклик квантовой проволоки на высокочастотное электрическое поле. Это влияние особенно велико в случае, если квантовая проволока присоединена к контактам, которые отличаются от идеальных адиабатических. Еще одной интересной особенностью рассматриваемой системы является то, что межэлектронное взаимодействие сильно влияет не только на отклик ситемы на разность потенциалов, приложенных к контактам, а также на отклик, возникающий при приложении к обоим контактам одинакового переменного напряжения, приводящего к инжекции зарядов в квантовую проволоку.
Частотная дисперсия импеданса определяется двумя характерными частотами. Первая, , определяется длиной проволоки и скоростью плазменных волн, которая в случае короткодействия равна и может в несколько раз превышать фермиевскую скорость и быть значительно больше в системе с дальнодействием, где Если воспользоваться данными из экспериментальной работы [5], где длина квантовой проволоки была 17 мкм, а скорость , мы получим оценку , а если взять длину проволоки из работы [15], то с той же величиной скорости получится . Таким образом эта частота может меняться в широких пределах. Вторая характерная частота определяется величиной фриделевской осцилляции у контакта и также может меняться в широких пределах, от нуля в идеальных адиабатических контактах до довольно большой величины, попадающей в терагерцовый диапазон частот, в зависимости от степени отклонения контакта от адиабатичности.
[1] O.M. Auslaender, H. Steinberg, A. Yacoby et al, Science 308, 88 (2005).
[2] H.W. Yeom, Y.K. Kim, E.Y. Lee, K. - D. Ryang, and P. G. Kang, Phys. Rev. Lett.95, 205504 (2005).
[3] H. Ishii, H. Kataura, H. Shiozawa et al., Nature 426, 540 (2003).
[4] T. Giamarchi, Quantum Physics in One Dimension, (Clarendon Press, Oxford, 2003).
[5] Y. Jompol, C.J. B. Ford, J.P. Griffiths, I. Farrer, G. A. C. Jones, D. Anderson, D.A. Ritchie, T. W. Silk, A. J. Schofield, Science 325, 597 (2009).
[6] C.L. Kane and M. P. A. Fisher, Phys. Rev. Lett.68, 1220 (1992).
[7] K.A. Matveev and L.I. Glazman, Phys. Rev. Lett.70, 990 (1993).
[8] A. Furusaki and N. Nagaosa, Phys. Rev. B 47, 4631 (1993).
[9] S.N. Artemenko, S. V. Remizov, D. S. Shapiro, Письма в ЖЭТФ 87, 792 (2009).
[10] С.Н. Артеменко, П.П. Асеев, Д.С. Шапиро, Письма в ЖЭТФ, 91, 659 (2010).
[11] V.V. Ponomarenko, Phys. Rev. B 54, 10328 (1996).
[12] В.А. Сабликов, Б.С. Щамхалова, Письма в ЖЭТФ, 66, 40 (1997).
[13] K.V. Pham, Eur. Phys. J.B, 36, 607 (2003).
[14] R. Egger, H. Grabert, Phys. Rev. Lett.80, 2255 (1998); Phys. Rev. B 58, 10761 (1998).
[15] Д.А. Козлов, З.Д. Квон, А.Е. Плотников, Д.В. Щеглов, А.В. Латышев Письма в ЖЭТФ, 86, 752 (2007).