Институт радиотехники и электроники им.В.А. Котельникова РАН
Московский физико-технический институт
Линейный отклик квантовой проволоки с объемными контактами
С.Н. Артеменко, В.Г. Корнич,
Д.С. Шапиро
Аннотации
Вычислена частотная зависимость импеданса квантовых проволок, подсоединенных к объемным контактам, близких к идеальным адиабатическим. Исследовано влияние межэлектронного взаимодействия на импеданс. Показано, что в случае неадиабатических контактов, низкочастотный линейный отклик сильно подавляется фриделевскими осцилляциями вблизи контактов.
Ключевые слова: квантовая проволока, импеданс, взаимодействие между электронами.
Frequency dependent impedance of quantum wires with bulk nearly ideal adiabatic contacts is calculated. Effect of inter-electric interaction on the impedance is studied.
Key words: quantum wire, impedance, electron-electron interaction.
1. Введение
Интерес к одномерным (1D) проводникам (мы их для простоты будем называть общим термином "квантовые проволоки") связан как с тенденцией миниатюризации электронных приборов, сопровождающейся переходом к нанометровым размерам элементов, так и с качественно новыми физическими характеристиками, возникающими из-за межэлектронного взаимодействия. Примерами 1D проводников являются полупроводниковые квантовые проволоки [1], одиночные проводящие цепочки атомов на поверхности полупроводников [2], углеродные нанотрубки [3], графеновые полоски нанометровой ширины и др. Межэлектронное взаимодействие в 2D и 3D материалах, как правило, описывается в рамках теории ферми-жидкости, в которой элементарными возбуждения являются ферми-частицы - электроны и дырки. А к 1D проводникам подходы, основанные на представлениях ферми-жидкости, неприменимы, поэтому их свойства часто описывают в приближении жидкости Латтинджера, которую можно представить себе как одномерный аналог вигнеровского кристалла (см. книгу [4]). Элементарными возбуждениями в жидкости Латтинджера являются не фермионы, а колебания зарядовой или спиновой плотности со статистикой Бозе. В результате оказывается, что процессы переноса тока и заряда в 1D системах обладают рядом особенностей, не встречающихся в объемных материалах. Экспериментальные подтверждения подобного поведения наблюдались во многих 1D системах, в частности, в полупроводниковых квантовых проводах [1, 5] и углеродных нанотрубках [3]. В 1D системах с межэлектронным отталкиванием проводимость сильно подавляется даже единственной примесью, что выражается в степенной зависимости проводимости от напряжения и/или температуры [6-8]. А в недавней теоретической работе [9] был предсказан динамический режим, при котором протекание постоянного тока сопровождается генерацией колебаний с частотой , где - постоянный ток. Сильное влияние примеси на проводимость связано с движением фриделевских осцилляций при протекании постоянного тока. Формирование фриделевских осцилляций происходит и на резких, не адиабатических, контактах 1D системы взаимодействующих электронов с 2D или 3D электродами. Задача о протекании тока через контакт 1D электронов в коррелированном состоянии, которое описывается как жидкость Латтинджера, и электродами более высокой размерности, в которых электроны образуют ферми-жидкость, изучалась в работе [10], где были выведены граничные условия для неадиабатических контактов и было показано, что в этом случае у контакта возникают фриделевские осцилляции, которые подавляют омическую проводимость, что как и в случае примеси [9], приводит к динамическому режиму проводимости, напоминающему эффект Джозефсона и кулоновскую блокаду.
Очевидно, что межэлектронное взаимодействие и наличие фриделевских осцилляций у контакта должно повлиять и на частотную зависимость импеданса квантовых проволок, не содержащих дефектов. Частотная зависимость импеданса чистых квантовых проволок с короткодействующим межэлектронным взаимодействием изучалась в работах [11-13], где было установлено, что, в отличие от проводимости на постоянном токе, импеданс зависит от параметров межэлектронного взаимодействия внутри квантовой проволоки и на его частотную зависимость влияют резонансы, связанные с отражением бозонных возбуждений от конца проволоки. Авторы цитированных работ считали, что ток в проволоке вызывается электрическим полем , распределенным по всей длине проволоки. Поэтому было получено, что импеданс увеличивался с увеличением длины квантовой проволоки, что сильно отличается от статического случая, когда проводимость оказывается равна кванту проводимости и не зависит от длины проволоки. Это связано с тем, что разность потенциалов, приложенная к электродам, подводящим ток, падает на сужении объемных электродов в месте присоединения квантовой проволоки, а ток внутри проволоки, не содержащей примесей, возникает в результате инжекции зарядов из контактов и, следовательно, должен описываться граничными условиями, как это было показано в работах Эггера и Граберта [14]. Такая постановка задачи становится очевидной при достаточно низких частотах, когда внешнее электрическое поле, если бы оно существовало внутри проволоки, вызывало бы ускорение электронов в идеальной проволоке без примесей и перераспределение зарядов до тех пор, пока не установится такое стационарное состояние, при котором падение напряжения происходит в области контактов, а не внутри проволоки. И такие рассуждения можно применить вплоть до частот порядка плазменной частоты или частоты диэлектрической релаксации (обратного максвелловского времени) в контактах. Но возможна и ситуация, когда ток в квантовой проволоке вызывается электрическим полем, распределенным по всей длине проволоки. Так будет, если квантовая проволока помещена, например, в резонатор, в область, где электрическое поле параллельно квантовой проволоке, или на проволоку падает электромагнитное излучение. При этом величина импеданса и его частотная зависимость будут зависеть от того, подсоединена ли проволока к контактам.
В этой работе мы рассчитываем частотную зависимость импеданса квантовой проволоки в случае, когда ток вызван переменными потенциалами , приложенными к объемным контактам, а также рассматриваем линейный отклик на внешнее электрическое поле , распределенное по всей длине квантовой проволоки. При этом мы рассмотрим как случай короткодействующего межэлектронного взаимодействия, которое возникает при наличии металлического затвора, расположенного вблизи проволоки и приводящего к экранированию кулоновского дальнодействия, так и случай дальнодействующего кулоновского взаимодействия. Основное отличие нашей работы от предыдущих исследований [11-13] состоит в том, что мы на границе проволоки используем граничные условия для контакта квантовой проволоки с массивными электродами, рассматриваем не только случай короткодействующего экранированного электрон-электронного взаимодействия, но и дальнодействующего, а также вычисляем отклик не только на разность потенциалов, но и на средний потенциал, возникающий при приложении к обоим контактам одинакового переменного напряжения, приводящего к инжекции зарядов в квантовую проволоку.
Ниже мы будем считать и равными единице, возвращаясь к размерным единицам, где это необходимо, в конечных формулах.
квантовая проволока импеданс адиабатический контакт
2. Основные уравнения
Мы рассматриваем систему, состоящую из одномерного проводника (квантового провода) длиной Межэлектронное взаимодействие описывается в рамках модели Томонаги-Латтинджера (ТЛ), в которой делается переход от фермионных полевых операторов к бозонному фазовому полю смещения и сопряженному оператору плотности импульса Возмущения плотности заряда и ток выражаются через с помощью соотношений
В случае кулоновского взаимодействия между электронами бозонизованный гамильтониан ТЛ имеет вид
Здесь
,
где второе слагаемое учитывает потенциал кулоновского взаимодействия электронов ( диэлектрическая проницаемость окружающей среды). Первая строка в гамильтониане относится к спиновому, а вторая - к зарядовому каналу. В случае короткодействующего взаимодействия, которое возникает вследствие экранирования кулоновского взаимодействия затвором, функцию надо заменить на в результате чего получится стандартный гамильтониан ТЛ. Мы будем рассматривать случай, когда электроны отталкиваются и сила взаимодействия не зависит от спина, в этом случае параметры взаимодействия а Мы будем для краткости, в основном, рассматривать близкодействие, приводя результаты для дальнодействия без вывода. Кроме того мы будем выводить результаты без учета спиновых степеней свободы, рассматривая бесспиновые (спин-поляризованные) электроны, а в конце отметим отличия, которые возникают с учетом спиновых степеней свободы. Если квантовая проволока находится во внешнем переменном поле, например, параллельном проволоке электрическом поле падающей волны, то к гамильтониану взаимодействующих электронов (2) надо добавить потенциальную энергию электронов во внешнем электрическом потенциале,
где в качестве плотности заряда стоит первый член в (1), описывающий плавную компоненту плотности.
Мы будем решать уравнения движения для гейзенберговских операторов которые имеют вид волнового уравнения
где - скорость плазменных волн, а - внешнее электрическое поле.
В качестве граничного условия на контактах мы воспользуемся операторными граничными условиями (ГУ), полученными в работе [10]
(4)
где последнее слагаемое в левой части описывает влияние фриделевской осцилляции, - численный коэффициент, величина которого если прозрачность барьера не близка к единице, и при причем мы будем рассматривать именно этот случай контактов, достаточно близких к идеальным. Таким образом, фриделевские осцилляции, как и должно быть, исчезают, если контакты адиабатические. В правой части стоят источники, пропорциональные операторам избыточной плотности заряда, в правом (R) и левом (L) электродах, соответственно. В случае дальнодействия фактор в знаменателе (4), учитывающий экранирующее действие затвора, надо заменить на единицу.
Электрический ток в квантовой проволоке выражается через термодинамическое среднее от поля смещения, , в то время как сам полевой оператор содержит еще и флуктуирующую часть, , а флуктуации, как известно, в 1D проводниках очень велики. Нам будет удобно выделить термодинамическое среднее в явном виде, представив полный оператор поля смещения в виде . Тогда, учтя, что среднее от источников определяется потенциалами электродов , соответственно, ГУ для средних приобретут вид
В случае идеальных адиабатических контактов эти условия сводятся к полученным Эггером и Грабертом [14].
Корреляционные функции для флуктуирующих частей коммутатора и антикоммутатора одинаковы для обоих электродов (корреляции между флуктуациями в левом и правом электроде отсутствуют) и в частотном представлении имеют вид
Так как мы решаем задачу о линейном отклике, мы должны линеаризовать граничные условия по величине термодинамического среднего фазы . При этом основные трудности возникают с нелинейным слагаемым с косинусом в граничных условиях, поскольку полевой оператор содержит как термодинамически среднюю часть, так и флуктуирующую, В результате линеаризации граничных условий (5) по и перехода к преобразованию Фурье по времени мы получаем граничные условия
(7)
При этом мы выбрали в качестве равновесных значений среднего фазового оператора на границе проволоки такие величины, которые соответствуют устойчивому состоянию системы, и отсчитываем возмущения от этих значений. Новая характерная энергия описывает перенормировку коэффициентов описывающих влияние одномерных флуктуаций на среднее значение амплитуды фриделевских осцилляций. Для вычисления флуктуаций надо решать уравнения движения для а для вычисления среднего квадрата флуктуаций мы воспользуемся гауссовой моделью, как это было показано в работе [10]. В общем случае несимметричных контактов вычисления оказываются довольно громоздкими, поэтому мы ограничимся случаем одинаковых контактов и случаем, когда один из контактов оборван.
3. Линейный отклик на напряжение, приложенное к контактам
В этом разделе мы считаем, что внешнее поле и правая часть уравнения движения (3) равна нулю.
3.1 Короткодействующее взаимодействие между электронами
Сначала рассмотрим случай одинаковых контактов . Тогда, согласно результатам работы [10] средний квадрат флуктуаций фазы на контактах различен в разных предельных случаях. При низких температурах и в случае, когда длина квантового провода достаточно велика, мы получим с логарифмической точностью
Из формулы (8) следует, что влияние фриделевских осцилляций сохраняется лишь при конечной величине межэлектронного взаимодействия, то есть при а при то есть в пренебрежении межэлектронным взаимодействием
В противоположном предельном случае, когда либо велика температура, либо мала длина проволоки, флуктуации оказываются очень велики и влиянием фриделевских осцилляций можно пренебречь, положив
Решая теперь уравнение для термодинамически усредненной части фазы с граничными условиями (7), мы найдем значения фаз вблизи контакта и с помощью формулы (1) вычислим ток вблизи контактов. Для отклика на частоте получим
(10)
где - квант проводимости.
Итак, мы получили, что на конечной частоте через противоположные контакты к проволоке может течь разный ток, а на нулевой частоте ток через оба контакта одинаков. Это связано с тем, что если к обоим контактам приложить одинаковый переменный потенциал , заряды будут попеременно втекать и вытекать из проволоки, иными словами, контакты будут действовать как затвор, создающий емкостной ток. А разность потенциалов дает вклад в ток, который, как и должно быть, оказывается одинаковым на обоих контактах. В случае неидеальных контактов импедансы обращаются в бесконечность при стремлении частоты к нулю, что связано с подавлением проводимости фриделевскими осцилляциями [10]. В случае идеальных адиабатических контактов, а также при высоких температурах, , и в коротких проволоках, величина характеризующая влияние фриделевских осцилляций, обращается в ноль. Поэтому в пределе низких частот импеданс определяется квантом проводимости, а
Осцилляции импедансов (10) связаны с многократными отражениями возбуждений в квантовой проволоке от контактов, причем отражения возникают даже в случае идеальных адиабатических контактов из-за того, что в нашей модели имеется резкая граница между областями взаимодействующих электронов в квантовой проволоке и невзаимодействующих электронов в объемных электродах. Отметим, что в реальной экспериментальной ситуации такая граница может быть размыта, что поведет к размыванию осцилляций.
Рассмотрим теперь другую схему присоединения контактов к квантовой проволоке, когда контакт к квантовой проволоке при отсутствует и вычислим ток при . Решение в этом случае аналогично предыдущему случаю, единственное различие состоит в том, что нужно использовать другое граничное условие для оборванного контакта. Для такого контакта в качестве граничного условия мы потребуем обращения тока на контакте в ноль, что на конечных частотах означает условие обращения в ноль и фазового оператора. В результате вычисления мы получим, что ток через контакт при будет равен