Многочлен n-й степени относительно А, определенный уравнением , называется характеристическим уравнением А.

Р(л) = лⁿ + a₁ л^n-1 + a₂ л^n-2 +…+ a_n-1 л + a_n = 0

Корни характеристического уравнения равны собственным или характеристическим значениям А.

5. Билинейная и квадратичная форма

Билинейной формой относительно переломных х_i, у_i, называется выражение вида:

В = a₁₁x₁y₁ + a₁₂x₁y₂ +…+ a_1nx₁y_n + a₂₁x₂y₁ + a₂₂x₂y₂ +…+a_2nx₂y_n+…

+ a_n1x_ny₁ +…+a_nnx_ny_n,

где все составляющие - действительные величины.

Комплексная форма: , или в матричной форме:

Матрица А - матрица коэффициентов формы, ранг А - ранг формы. Если х = у, то предыдущее уравнение превратится в: Q = x^TAx = <x, Ax>.

Q называется квадратичной формой x₁, x₂,…, x_n. Или: .

5.1 Преобразование переменных

Линейное преобразование х = Ву, где В - произвольная неособенная матрица (nЧn), преобразует Q в квадратичную форму относительно у₁, у₂,…, у_n: Q = y^TB^TABy или Q = у^тСу, где С = В^тАВ.

6. Матричные многочлены

6.1 Степени матрицы

A^kA^m = A^k+m

(A^k)^m = A^km

A⁰ = I_n

(A^-1)^m = A^-m

Если A^m = В, где А - квадратная матрица, то A - корень m-той степени В.

Матричные многочлены.

N(x) = P_nxⁿ + P_n-1x^n-1 +…+ P₁x + P₀ (х - скалярная переменная).

х заменяем квадратной матрицей А, то:

N(A) = P_nAⁿ + P_n-1A^n-1 +…+ P₁A + P₀I_n.

Бесконечные ряды матриц.

Запишем:

S(A) = a₀I_n + a₁A + a₂A² +…+ a_nAⁿ +…= a_kA^k,

тогда геометрический ряд:

G(A) = I + aA + a²A² +…= a_kA^k

Экспоненциальная функция:

e^A = expA = I +

Синусоидальная функция:

sinA = A -

Косинусоидальная функция:

cosA = I -

Гиперболический синус:

shA = A +

Гиперболический косинус:

chA = I +

6.2 Теорема Кэли-Гамеильтона

I₀ = - действительная матрица (2Ч2) (аналог j = ).

sin aI₀ = aI₀ + I₀ sha

Обобщим: А^р = МА^рМ^-1.

Если N(л) - многочлен от л вида:

N(л) = лⁿ + C₁ л^n-1 +…+ C_n-1 л + C_n, то

N(A) = Aⁿ + C₁A^n-1 +…+ C_n-1A + C_nI = MN(л)M^-1 =

= MM^-1,

где л₁, л₂,…, л_n - не нули N(л).

Если N(л) = Р(л₁), то N(л₁) = N(л₂) =…= N(л_n) = 0 Р(А) = [0], где

Р(л) = |лI -A| матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

6.3 Теорема Сельвестра

Если N(A) - матричный многочлен от А и если квадратная матрица А содержит n различных характеристических чисел, то многочлен от А можно записать в виде:

, где

Согласно теореме Кэли-Гамильтона:

N(A)=a₁A^n-1 + a₂A^n-2 +…+ a_n-1A + a_nI

(произвольный матричный многочлен N(A)) запишется многочленом А с наивысшей степенью n-1.

6.4 Теорема Сильвера

Вырожденная форма.

Если модифицировать уравнение:

N(A) =

(в том случае, когда А содержит кратные характеристические числа), тогда она (модификация) будет называться вырожденной формой теоремы Сильвера.

Если характеристический корень имеет порядок S, то можно показать, что N(A), обусловленная I корнем л_i, равно:

6.5 Метод Кэли-Гамильтона

Рассмотрим случай, когда степень матричного многочлена N(A) выше, чем порядок А.

Делим N(л) на характеристический многочлен А:

, R(л) - остаточный член. Затем умножаем Р(л):

N(л) = Р(л)Q(л) + R(л). Если Р(л) = 0, то N(л) = R(л). Т.к. P[A] = [0],

то матричная функция N(A) = R(A).

А если Q(л) - аналитическая функция в области, то F(л) = Q(л)Р(л) + R(л) (*), где Р(л) - характеристический многочлен А, а R(л) - многочлен вида:

Р(л) = а₀ + а₁л + а₂ л² +…+ а_n-1 л^n-1.

Т.к. Р(л_i)=0, то F(л₁) = R(л₁)

F(л₂) = R(л2)

…………….

F(л₂) = R(лn)

Покажем, что - аналитическая функция л. Нули знаменателя служат нулями и числителя, то Q(л) - аналитическая функция. Поэтому уравнение (*) справедливо для всех л. Вместо л можно подставить А: F(А) = Q(А)Р(А) + R(А). По теореме Кэли-Гамильтона: Р(А) = 0 F(А) = R(А).

7. Функциональное пространство

Здесь рассмотрим такую систему из n функций f₁(t),…, f_n(t), определенных на интервале (а, b), что ни одна функция f_i(t) не является линейной комбинацией любых других (n-1) функций из этого интервала.

Скалярное произведение.

Для комплексных функций действительного переменного t:

Норма функция.

Норма f = || f ||^1/2 = <f, f>^1/2 = []^1/2. Нормированной функцией называется функция, норма которой равна единице.

7.1 Ортогональные функции

Две функции f(t) и g(t), ортогональны на (а, b), если <f, g> = 0. Система нормированных функций ц₁(t), ц₂(t) называется ортонормированной, если < ц_i, ц_j> = д_ij.

7.2 Ортогональные функции как базис функционального пространства

Рассмотрим бесконечную ортогональную систему функций ц₁(t), ц₂(t),… в качестве координатных векторов, то по аналогии f(t) вектор этого пространства, а разложение: С_k = <f, ц_k>.

Если F(t) апроксимируется линейной комбинацией n нормированных функций

(a < t < b),

то получится аппроксимация: a_k = c_k.

Затем (*) - неравенство Бесселя.

Заданная ортонормированная система ц₁(t), ц₂(t),…, ц_n(t) называется полной, если производная кусочно-непрерывная f(t) может апроксимироваться в среднем этой системы со сколь угодно малой ошибкой при большом количестве ее членов, т.е.

или

7.3 Ортогональная система с «весом»

Вводим весовую функцию щ(t): . Эта функция выбирается для выделения области на (a, b). Говорят, что ц_k(t) ортонормированны относительно данной «весовой» функции. Коэффициенты Фурье f(t) определяются как:

8. Метрическое пространство

Пусть X - произвольное множество. Понятие расстояния между элементами из X получается путем обобщения фундаментальных свойств, которые можно интуитивно ожидать от понятия расстояния.

Свяжем с каждой парой элементов из X некоторое вещественное неотрицательное число . Это число называется расстоянием или метрикой в X, если для любых оно удовлетворяет следующим трем условиям:

1. d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у (аксиома идентичности);

2. d(x, y) = d(y, x) (аксиома симметрии);

3. для любой тройки имеет место d(x, у) ? d(x, z)+d(z, у) (аксиома треугольника).

Метрическим пространством называется пара (X, d), т. е. множество X с определенной на нем метрикой d. Элементы множества X называют точками метрического пространства (X, d).

Из данного определения следует, что множество X только тогда превращается в метрическое пространство, когда в него введена соответствующая метрика d(x, у). Если в одном и том же множестве X ввести различные метрики, то получатся и различные пространства.

Заключение

В данном реферате я рассмотрел основные понятия линейной алгебры и матричного множества, что необходимо для успешного освоения курса математических основ теории систем.

Используемая литература

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1975.

2. Чемоданов Б.К. «Математические основы теории автоматического регулирования», Москва 1977 г.

3. Коршунов Ю.М. «Математические основы кибернетики», Москва 1987 г.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1978, Т. 1, Т. 2.