4.1Д. Комплексная мощность и баланс мощностей в сложной цепи

Комплексной мощностью цепи на­зывают комплексное число S, мо­дуль которого равен полной мощности S = UI цепи, а аргумент  углу сдвига фаз  = _u  _i между током и напряжением на её входе, т.е.

S = Se ^j = UIe ^{j(u  i)} = Ue ^juIe^i = U ,

где – комплексно-сопряжённый ток.

Таким образом, комплексная мощность цепи равна произведению комплекса напряжения U на входной комплексно-сопряжённый ток .

Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической

S = Scos + jSsin,

устанавливаем, что действительная часть комплексной мощности равна ак­тив­ной мощ­ности цепи Р = Re[S] = Scos.

Мнимая часть комплексной мощности S представляет собой реак­тив­ную мощность цепи Q = Im[S] = Ssin .

С учётом изложенного выражение комплексной мощности можно записать следу­ющим образом:

S = P + jQ = .

Следовательно, комплексная мощность S пред­ставляет собой ком­плекс­ное число, действительная часть которо­го равна активной мощ­ности цепи P, а мнимая  реактивной Q, причём если перед сим­волом j стоит знак минус, то это реактивная ёмкостная мощность Q_С, а ес­ли знак плюс  реактивная индуктивная мощность +Q_L.

Рассчитаем полную, активную и реактивную мощности цепи, комплекс напряжения и комплекс тока на зажимах которой U = 10e^j30 B и I = 2e^j45A.

1. Комплексно-сопряжённый ток = 2e^j45A.

2. Комплексная мощность S = U = 10e^j302e^j45 = 20e^j75 ВА.

3. Активная мощность Р = Scos = 20cos75  5,2 Вт.

4. Реактивная мощность Q = Q_L = Ssin = 20sin75  19,3 вар.

Баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что сум­ма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками цепи, дол­­жна быть равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми при­ём­никами энергии:

= , ⃰⁾

где n и m  число источников и приёмников энергии в цепи.

Примечание. Заметим, что потребляется и отдаётся не мощность, а элек­три­че­ская энергия.

Уравнение ( ⃰⁾) называют уравнением (условием) баланса мощностей.

В цепях синусоидального тока рассматривают баланс комплексных, актив­ных и реактивных мощностей.

Условием баланса комплексных мощностей является соотношение

.

Для практических расчётов условие баланса комплексных мощностей це­пи представляют в следующем виде:

при этом слагаемые, стоящие в левой части уравнения), берут со знаком плюс, если сов­падают направления тока I_k и ЭДС Е_k источника напряжения, и не совпадает направление тока J_k с направлением нап­ряжения U_k на зажимах источника тока. В противном слу­чае эти слагаемые берут со знаком минус.

Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей:

 активная мощность, отдаваемая всеми источниками энергии, равна ак­тив­­ной мощности всех её потребителей (она полностью расходуется в резистив­ных элементах цепи):

 реактивная мощность всех источников равна реактивной мощ­ности всех потребителей (она циркулирует между источниками энергии и её пот­реби­телями):

где R_k и jХ_k = jХ_Lk  jХ_Сk  действительная и мнимая части комплексного сопротивления k-го пассивного элемента.

Разделы для самостоятельной проработки

1. Резонанс в электрических цепях [1, 187-194], [2, 203-216].

2. Основы теории четырехполюсников [1, 195-199], [2, 217-222].

Литература и информационные источники

1. Сайт ИНФРА-М: ЭБС URL:new.znanium.com/ Марченко А.Л., Опадчий Ю.Ф. Электротехника и электроника. Учебник. В 2-х т. Том 1. Электротехника. – М.: Инфра-М. 2015, 2020.  574 с. (Первый вход выполнить на территории МАИ. Получите в библиотеке Логин и Пароль).

2. Беневоленский С.Б., Марченко А.Л. Основы электротехники. Учебное пособие для втузов. – М.: Физматлит,2006, 2011. – 568 с. (Библиотека (282 экз.)).

3. Беневоленский С.Б., Марченко А.Л. Основы электротехники. Компакт-диск (600 МБ). ПУМК по электротехнике. – М.: Дискарт, 2006. (Получите CD в библиотеке по студенческому билету).