Материал: Лекция 4

Установочная лекция 4 (2 ч.) комплексный метод анализа электрических цепей

Дидактические единицы:

4.1. Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока.

4.2. Резонансные явления в цепях синусоидального тока.

4.3. Понятие «индуктивно связанные цепи».

4.4. Понятие «четырехполюсники».

4.1А. Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока

Ком­плексный (называемый также символический) метода расчёта, применяют обычно для расчёта сложных элек­­три­че­ских цепей синусоидального тока в установившихся режимах.

Порядок расчёта выходной синусоидальной функ­ции f₁(t) линейной элек­трической цепи с п ветвями комплексным методом пред­ставлен в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Широкое применение комплексного метода расчёта цепей синусо­и­даль­ного тока в установив­ших­ся режимах объясняется следующими сооб­раже­ниями:

 метод предельно формализован, что упрощает расчёт элек­три­че­ских цепей синусоидального тока сложной конфигурации;

 рассмотренные в лекции 2 методы расчёта цепей постоянного то­ка (ЗК, МУН, МКТ, МЭГ и др.) применимы к расчёту цепей синусоидального тока комплексным методом. По вне­ш­­ним признакам они очень схожи: сох­ра­няются все правила составления систем уравнений, однако при их записи посредством комплексных чисел используют комплексные соп­ротивления Z_k ветвей цепи (вместо сопротивлений R_k), а вместо синусоидальных электрических величин (ЭДС e, напряжения u, тока i)  их комплексы: E, U, I;

 посредством комплексного метода рассчитывают частотные зави­си­мости (ха­рак­теристики) электрических величин.

Пассивный элемент электрической цепи характеризуется своим ком­­плексным сопротивлением =  компле­к­сным числом, рав­ным отношению комплекса напряжения на зажимах данного элемента к комплексу тока этого элемента при t = 0, т.е.

.

Зная компонентные уравнения u_C = пассивных элемен­тов R, L и С элек­­три­че­ской цепи, и операции дифференцирования и интег­ри­рования комплек­с­ного тока I(j) = I путём несложных преобразований получают комплексы сопро­тивлений и компонентные уравнения пассивных элементов в комплексной форме (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Эле- мент	Комплексные ток и напряжение элемента	Комплексное сопротивление и компонентное уравнение элемента
R		ZR = UR = RIR
L		ZL = UL = jLIL = jXLIL
C	IС(j) = IС e , UС (j) =	ZС = UС =  jXСIС.

4.1Б. Комплексная схема замещения электрической цепи

Компонентные уравнения пассивных элементов в комплексной фор­ме дают возможность изобразить комплексную схему заме­ще­ния электри­ческой цепи, составить и решить алгебраические уравнения относитель­но комплексов электрических величин, затем осуществить обратный переход от ком­пле­­к­сов к синусоидальным функциям.

Найдём комплекс сопротивления и ток последовательной RLC-це­пи (рис. 4.1а), к зажимам которой приложено напряжение u = U_m sin(t + _u).

Воспользовавшись компонентными уравнениями элементов, вычертим комплексную схе­му замещения цепи (рис. 4.1б). За­пишем соответствия электрических величин для схем рис. 4.1а, б:

u(t) , где U = ,

u_R(t) , где I = ,

u_L(t) U_L(j) = jLI = jX_LI ,

u_С(t) U_С(j) =  j I = jX_СI ,

где jX_L и jX_С  комплексы индуктивного и ёмкостного сопротивлений.

Согласно вто­рому закону Кирхгофа для схемы рис. 4.1а имеем

u_R + u_L + u_C = Ri + L + = u = U_msin(t + _u).

Подставив в уравнение вместо напряжения u, тока i, его производной d[(t)]/dt и инте­грала соответствующие комплексные выражения, получим

RI(j) + jX_LI(j)  jX_CI(j) = U(j) ,

RI + jLI I = U .

Сократив левую и правую части на множитель и преобразовав, получим выражение тока в комплексной форме

,

в котором все ком­плексные величины (I, U и Z) не зависят от времени.

Итак, комплекс тока I последовательной RLC-цепи равен комплексу напря­жения U, делённому на комплексное число

Z = R + jX_L  jX_C = R + jX = Ze^j,

носящее название комплекс сопротивления последовательной RLC-цепи, где:

Z = и  = _u  _i = arctg

 модуль и аргумент комплекса сопротивления Z ; jX = jX_L  jX_C  комплекс реактивного сопротивления RLC-цепи.

Оригинал тока i(t) получим, осуществив обратный переход от комплекса то­ка I к его оригиналу, т.е.

I i(t) = sin(t + _i) = I_msin(t + _i).

Для наглядного отображения соотношений между электрическими величинами комплексной схемы заме­­щения (см. рис. 4.1б) построим диаграмму тока (при _i = 0) и напряжений це­пи в комплексной плоскости Re-Im (рис. 4.2а) в соответствии с уравнением

R Ie + jLIe

(без оператора , т.е. при t = 0), в кото­рой вектор напряжения U_R = RI сов­па­дает по фазе с век­тором тока I, вектор на­пря­жения U_L = jX_LI опе­ре­жа­ет его по фазе на угол /2, а вектор напряжения U_C =  jX_CI отстает по фазе от вектора тока I на угол /2. Вектор U_X = U_L  U_C.

Вектор напряжения U опережает вектор тока I по фазе на угол .

Поделив комплексы напряжений (см. рис. 4.2а) на комплекс тока I, по­лу­чим тре­угольник сопротивлений RLC-цепи (рис. 4.2б).

Величину, обратную ком­плекс­ному сопротивлению Z, называют комплексной проводимостью Y последовательной RLC-цепи, т.е.

где g = и = b_L  b_C  активная и реак­тив­­ная проводимости цепи; b_L = и b_C =  индуктивная и ёмкостная про­водимости RLC-цепи.