Материал: Лекция 14 физика

3.Частица в потенциальной «яме» («ящике») конечной глубины Uo.

Рис. 12.3.

в области 2 для 0   x  a). Уравнение Шредингера для этого случая запишется так:

(12.22)

На рис.12.4 представлены графики функции плотности вероятности нахождения частицы в потенциальном «ящике» конечной глубины для n = 1, 2, 3…. . В отличие от случая бесконечно глубокой ямы, функция |ψ|² не будет равна нулю в областях 1, 3 даже при малых энергиях частицы.

Рис. 12.4.

Это означает, что частица может выйти за пределы потенциальной «ямы» даже в случае, когда ее энергия меньше Uo , чего в классической механике происходить не может.

Подобное явление наблюдается и при рассмотрении поведения микрочастицы вблизи одномерного потенциального «барьера»: U = 0 в областях 1,3 для x < 0 и x > a; U = Uo в области 2 для 0   x   a. Частица с энергией меньшей Uo может проходить сквозь этот «барьер». Схема такого барьера представлена на рис. 12.5.

Рис. 12.5.

где U(х)  > Е, кинетическая энергия частицы , то есть отрицательна. С классической точки зрения эта область недоступна для частицы, так как бессмысленно говорить о мнимом импульсе р частицы. Такие явления прохождения сквозь потенциальные барьеры частиц с малой энергией являются чисто квантовыми и называются «туннельными эффектами».

Описывая такое явление в квантовой механике, мы встречаемся с трудностью, связанной с самой возможностью представления полной энергии, как суммы кинетической и потенциальной. Согласно соотношению неопределенности Гейзенберга, нельзя одновременно точно определить координату частицы и ее импульс. Если зафиксировать частицу в определенной области , измеряя ее координату, то есть зафиксировать с достаточной точностью ее потенциальную энергию U(х), то при этом будет внесена неопределенность в значении ее импульса . Таким образом, нельзя утверждать, что после того как зафиксировано положение частицы, ее полная энергия по прежнему равна Е. При этом можно показать, что изменение кинетической энергии частицы, вызванное измерением ее координаты, превышает разность между высотой барьера Uo и энергией частицы Е: Uo – Е. Другими словами, превышает ту энергию, которой недостает частице, находящейся внутри потенциальной «ямы», для того, чтобы она могла «классическим способом» пройти над барьером.

Экспериментально это подтверждает, например, явление холодной эмиссии электронов из металла, когда они вылетают из металла под действием приложенного электрического поля с напряженностью, значительно меньше той, чем , казазалось бы, необходима в рамках классической физики.

Электрическое поле вырывает электроны из отдельных атомов и молекул благодаря туннельному эффекту. Это явление автоионизации тавже происходит при меньших напряженностях поля, чем это следует из классической физики. Туннельный эффект играет основную роль в явлениях радиоактивного – распада.

4.Линейный гармонический осциллятор.

Линейным гармоническим осциллятором называется частица с массой m, которая движется вдоль некоторой оси под действием квазиупругой силы F, пропорциональной смещению х частицы от положения равновесия: F = кх. Здесь к – коэффициент упругости, при этом собственная частота колебаний частицы определяется по формуле: . Потенциальная энергия осциллятора имеет вид: U(x) = или U(x) = .

Модель гармонического осциллятора имеет большое значение в физике, это модель может применяться в тех случаях, когда амплитуда колебаний частицы невелика. Во всех реальных физических задачах с ростом амплитуды колебаний возникают отклонения от гармонических колебаний.

В классической механике гармонический осциллятор может иметь любую произвольную полную энергию Е, а его максимальное смещение от положения равновесия (амплитуда колебаний) x ограничено и связано с энергией соотношением:

U(x) = или U(x) =

В квантовой механике для анализа характеристик особенностей движения гармонического осциллятора необходимо решить уравнение Шредингера с данной потенциальной энергией:

(12.23)

Решение уравнения Шредингера позволяет получить разрешенные собственные значения энергии линейного гармонического осциллятора: . (12.24)

Видно, что энергия осциллятора Е_n квантована и может иметь лишь дискретные значения, определяемые квантовым числом n. При n 1, (когда ), энергетические уровни совпадают с теми величинами квантованной энергии осциллятора nh = , которые принимались Планком при создании теории теплового излучения. Существенные отличия результата (12.24) от выводов старой квантовой теории, а также классического рассмотрения, сказываются при рассмотрении вопроса о минимальной энергии, которую может иметь осциллятор. В рамках классической теории, (а также старой квантовой при n = 0) наименьшая энергия, коорую может иметь осциллятор, равна нулю. Современная квантовая механика показывает, что минимальная энергия отлична от нуля и равна: Е_мин = .

Эта энергия называется нулевой и не может быть отнята от осциллятора никаким охлаждением, даже до абсолютного нуля. Наличие нулевой энергии и соответствующих ей нулевых колебаний осциллятора подтверждается в явлении рассеяния света кристаллами при сверхнизких температурах. Эксперименты показали, что интенсивность рассеянного света стремится к некоторому значению, не зависящему от дальнейшего охлаждения.

На рис.12.6 представлены графики функции плотности вероятности |ψ|² нахождения частиц в данных областях значений х в состояниях с квантовыми числами n = 0, 1, 2 для линейного гармонического осциллятора, а также в виде прямых линий значения энергии для состояний с данными квантовыми числами. Пунктирной линией показана классическая зависимость энергии осциллятора от координаты х.

Рис. 12.6.

Наиболее существенным отличием выводов квантовой теории для гармонического осциллятора от классической является возможность обнаружить частицу за пределами классически дозволенной области.

Отметим также, что характерным признаком любой системы частиц, рассматриваемых в квантовой механике, является наличие нулевой энергии. При температурах, близких к абсолютному нулю, любое вещество находится в конденсированном состоянии и его атомы (молекулы, ионы) ведут себя, как некоторые колеблющиеся осцилляторы. Оказывается, что нулевая энергия есть минимальная энергия, которой должен обладать квантовый атомный осциллятор в наинизшем энергетическом состоянии, для того чтобы соблюдалось соотношение неопределенностей.