Материал: lect8_m2_vm1_vt_aig_230100.62_niy06

Свойства умножения матриц:

1. Умножение дистрибутивно:

, .

2. Умножение ассоциативно: .

Докажем свойство 1. Пусть , , , , , , , , .

Обозначим , , , , , , , .

Имеем

,

и, таким образом, в соответствии с определением 6 , или, возвращаясь к старым обозначениям, . Свойство 1 доказано.

Так как умножение матриц некоммутативно, следовало бы доказать и правую дистрибутивность: . Опустим доказательство, так как оно аналогично приведенному доказательству левой дистрибутивности.

Докажем свойство 2. Пусть , , , , , , , , .

Обозначим , , , , , , , , , , , .

Имеем

,

таким образом, .

Вернемся к старым обозначениям и получим: , т.е. свойство 2 доказано.

Для квадратных матриц справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.

Теорема 2. Для любых двух квадратных матриц и

.

Приведем пример, иллюстрирующий утверждение теоремы 2.

Пример 13. Даны матрицы

и .

Вычислить .

Воспользуемся теоремой 2: .

Найдем произведение непосредственно:

. Следовательно, результаты совпадают.

93