Оглавление
Введение
Глава 1. Классические парадоксы теории вероятностей
.1 Парадоксы, разрешение которых способствовало возникновению и развитию теории вероятностей и ее приложений
2. Классические парадоксы теории вероятностей
2.1 Парадокс игры в кости, «азартные игры», в мире физических лиц
.2 Парадокс де Мере
.3 Парадокс раздела ставки
.4 Парадокс закона больших чисел Бернулли
.5 Парадокс дня рождения
.6 Парадокс Бертрана
2.7 Парадокс раздачи подарков
Заключение
Библиографический список
Введение
Открытия Кантора, относящиеся примерно к 1873 г. и постепенно оформившиеся в самостоятельную ветвь математики, вначале натолкнулись на недоверие, и даже прямой антагонизм многих математиков и безразличие со стороны подавляющего большинства философов. Только в начале девяностых годов теория множеств вошла в моду и стала, сверх всяких ожиданий, широко применяться в анализе и геометрии. Но в тот самый момент, когда смелое видение Кантора, казалось, с триумфом достигло кульминации, когда его результаты приняли окончательный систематизированный вид, он столкнулся с первым парадоксом.
Поэтому история математики, естественно, полна интересных парадоксов, и некоторые и служили отправной точкой больших изменений. Особенно богата парадоксами математика случайного. По мнения Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела, в котором столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей.
Теория вероятностей - это раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении. Математическая дисциплина, которая изучает объективные закономерности массовых случайных событий, является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира.
Важно различать парадоксы и софизмы. На уровне интуиции понятие «парадокс» является общепринятым. В широком смысле парадокс - это истинное высказывание, утверждение или суждение, кажущимися неверными, характеризующимися неожиданностью, непривычностью, противоречивостью себе, исходным посылкам, общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по содержанию и (или) по форме.
Кроме парадоксов существуют не менее удивительные утверждения - софизмы, в доказательствах которых, в отличие от доказательства парадоксов, кроются незаметные, а иногда довольно тонкие ошибки. Так, «софизм» - это рассуждение, формально кажущееся совершенно безупречным, но содержащее на самом деле ошибку, в результате чего конечный вывод оказывается абсурдом.
Таким образом, первые это справедливые, хотя и неожиданные утверждения, в то время как вторые - ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, формально кажущихся правильными.
В данной работе мы рассмотрим классические парадоксы теории вероятностей.
Объект исследования - ознакомление с классическими парадоксами теории вероятностей.
Предмет исследования - парадоксы из книги Г. Секея (парадокс игры в кости парадокс де Мере, парадокс раздачи подарков, парадокс закона больших чисел Бернулли, парадокс Бертрана).
Цель исследования - разобрать историю возникновения и первых попыток разрешения парадоксов.
В соответствии с объектом, предметом и целью исследования были поставлены следующие задачи:
. Рассмотреть понятие парадокса.
. Изучить историю возникновения классических парадоксов.
. Изучить парадоксы из книги Г. Секея.
Структура курсовой работы. Работа состоит из введения, одной
главы, заключения, списка литературы.
Глава 1. Классические парадоксы теории вероятностей
.1 Парадоксы, разрешение которых способствовало возникновению и развитию теории вероятностей и ее приложений
вероятность парадокс бернулли бертран
Парадоксы, по определению, резко расходятся с общепринятым, традиционным мнением, но они всегда опираются на конкретную теорию и являются истинным.
Особой известностью пользуются парадоксы в логике. По сути, само определение парадокса позаимствовано из логики. Именно в ней и появились первые парадоксы. Рассмотрим некоторые из них.
Наиболее известным и, пожалуй, самым интересным из всех логических парадоксов является парадокс "Лжец", сформулированный греческим философом Эвбулидом из Милета в IV веке до н.э. (На самом деле этот парадокс еще древнее; он восходит к Эпимениду, жившему в VI веке до н.э. на острове Крит.)
Имеются различные варианты этого парадокса. В простейшем варианте "Лжеца" человек произносит всего одну фразу: "Я лгу", или говорит: "Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным". Традиционная лаконичная формулировка этого парадокса гласит: если лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду.
Данный парадокс можно переформулировать и так. Допустим, что на лицевой стороне карточки стоят слова: "На другой стороне этой карточки написано истинное высказывание" - и ничего более. Ясно, что эти слова представляют собой осмысленное утверждение. Перевернув карточку, мы находим на ее обороте слова: "На другой стороне этой карточки написано ложное высказывание" - и опять-таки ничего более. Предположим, что утверждение на лицевой стороне - истинно. Тогда утверждение на обороте должно быть истинным и, значит, утверждение на лицевой стороне должно быть ложным. Но если утверждение с лицевой стороны ложно, тогда утверждение на обороте также должно быть ложным и, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть истинным. Выходит, что данное утверждение не может быть ни истинным, ни ложным. Но это противоречит принципу исключенного третьего. Парадокс ошеломляющий. Он произвел громадное впечатление на греков. Ходит даже легенда, что он привел к самоубийству некоего Филита Косского. Этот парадокс разбил Аристотель и многие другие логики, жившие позднее. Некоторые философы считали, что поскольку рассматриваемое утверждение содержит ссылку на самое себя, то оно просто не имеет смысла, а бессмысленные высказывания должны быть исключены из языка.
Самым известным, из уже открытых в нашем веке парадоксов, является парадокс Рассела, который формулируется следующим образом: ПустьK-множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит лиKсамо себя в качестве элемента? Если предположить, что содержит, то мы получаем противоречие с "Не содержат себя в качестве своего элемента". Если предположить, что K не содержит себя как элемент, то вновь возникает противоречие, ведь K - множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, а значит должно содержать все возможные элементы, включая и себя.
Противоречие в парадоксе Рассела возникает из-за использования в рассуждении внутренне противоречивого понятия множества всех множеств и представления о возможности неограниченного применения законов классической логики при работе с множествами. Для преодоления этого парадокса было предложено несколько путей. Наиболее известный состоит в предъявлении для теории множеств непротиворечивой формализации М, по отношению к которой являлись бы допустимыми все «действительно нужные» (в некотором смысле) способы оперирования с множествами. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы не выводимым.
Действительно, допустим, что множествоUвсех множеств существует. Тогда, согласно аксиоме выделения, должно существовать и множествоK, элементами которого являются те и только те множества, которые не содержат себя в качестве элемента. Однако предположение о существовании множестваKприводит к парадоксу Рассела. Следовательно, ввиду непротиворечивости теорииM, утверждение о существовании множества U не выводимо в этой теории, что и требовалось доказать.
В ходе реализации описанной программы «спасения» теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций (теория Цермело - Френкеля, теория Неймана - Бернайса - Гёделя и т.д.), однако ни для одной из этих теорий до настоящего момента не найдено доказательства непротиворечивости. Более того, как показал Гёдель, разработав ряд теорем о неполноте, такого доказательства не может существовать (в некотором смысле).
Парадокс Рассела замечателен своей крайней общностью. Для его построения не нужны какие-либо сложные технические понятия, как в случае некоторых других парадоксов, достаточно понятия «множества» и «элемент множества». Но эта простота как раз и говорит о его фундаментальности: он затрагивает самые глубокие основания наших рассуждений о множествах, поскольку говорит не о каких-то специальных случаях, а о множествах вообще.
Рассел и Уайтхед разрешили данный парадокс
введя требование: «То, что содержит все элементы множества, не должно быть элементом
того же самого множества».
2. Классические парадоксы теории
вероятностей
.1 Парадокс игры в кости, «азартные игры»,
в мире физических лиц
Правильная игральная кость при бросании с
равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5 или 6. В случае
бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и
10 из чисел 1, 2,..., 6 можно получить двумя разными способами: 9 = 3 + 6 = 4 +
5 и 10 = 4 + 6 = 5 + 5. В задаче с тремя костями и 9, и 10 получаются шестью
способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда
бросают три?
.2 Парадокс де Мере
При четырех бросаниях одной игральной
кости вероятность того, что, по крайней мере, один раз выпадет 1, больше 1/2. В
то же время при 24 бросаниях двух костей вероятность выпадения двух 1
одновременно (по крайней мере однажды) меньше ½.
Это кажется
удивительным, так как шансы получить одну 1 в шесть раз больше, чем шансы
выпадения двух 1, а 24 как раз в 6 раз больше 4.
.3 Парадокс раздела ставки
Два игрока играют в безобидную игру (т. е.
у обоих шансы победить одинаковы), и они договорились, что тот, кто первым
выиграет 6 партий, получит весь приз. Предположим, что на самом деле игра
остановилась до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок
выиграл 5 партий, а второй - 3). Как справедливо следует разделить призу. Хотя
в действительности эта проблема не является парадоксом,
.4 Парадокс закона больших чисел Бернулли
Игроки часто уверены, что если правильная
монета много раз падает гербом, то, согласно закону больших чисел, вероятность
выпадения решки с необходимостью возрастает. В противном случае нарушалось бы
то, что при очень большом числе бросаний выпадения герба и решки происходят
приблизительно одинаково часто. С другой стороны, у монет, очевидно, нет
памяти, поэтому они не знают, сколько раз они уже выпадали гербом или решкой.
По этой причине шансы выпадения герба при каждом бросании равны 1/2, даже если
монета уже выпала гербом тысячу раз подряд. Не противоречит ли это закону Бернулли?
.5 Парадокс дня рождения
Если собираются вместе не более чем 365
человек, возможно, что все они имеют различные дни рождения. Однако среди 366
человек наверняка найдутся, по крайней мере, два таких, у которых дни рождения
приходятся на один и тот же день в году. (Предположим, что мы не рассматриваем
високосные года). Однако если мы зададимся целью найти, сколько людей должно
быть, чтобы с точностью до 99% два из них имели один и тот же день рождения, то
обнаружим, что достаточно 55 человек. В то же время среди 68 человек с
вероятностью 99,9%, по крайней мере, два имеют одинаковый день рождения.
.6 Парадокс Бертрана
Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность. Парадокс Бертрана Парадокс утверждает, что эта вероятность определяется неоднозначно, т. е. различные методы приводят к разным результатам.
Первый метод: Случайным образом (равномерно) в данном круге выбирается точка. Эта случайная точка определяет единственную хорду, серединой которой она является. Эта хорда длиннее стороны нашего правильного треугольника тогда и только тогда, когда ее середина лежит внутри круга, вписанного в треугольник. Радиус этого круга равен половине радиуса исходного круга, следовательно, площадь вписанного круга составляет 1/4 площади исходного. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка лежит внутри вписанного круга, равна 1/4. Так что этот метод дает ответ 1/4.
Второй метод: Исходя из соображений симметрии, можем считать, что одним концом хорды является произвольная фиксированная точка на окружности. Пусть этой точкой является вершина вписанного.
Три способа выбора случайной хорды треугольника. Выберем другой конец случайно с равномерным распределением. Вершины треугольника делят окружность на три равные дуги, и случайная хорда длиннее стороны правильного треугольника, если она пересекает этот треугольник. Так что искомая вероятность теперь равна 1/3.
Третий метод: Выберем точку случайным образом равномерно на
радиусе окружности и возьмем хорду, которая перпендикулярна этому радиусу и
проходит через выбранную точку. Тогда случайная хорда длиннее стороны
вписанного правильного треугольника, если случайная точка лежит на той половине
радиуса, которая ближе к центру. Исходя из соображений симметрии, неважно какой
радиус был выбран для построения, поэтому искомая вероятность равна 1/2.
.7 Парадокс раздачи подарков
Несколько человек решили сделать друг другу подарки следующим образом. Каждый приносит подарок. Подарки складываются вместе, перемешиваются и случайно распределяются среди участников. Этот справедливый способ раздачи подарков применяется часто, так как считают, что для больших групп людей вероятность совпадения, т. е. получения кем-то собственного подарка, очень мала. Парадоксально, но вероятность, по крайней мере, одного совпадения намного больше вероятности того, что совпадений нет (кроме случая, когда группа состоит из двух человек, тогда вероятность отсутствия совпадений равна 50%).
История возникновения и решение некоторых классических парадоксов
Парадокс игры в кости. «Азартные игры» в мире физических частиц
Игра в кости была самой популярной азартной игрой до конца средних веков. Само слово «азарт» также относится к игре в кости, так как оно происходит от арабского слова "азарт", переводимого как «игральная кость». Карточные игры стали популярны в Европе лишь в ХIV веке, в то время как игра в кости пользовалась успехом еще в Древнем Египте во времена 1-й династии и позднее в Греции, а также в Римской империи. (Согласно греческой легенде, игру в кости предложил Паламедей для развлечения греческих солдат, скучающих в ожидании битвы при Трое. Павсаний, писатель, живший во II веке, упоминает написанную в V веке до нашей эры картину Полигнота, на которой изображены Паламедей и Ферсит, играющие в кости.) Самой ранней книгой по теории вероятностей является «Книга об игре в кости» ("De Ludo Aleae") Джероламо Кардано (1501-1576 гг.), которая в основном посвящена игре в кости. Эта небольшая книжка была опубликована лишь в 1663 г., спустя почти 100 лет как была написана. Видимо, поэтому Галилей стал заниматься той же самой задачей о костях, хотя она была уже решена и работе Кардано. Галилей также написал трактат на эту тему где-то между 1613 и 1624 гг. Первоначально он назывался «Об открытиях, совершенных при игре в кости», но в собрании сочинений Галилея, изданном в 1718 г., название изменили на следующее: «О выходе очков при игре и кости».