Исследование поперечных колебаний однопролетного трубопровода с фланцевым соединением
А. А. Дыбрин
Рассмотрим динамическую модель для поперечных колебаний трубопровода с фланцевым соединением (рис. 1).
|
Рис. 1. Динамическая модель однопролетного трубопровода с фланцевым соединением при шарнирном закреплении трубопровода на опорах |
Уравнение свободных поперечных колебаний участков 1 и 2 трубопровода без учета поглощения энергии имеют вид [1]:
; ,(1)
где - модуль упругости материала -ого участка трубопровода; - момент инерции поперечного сечения -ого участка трубопровода; - плотность материала трубопровода; - площадь поперечного сечения.
Граничные условия на концах участков 1 и 2 трубопровода для шарнирного закрепления на опорах (рис. 1) имеют вид:
; ; (2)
; (3)
;
где , - поперечная и изгибная жесткость фланцевого соединения; - сосредоточенная масса фланцевого соединения, приведенная к -му участку трубопровода; .
При этом в двухзначных индексах (3) знак плюс берется при ; минус - при .
Решение уравнений (1) ищем в следующем виде:
; (4)
В подавляющем большинстве участки трубопровода 1 и 2, соединяемые при помощи фланцевого соединения, изготавливаются из одинакового сортамента трубы, т.е. ; ; ; ; .
В соответствии с выражениями (1) и (4) для данного случая уравнения движения трубопровода с фланцевым соединением можно представить в следующем виде:
;
; , (5)
где - частота собственных колебаний; - частотный параметр
. (6)
Решения уравнений четвертого порядка системы (5) определяющих формы колебаний соответственно первого и второго участков трубопровода при помощи функций А. Н. Крылова можно записать таким образом [2, 3]:
; , (7)
где - произвольные постоянные, ; - функции А.Н. Крылова [2].
Из четырех граничных условий (2) с учетом (7) следует, что ; .
Последние четыре граничных условия (3) с учетом (7), а также вытекающих из первых двух уравнений системы (5) соотношений
; , (8)
после несложных преобразований запишем в следующем виде:
(9)
Произвольные постоянные , , , системы однородных уравнений (9) имеют значения, отличные от нулевых, только в том случае, если удовлетворяется условие
(10)
где - определитель четвертого порядка
(11)
Условие (10) представляет собой частное уравнение относительно параметра для свободных поперечных колебаний трубопровода с фланцевым соединением при шарнирном закреплении на опорах.
Элементы являющиеся функциями частного параметра , вычисляются согласно выражениям (9) по формулам:
Определитель может быть представлен как произведение двух определителей
где - определитель четвертого порядка, а - диагональный определитель:
Так как определитель не может быть равен нулю в любой момент времени, частотное уравнение принимает вид
(12)
Таким образом, общее решение уравнений движения (1) можно представить как сумму частных решений, имеющих вид (4) и соответствующих бесконечной совокупности собственных частот , определенных в результате решения уравнения (12)
, (13)
где собственные формы колебаний согласно (7) описываются следующим образом:
, (14)
где , - производные постоянные -ой собственной формы.
Из системы однородных уравнений (9) можно получить следующие соотношения:
где обозначено:
Собственные формы колебаний (14) запишем в виде:
(15)
Где
При этом, не нарушая общности решения, произвольные постоянные в выражениях (15) можно принять равными единице.
Функции согласно первым двум уравнениям системы (5) подчиняются зависимостям
,
где , - произвольные постоянные -ой формы собственных колебаний, определяемые по начальным условиям.
Таким образом, общее решение (13) уравнений (1) можно представить так:
Аналогично случаю шарнирного закрепления трубопровода на опорах могут быть получены частотное уравнение и общее решение уравнений (1) в случае жесткого закрепления.
Ниже рассмотрим некоторые частные случаи динамической системы (рис. 1).
Сначала остановимся на случае, когда фланцевое соединение находится в середине пролета, т.е. . Тогда получаем частотное уравнение в виде следующих двух не зависимых трансцендентных уравнений:
(16)
(17)
в которых
; .
|
а |
б |
|
|
Рис. 2. Расчетная схема трубопровода с фланцевым соединением; шарнирно опертые концы трубопровода; а - для встречных колебаний; б - для совпадающих колебаний |
Уравнение (16) соответствует встречным (кососимметричным) колебаниям участков трубопровода и ему отвечает расчетная схема на (рис. 2, а). Уравнение (17) соответствует симметричным колебаниям участков трубопровода и ему отвечает расчетная схема (рис.2, б).
На рисунке показаны зависимости частоты основного тона поперечных колебаний трубопровода от месторасположения фланцевого соединения относительно опор при различных величинах поперечной (рис. 3, а, изгибная жесткость ) и изгибной (рис. 3, б, поперечная жесткость ) жесткости соединения с межопорным расстоянием и диаметром условного прохода Ду 32 мм. Цифрами обозначены графики при следующих значениях поперечной жесткости (рис. 3, а): 1 - ; 2 - ; 3 - ; 4 - ; 5 - , и изгибной жесткости (рис. 3, б): 1 - ; 2 - ; 3 - ; 4 - ; 5 - .
Для второго частного случая, когда фланцевое соединение находится у опоры, т.е. ; , частотное уравнение (12) приводится к виду .
поперечный колебание трубопровод фланцевый
|
а |
б |
|
|
Рис. 3. Частота основного тона колебаний трубопровода при различных величинах поперечной (а) и изгибной (б) жесткости соединения |
Аналогичным образом смогут быть получены частотные уравнения для других частных случаев и граничных условий.
|
Рис. 4. Зависимость частоты основного тона колебаний от длины пролета |
Числовые расчеты по выведенным формулам были проведены на компьютере для трубопроводов с рабочим давлением МПа, соединенных при помощи фланцевых соединений выполненных согласно стандартам, указанным в [4]. Расчеты выполнялись в широком диапазоне параметров исследуемой динамической системы (рис. 4). На рис. 4 фланцевое соединение в середине пролета, поперечная жесткость фланцевого соединения , изгибная жесткость
Проведенные исследования поперечных колебаний трубопровода с фланцевым соединением позволили определить резонансные зоны и их зависимость от основных конструктивно-технологических параметров. Полученные общие решения уравнений движения создали возможность определить динамическую нагруженность фланцевого соединения и, следовательно, решить вопросы оценки работоспособности соединений.
Литература
1. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. Т. 3. Под редакцией И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. - М.: Машиностроение, 1968.
2. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. - М.: Высшая школа, 1980. - 408 с.
3. Колебания машин, конструкций и их элементов. Справочник. Вибрации в технике. Т. 3. Под редакцией Ф.М. Диментберга и К.С. Колесникова. - М.: Машиностроение, 1980. - 545 с.
4. Биргер И. А., Иосилевич Г. Б. Резьбовые и фланцевые соединения. - М.: Машиностроение, 1990. - 368 с