Материал: Исследование динамики механической системы

Исследование динамики механической системы

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Амурский государственный университет (ФГБОУ ВПО "АмГУ")

Курсовая работа

Исследование динамики механической системы

Задание к курсовой работе

. Тема работы: Исследование динамики механической системы

. Срок сдачи студентом законченной работы: до 20.12.2012 г.

. Исходные данные к работе "Исследование динамики механической системы": Схема 2, номер условия 7.

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3 - 6, прикрепленных к этим нитям и невесомого блока. Система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Начальное положение системы показано на рисунке 1.=10, G2=20, G3=0, G4=40, G5=0, G6=30, M=0,6Hм. , , , , , , .

. Содержание работы (перечень подлежащих разработке вопросов): Необходимо определить законы, скорости, ускорения движения всех тел, силы натяжения в ветвях нити, силу трения, кинетическую энергию механической системы, работу сил при заданном перемещении, главный вектор сил инерции, скорость и ускорение центра масс системы, главный вектор внешних сил, действующих на систему, количества движения механической системы.

. Дата выдачи задания 25.09.2012 г.

Задание принял к исполнению 25.09.2012 г.

Реферат

Курсовая работа содержит 25 с., 5 рисунков, 17 таблиц, 5 источников.

Механическая система, дифференциальное, уравнение, сила инерции, кинетическая энергия, количество движения, возможное перемещение.

В работе представлено пять методов исследования движения механической системы:

) дифференциальные уравнения движения механической системы;

) теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме;

) общие уравнения динамики;

) уравнение Лагранжа II рода;

) теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения.

Целью курсовой работы является исследование динамики механической системы различными методами.

Содержание

Введение

1. Применение дифференциальных уравнений к исследованию движения механической системы

. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы

3. Применение принципа Лагранжа-Даламбера или общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы

4. Применение уравнения Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы

5. Применение теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы

Заключение

Библиографический список

Введение

Изучение теоретической механики как одной из фундаментальных физико-математических дисциплин играет важную роль в подготовке специалистов по механико-математическим и инженерным механическим направлениям. Оно позволяет будущим специалистам не только получить глубокие знания о природе, но и вырабатывает у них необходимые навыки для решения сложных научных и технических задач, для которых требуется построение математических моделей разнообразных механических систем, развивает способности к научным обобщениям и выводам. Для закрепления навыков самостоятельного решения задач механики, выполняется курсовая работа, в которой проводится комплексный анализ движения системы.

. Применение дифференциальных уравнений к исследованию движения механической системы

Применяя дифференциальные уравнения механической системы необходимо определить скорость, ускорение и закон движения каждого тела, входящего в систему.

Для определения ускорения груза и сил натяжения нити необходимо механическую систему условно разрезать по нитям и показать задаваемые силы: силы тяжести G1 - блока 1, G2 - блока 2,  - груза 4, G6- груза 6, а также Fтр4 - силу трения четвёртого груза. Укажем направление ускорений системы ẍ6- ускорение груза 6 и ẍ4- ускорение четвёртого груза. По нитям покажем силы натяжения нити T2-4, T6-1, T4-1 Схема данной механической системы изображена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Расчетная схема

Дано: G1=10 Н, G2=20 Н, G4=40 Н, G6=30 Н, M=0,6 H*м.

Запишем уравнения между кинетическими параметрами для данной системы и выразим всё через 4:

4=2* r2; (1)

1=4/R1 (2)

6= 1r1; (3)тр4=f∙N4=f G4cos30=0.1*40*0,866=3,464 H (4)

2=4/ r2=6,674; (5)

1=4/R1= 54; (6)

6= 1r1=54*0,1=0,54; (7)

I1=m1p=10/g*(0,1)2=0,1/g; (8)=m2p=20/g*(0,2)2=0,8/g; (9)

Записываем дифференциальное уравнение для блока 2:

; (10)

,8/g*6,67 ẍ4= -T2-4*0,15+0,6; (разделим обе части на 0,15) (11)

,5555ẍ4/g= -T2-4+4; (12)

Записываем дифференциальное уравнение для груза 4:

; (13)

; (14)

(40ẍ4)/g=40*0,5+T2-4-3,404-T4-1; (15)

(40ẍ4)/g=16,536+T2-4-T4-1;

Записываем дифференциальное уравнение для блока 1:

;

,1/g*5 ẍ4= T4-1*R1-T1-6 r1; (16)

,5/g* ẍ4= T4-1*0,2-T1-6 *0,1; (разделим обе части на 0,1) (17)

/g* ẍ4= T4-1*2-T1-6; (18)

Записываем дифференциальное уравнение для груза 6:

ẍ6= -G6+T6-1; (19)

(30*0,5/g)ẍ4=T6-1-30; (20)

(15/g)ẍ4=T6-1-30; (21)

Подставим уравнение (23) в уравнение (20) и получим

-1=15 ẍ4/g+30;  (22)

ẍ4/g =T4-1*2-15 ẍ4/g-30 ;  (23)

Получившееся уравнение подставляем в уравнение (17)

(40ẍ4)/g=16,536+T2-4-10 ẍ4/g-15;  (24)-4=(50ẍ4)/g-1,536 ;  (25)

Получившееся уравнение подставляем в уравнение (14)

35,555 ẍ4/g= -(50ẍ4)/g+1,536 +4; (26)

,555 ẍ4/g=5,536; (27)

ẍ4=5,536 g/85,555=5,536*9,81/85,555=0,635м/с2=a4; (28)

V4=0,635t(м/с); (29)=0,3175t2 (м); (30)

Из уравнений (28), (25) и (26) найдем натяжения всех нитей

-4=1,7 (H); (32)-1=30,97 (H); (33)-1=15,65 (H); (34)

дифференциальный уравнение движение механический

Найдём ускорение 6 груза:

=0,5a4=0,5*0,635=0,3175 (м/с²); (35)

Найдём скорость 6 груза;

=0,3175t (м/с); (36)

Найдём перемещение 6 груза:

=0,15875t2 (м); (37)

Найдем угловые ускорения блоков:

1=5ẍ4=3,175 (с-2); (38)

2=6,67ẍ4=4,235 (с-2);  (39)

Найдём угловые скорости блоков:

1= 3,175t (с-1); (40)

2=4,235t (с-1); (41)

Найдём углы поворота

φ1=1,5875t2 (c) (42)

φ2=2,1175t2 (c) (43)12

2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы

Рисунок 2 - Расчетная схема

Применяем теорему об изменении кинетической энергии в интегральном виде: "Изменение кинетической энергии при перемещении механической системы из одного положения в другое равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему на этом перемещении", т.е.:

 (44)

где - кинетическая энергия системы в момент времени после начала движения;

 - кинетическая энергия системы до начала движения;

 - сумма работ всех внешних сил, действующих на систему.

Так как кинетическая энергия системы до начала движения  равна нулю, то получаем:

 (45)

Найдём кинетическую энергию груза 4:

=(1/2)m4(V4)2=(1/2*40(V4)2)/g=20(V4)2/g; (47)

Найдём кинетическую энергию блока 2:

T2=(1/2)I2(ω2)2=1/2*0,8/g*(6,67V4)2=17,78/g*(V4)2; (48)

Найдём кинетическую энергию груза 6:

=(1/2)m6(V6)2=1/2*(30/g)*(0,5V4)2=3,75/g*(V4)2; (49)

Найдём кинетическую энергию блока 1:

T2=(1/2)I1(ω1)2=1/2*0,1/g*(5V4)2=1,25/g*(V4)2; (50)

Найдём полную кинетическую энергию:

=((17,78+20+1,25+3,75) (V4)2)/g=42,78(V4)2/g; (51)

Сумма работ всех внешних сил, действующих на систему равна:

(52)

Работы отдельных тел механической системы находим по формулам

A(G2)=0; (53)

A(N4)=0; (54)(G1)=0; (55)(M)=Mφ2=M*6,67S4=0,6*6,67S4=4,002 S4; (56)

A(G4)=G4sin30*S4=40*0,5S4=20 S4; (57)

A(Fтр4)=-Fтр4S4= -3,464 S4; (58)

A(G6)=-G6S6=-G6*0,5S4=-30*0,5S4= -15 S4; (59)

; (60)

; (61)

(42,78)/g=5,538S4; (62)

V4= (63)

Следуя из того, что начальная скорость равна нулю, получаем формулу для вычисления перемещения шестого груза:

=( ẍ5t2)/2; (64)=0,3175t2 (м); (65)

Решая уравнение (73) и (75) совместно, получим значение скорости:

=0,635t (м/с); (66)

Дифференцируя уравнение (76) находим ускорение 4 груза:

=0,635 (м/с²); (67)

Найдём скорость 6 груза;

=0,3175t (м/с); (68)

Найдём перемещение 6 груза:

=0,15875t2 (м); (69)

Найдем угловые ускорения блоков:

1=5ẍ4=3,175 (с-2); (70)

2=6,67ẍ4=4,235 (с-2); (71)

1= 3,175t (с-1); (72)

2=4,235t (с-1); (73)

Найдём углы поворота

φ1=1,5875t2 (c) (74)

φ2=2,1175t2 (c) (75)

Для наглядности целесообразно результаты представить в виде таблиц:

Таблица 5 - Результаты расчёта для блока 1

Таблица 6 - Результаты расчёта для груза 6

Таблица 7 - Результаты расчёта для блока 2

Таблица 8 - Результаты расчёта для груза 4

3. Применение принципа Лагранжа-Даламбера или общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы

Рисунок 3 - Расчетная схема

Используем общее уравнение динамики в следующей формулировке:

"Если механическая система, на которую наложены голономные стационарные идеальные связи, движется с ускорением, то добавляем к действующей на неё активным силам и моментам этих сил фиктивные силы инерции и моменты сил инерции, получим формально-уравновешенную систему сил, к которой можно применить принцип возможных перемещений".

Рассматривая движение, показываем на схеме (Рисунок 3) инерциальную нагрузку. Запишем общее уравнение динамики:

; (76)

Запишем общее уравнение динамики для данной системы:

; (77)

Mδ2- Mин2δ2- Mин1δ1+G4sin30δS4-Fин4δS4- Fтр4δS4- G6δS6-Fин6δS6=0; (78)

Найдём элементарные работы отдельных тел механической системы и выразим всё через δS4:

δ1=5δS4; (79)

δ 2=6,67δS4; (80)

δS6=0,5δS4; (81)

Уравнение примет вид:

M*6,67δS4-Mин2*6,67δS4+G4sin30δS4-Fин4δS4- Fтр4δS4- G60,5δS4- Mин1*5δS4-Fин6*0,5δS4=0; (82)

Разделим полученный многочлен на δS4:

M*6,67-Mин2*6,67+G4sin30-Fин4- Fтр4- G60,5- Mин1*5-Fин6*0,5=0; (83)

Найдём силы инерции:

Fин4=m4a4; (84)

Fин6=m6a6; (85)

Выразим все скорости через а5 в соответствии со скоростями:

ε1=5a4; (86)=0,55a4; (87)

Учтем, что G1=10 H, G2=20 H, G4=40 H, G6=30 H, Fтр4=3,464, I2=0,8/g, M=0,6 H*м

Общее уравнение примет вид:

,6*6,67-5,333a4/g*6,67+40*0,5-3,464-40/g*a4-05*5*a4/g-30*0,5-15*0,5a4/g=0; (88)

Умножим обе части на g и сгруппируем:

g(0,6*6,67+20-3,464-15)= a4(5,33*6,67+40+2,5+7,5); (89)*5,536=a4*85,535; (90)=g*5,536/85,555=9,81*5,536/85,555=0,635(м/с2); (91)=0,635(м/с2); (92)

v4=0,635(м/с); (93)=0,3175t2(м); (94)

Найдём скорость 6 груза;

=0,3175t (м/с); (95)

Найдём перемещение 6 груза:

=0,15875t2 (м); (96)

Найдем угловые ускорения блоков: