Этот цикл также порождает каскад бифуркаций удвоения периода. При значении c2 = 7,87 имеет место цикл периода 2, при c2 = 7,865 - цикл учетверенного периода, при c2 = 7,8615 - цикл периода 8 и т.д. вплоть до образования хаотического аттрактора Фейгенбаума при значении c2 7,86. Наличие устойчивого цикла периода 3 при значении параметра c2 = 7,849 (рис. 5, в) указывает на то, что хаотический аттрактор, расположенный выше этого значения, порожден полным субгармоническим каскадом бифуркаций.
Рис. 6. Проекции на плоскость (0, 1) пространства коэффициентов Фурье решений задачи (5) при значении с1 = 2,5: а) предельный цикл при c2 = 5,2; б) цикл периода 2 при c2 = 5,1; в) хаотический аттрактор Фейгенбаума при c2 = 5,0625.
В области значений параметра c2 [5,251; 5,147] обнаружен еще один устойчивый цикл (рис. 6а), который также участвует в формировании хаотических аттракторов. С ростом значений параметра c2 этот цикл сначала порождает каскад бифуркаций Фейгенбаума: при c2 [5,146; 5,087] имеет место цикл удвоенного периода, при c2 [5,087; 5,070] -цикл периода 4, при c2 [ 5,069; 5,067] - цикл периода 8, при значениях параметра c2 [ 5,066; 5,065] - цикл периода 16 и т.д. вплоть до образования аттрактора Фейгенбаума при значении c2 5,0625.
Затем с ростом значений параметра c2 наблюдаются циклы субгармонического каскада бифуркаций. При значениях c2 [5,066; 5,065] находится цикл периода 5 (рис. 7, а), при c2 = 4,4753 цикл периода 10 = 52, при c2 [4,259; 4,127] цикл периода 3 (рис. 7, б), в области значений c2 [4,126; 4,114] цикл периода 6 = 32, при c2 [4,113; 4,109] цикл периода 12 = 322, при c2 [4,108; 4,106] цикл периода 24 = 323. Очевидно, что хаотическое поведение решения задачи (5) при значении параметра c2 = 4,105 (рис. 7, в) появляется в результате завершения субгармонического каскада бифуркаций, порожденных циклом, устойчивым в области значений параметра c2 [5,251; 5,147].
Рис. 7. Проекции на плоскость (0, 1) пространства коэффициентов Фурье решений задачи (5) при значении с1 = 2,5: а) цикл периода 5 при c2 = 5,0655; б) цикл периода 3 при c2 = 4,2; в) хаотический аттрактор при c2 = 4,105.
Приведенные результаты свидетельствуют о следующем. Во-первых, механизмы перехода к хаосу при решении задачи (5) в пространстве коэффициентов Фурье те же, что и в нелинейных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Переход к хаосу осуществляется через каскады бифуркаций удвоения периода циклов и далее через субгармонические каскады бифуркаций рождения циклов согласно порядку Шарковского. Во-вторых, использование маломодового приближения для исследования природы диффузионного хаоса в системах дифференциальных уравнений с частными производными является неправомерным, т.к. бифуркационные диаграммы решений упрощенной системы (4) и задачи (5), исследованные при одинаковых значениях параметров, существенно отличаются. Тем не менее, решение задачи (5) в бесконечномерном пространстве коэффициентов Фурье не позволяет сделать однозначные выводы о природе диффузионного хаоса. С целью дальнейшего изучения этого вопроса проанализируем решения задачи (5) в фазовом пространстве.
Переход к хаосу в фазовом пространстве для уравнения Курамото-Цузуки. Рассмотрим сценарий образования хаотических режимов второй краевой задачи для уравнения Курамото-Цузуки в фазовом пространстве переменных (u, v). Для этого используем сечение данного пространства гиперплоскостью u(l/2) = 0 и рассмотрим отображение Пуанкаре в проекции координат (u(0), v(l/2)). В качестве фиксированной переменной в пространстве параметров снова выбираем c1 = 2,5 и варьируем переменную c2 в той же области, которая описана в предыдущем разделе. Начальные условия для решения второй краевой задачи (5) принимаем однородными.
В диапазоне значений параметра c2 [1,85; 0], где задача (5) имеет пространственно однородное периодическое решение с одинаковой амплитудой колебаний переменных u(x,t) и v(x,t), и при c2 [-2,802;1,851], где устойчивым является другое периодическое, но пространственно неоднородное решение с одинаковой амплитудой колебаний переменных u(x0, t) и v(x0, t) для любой точке x0 [0, l], траектории в фазовом пространстве представлены окружностями. При c2 2,803 периодическое пространственно неоднородное решение теряет устойчивость, и в фазовом пространстве задачи (5) появляется устойчивый двумерный инвариантный тор, что подтверждается отображением Пуанкаре. Вид этого тора в сечении u(l/2) = 0 при значениях параметра c2 = 3 и c2 = 3,133 показан соответственно на рис. 8а и рис. 8б. При значении параметра c2 3,134 происходит бифуркация удвоения периода двумерного тора по основной (внутренней) частоте (рис. 8в), а при значении c2 = 3,25 двумерный тор в отображении Пуанкаре принимает вид, показанный на рисунке 8г.
Рис. 8. Отображения Пуанкаре в сечении u(l/2) на координатную плоскость (u(0),v(l/2)) при значении с1 = 2,5: а) двумерного тора при c2 = 3; б) двумерного тора при c2 = 3,133; в) двумерного тора периода 2 по внутренней частоте при c2 = 3,134; г) двумерного тора периода 2 по внутренней частоте при c2 = 3,25.
Данная бифуркация дает начало каскаду бифуркаций удвоения периода двумерных инвариантных торов по внутренней частоте. Так при значениях c2 [ 3,6186; 3,537] решением задачи (5) является двумерный инвариантный тор периода 4 по внутренней частоте (рисунок 9а), в области значений c2 [ 3,6409; 3,6187] тор периода 8 по внутренней частоте (рисунок 9б), в области c2 [ 3,64623; 3,6410] тор периода 16 по внутренней частоте и т.д. Каскад бифуркаций удвоения периода двумерных торов по внутренней частоте завершается образованием аттрактора Фейгенбаума при значении параметра c2 3,655 (риунок. 9в).
Рис. 9. Отображения Пуанкаре в сечении u(l/2) на координатную плоскость (u(0),v(l/2)) при значении параметра с1 = 2,5: а) двумерного тора периода 4 по внутренней частоте при c2 = 3,6; б) двумерного тора периода 8 по внутренней частоте при значении c2 = 3,635; в) аттрактора Фейгенбаума при c2 = 3,655.
Отметим, что значения параметра c2, соответствующие бифуркациям удвоения периода торов по внутренней частоте, отличны от тех значений, при которых происходят бифуркации удвоения периода предельных циклов, наблюдаемых в пространстве коэффициентов Фурье. Тем не менее, хаотические аттракторы и в пространстве коэффициентов Фурье и в фазовом пространстве рождаются, по всей видимости, при одинаковых значениях параметров системы. Забегая вперед, отметим, что результаты численных вычислений показали совпадение в пространстве параметров границ, отделяющих хаотические области от устойчивых решений, в фазовом пространстве с теми же границами в пространстве коэффициентов Фурье. Поэтому, анализируя решения задачи (5) в фазовом пространстве, будем рассматривать только те области в пространстве параметров, для которых установлены устойчивые решения в пространстве коэффициентов Фурье.
Как отмечено выше, при значении c2 < 14,92 в пространстве коэффициентов Фурье аттрактором является цикл. В фазовом пространстве задачи (5) устойчивым аттрактором в этой области значений параметра c2 является двумерный инвариантный тор (рис. 10, а). При значении параметра c2 14,91 происходит бифуркация удвоения периода этого тора по внешней частоте (рис. 10, б), и начинается каскад бифуркаций Фейгенбаума по внешней частоте. При значении c2 = 11,2 двумерный тор имеет период 4 по внешней частоте, при c2 = 11,15 период 8 по внешней частоте, при c2 = 11,143 период 16 по внешней частоте и т.д. вплоть до образования хаотического аттрактора Фейгенбаума при значении c2 11,13 (рис. 10, в). При значениях параметра c2 = 10,5 и c2 = 10,15 наблюдаются устойчивые двумерные торы, имеющие соответственно периоды 3 и 5 по внешней частоте. Это свидетельствует о том, что за каскадом бифуркаций Фейгенбаума двумерного тора по внешней частоте следует субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов.
Рис. 10. Отображения Пуанкаре в сечении u(l/2) на координатную плоскость (u(0),v(l/2)) при значении параметра с1 = 2,5: а) двумерного тора при c2 = 20; б) двумерного тора удвоенного по внешней частоте при c2 = 12; в) аттрактора Фейгенбаума при c2 = 11,13.
В области значений c2 [7,916; 7,884] существует двумерный тор более сложного вида (рис. 11, а). Не останавливаясь на природе этого решения, снова отметим существование каскада бифуркаций удвоения периода тора по внешней частоте. При значении c2 = 7,87 этот тор имеет удвоенный по внешней частоте период, при c2 = 7,865 период 4 по внешней частоте, при c2 = 7,861 период 8 по внешней частоте. Завершается каскад бифуркаций удвоения периода данного тора по внешней частоте образованием при значении c2 7,859 хаотического аттрактора Фейгенбаума.
Аналогичный каскад бифуркаций удвоения периода по внешней частоте порождает двумерный тор, устойчивый в области значениях параметра c2 [5,21; 5,09] (рис. 11, б). При значении c2 = 5,075 этот тор имеет период 2 по внешней частоте, при c2 = 5,068 период 4 по внешней частоте, а при c2 5,0625 рождается хаотический аттрактор Фейгенбаума.
Рис. 11. Отображения Пуанкаре в сечении u(l/2) на координатную плоскость (u(0),v(l/2)) при значении параметра с1 = 2,5: а) двумерного тора при значении c2 = 7,9; б) двумерного тора при значении c2 = 5,2; в) двумерного тора при c2 = 4,2.
В заключении обратим внимание на двумерный тор, устойчивый в области c2 [4,259; 4,115] (рис. 11, в). С ростом значений параметра c2 этот тор порождает каскад бифуркаций удвоения периода, но по внутренней частоте. Первая бифуркация удвоения периода данного тора происходит при значении c2 4,1586 (рис.12, а), вторая при c2 4,1158 (рис. 12, б), при c2 7,110911 рождается двумерный тор периода 8 по внутренней частоте, при c2 4,110856 тор периода 16 по внутренней частоте и т.д. Каскад бифуркаций удвоения периода этого тора по внутренней частоте завершается аттрактором Фейгенбаума при значении c2 4,11.
Рис. 12. Отображения Пуанкаре в сечении u(l/2) на координатную плоскость (u(0),v(l/2)) при значении параметра с1 = 2,5: а) двумерного тора периода 2 по внутренней частоте при значении c2 = 4,146; б) двумерного тора периода 4 по внутренней частоте при c2 = 4,11095; в) аттрактора Фейгенбаума при c2 = 4,107.
Рис. 13. Отображения Пуанкаре в сечении u(l/2) на координатную плоскость (u(0),v(l/2)) при значении параметра с1 = 2,5: а) хаотического аттрактора при c2 = 3,75; б) хаотического аттрактора при c2 = 3,875; в) хаотического аттрактора при c2 = 4,070.
Таким образом, хаотическое поведение системы в области значений c2 [ 4,11; 3,65] обусловлено, по-видимому, слиянием аттракторов, порожденных бифуркациями двумерного тора, изображенного на рисунке 11в, и двумерного тора, образовавшегося после потери устойчивости периодического пространственно неоднородного решения при c2 2,803 (рис. 8). На рис. 13 показаны хаотические аттракторы при значениях c2 [4,1; 3,7].
Заключение
Результаты численных исследований уравнения Курамото-Цузуки в фазовом пространстве и в пространстве коэффициентов Фурье как для маломодового приближения, так и для неупрощённой системы показали:
1. Переход к хаотическим режимам в уравнении Курамото-Цузуки основан на тех же механизмах, которые выявлены нами в нелинейных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений , а именно, для решений в пространстве коэффициентов Фурье независимо от того, является ли система упрощенной или нет это каскады бифуркаций удвоения периода циклов (каскады Фейгенбаума) и субгармонические каскады бифуркаций циклов согласно порядку Шарковского, а для решения в фазовом бесконечномерном пространстве это каскады бифуркаций Фейгенбаума и субгармонические каскады бифуркаций инвариантных торов, как по внутренней, так и по внешней частоте.
2. Неправомерным является использование трехмерных приближений для описания диффузионного хаоса в уравнениях диффузионного типа. В трехмерных маломодовых системах сингулярные аттракторы порождаются исключительно бифуркациями предельных циклов, а в соответствующих им диффузионных уравнениях образование сингулярных аттракторов обусловлено каскадами бифуркаций, по меньшей мере, двумерных (других пока не обнаружено) инвариантных торов. Возможно, что тороидальные сингулярные аттракторы, т.е. аттракторы, порожденные каскадами бифуркаций инвариантных торов, могут существовать в системах, полученных в маломодовом приближении и имеющих размерность более трех, однако этот вопрос требует дополнительного изучения.
3. Несмотря на частичное совпадение бифуркационных диаграмм решений уравнения Курамото-Цузуки в фазовом пространстве и в пространстве коэффициентов Фурье, использовать пространство Фурье для описания диффузионного хаоса неправомерно, так как хаотические аттракторы в нем порождаются каскадами бифуркаций исключительно предельных циклов, а не двумерных инвариантных торов. По-видимому, диффузионный хаос в распределенных системах дифференциальных уравнений диффузионного типа порождается субгармоническими (в смысле порядка Шарковского) каскадами бифуркаций двумерных инвариантных торов, как по внешней, так и по внутренней частоте
Библиографический список
1 Turing .A. On the chemical basis of morphogenesis // Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1952, Ser. A, 237.
2 Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.
3 Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985.
4 Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems // Progr. Theor. Phys., 1975, v. 54, N 3.
5 Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.
6 Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Самарский А. А. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации. // Современные проблемы математики: Итоги науки и техники. Т. 28. М.: ВИНИТИ, 1986.
7 Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Самарский А. А. Двухкомпонентные динамические системы в окрестности точки бифуркации.// Математическое моделирование. М.: Наука, 1986.
8 Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Переход к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций // Нелинейная динамика и управление. Вып. 2. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
9 Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О сценариях перехода к хаосу в нелинейных динамических системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями // Нелинейная динамика и управление. Вып. 3. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.