(14)
Для модели (9) система будет содержать три уравнения. Решая ее, получим следующий алгоритм оценивания параметров б и в:
(15)
Для модели (10) алгоритмы вычисления оценок параметров б и в будут иметь следующий вид:
(16)
Наконец, для модели (11) получим систему:
(17)
Поскольку оценка параметра в не может быть получена в явном виде и должна принимать только целочисленные значения, для решения первого уравнения в системе (17) может быть предложена следующая процедура. Функции ш(в*) могут быть вычислены рекуррентно:
.(18)
Зависимость дисперсии от уровня шума
Исследование представленных алгоритмов проводилось путем имитационного моделирования. Для каждой модели была получена «точная» правая часть. Затем с помощью генератора случайных чисел к значениям правой части добавлялся шум, имеющий нормальный закон распределения и нулевое математическое ожидание. Значение шума выбиралось таким образом, чтобы значение математического ожидания его амплитуды составляло 1-15% значения математического ожидания правой части уравнения.
В результате эксперимента по алгоритмам (14)-(18) были получены значения параметров моделей. По полученным параметрам строилась модель решения и вычислялась дисперсия.
Для каждой модели с каждым уровнем шума проводилось по 500 экспериментов. Таким образом, были получены данные ансамбля из 500 реализаций по каждому эксперименту. Для анализа результатов было проведено усреднение по ансамблю реализаций. Полученные зависимости дисперсии от амплитуды шума представлены на рисунке. Лучшие результаты получились при использовании модели (8); дисперсия полученных результатов также самая низкая из всех моделей. Вычисления с моделью (9) показали, что определение параметров модели сильнее зависит от уровня помех. Разброс значений полученных данных превышает аналогичный показатель у моделей (8) и (10) (см. рисунок), что говорит о большей неустойчивости решения.
Модель (8) является частным случаем (10) при в=1. Наличие дополнительного параметра в модели (10) ухудшает качество решения: относительная погрешность результата находится в районе 15-16%, однако при увеличении уровня помех значительно не возрастает. Дисперсия полученных результатов также достаточно низкая.
Модель (11) в ходе экспериментов показала наихудший результат, что объясняется сложностью самой модели. Однако при уровне помех до 5% погрешность результатов меньше, чем у модели (10). Вычисления с моделью (11) имеют самую большую дисперсию, существенно превышающую дисперсию результатов с использованием моделей (8) и (9).
Библиографический список
1. Батищев В.И., Мелентьев В.С. Аппроксимационные методы и системы промышленных измерений, контроля, испытаний, диагностики. - М.: Машиностроение, 2007. - 393 с.
2. Батищев В.И., Волков И.И., Золин А.Г. Построение и оптимизация ортогональных базисных систем для аппроксимации спектрально-корреляционного анализа и идентификации линейных динамических объектов // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. - Сер. Технические науки. - 2007. - №40. - С.47-52.
3. Батищев В.И., Волков И.И., Панфилов Г.А. Аппроксимативный метод экспериментальной оценки характеристик распределения размеров капель в газожидкостных потоках / Куйбышев. политехн. ин-т, Куйбышев, 1981. - 4 с. - Деп. в ВИНИТИ. 09.11.81, №1700-В81.
4. Батищев В.И., Волков И.И., Панфилов Г.А. Оценка параметров модели плотности распределения частиц по размерам на основе критерия моментов / Куйбышев. политехн. ин-т, Куйбышев, 1981. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ. 09.11.81, №1702-В81.