Статья: Исследование аппроксимационных алгоритмов решения обратных задач технической диагностики

Самарский государственный технический университет

Исследование аппроксимационных алгоритмов решения обратных задач технической диагностики

Виталий Иванович Батищев - д.т.н., профессор

Игорь Иванович Волков - к.т.н., доцент

Алексей Георгиевич Золин - к.т.н., доцент

E-mail: zolin.a.g@gmail.com

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Аннотация

Рассматриваются алгоритмы решения обратных задач технической диагностики, полученные с применением аппроксимационного подхода. Исследуются аппроксимационные свойства ортогонального базиса на основе дробно-рациональных функций. Приведены результаты исследования численных реализаций алгоритмов оценки распределения размеров частиц в двухфазных дисперсных потоках с использованием критерия моментов.

Ключевые слова: аппроксимация, ортогональные полиномы, автокорреляционная функция, обратные некорректно поставленные задачи.

Получение информации в рабочих режимах функционирования оборудования для оперативного технического контроля и промышленной диагностики порождает проблемы, обусловленные случайным характером диагностируемых процессов, некорректностью задач нахождения неизвестных характеристик по косвенным измерениям и необходимостью получения результатов обработки данных в минимальные сроки. Повышение быстродействия за счет увеличения производительности вычислительных средств ведет к прогрессирующему удорожанию средств диагностики.

Решению таких проблем способствует применение аппроксимационного подхода, позволяющего использовать априорную информацию в форме аналитических моделей исследуемых зависимостей. В случае, когда аналитическая форма искомого решения известна или решение с высокой степенью достоверности может быть аппроксимировано моделью, построенной либо на основе априорных сведений, либо путём обобщения результатов измерений числовых и функциональных характеристик объекта диагностирования и протекающих в нём процессов, размерность задачи может быть существенно уменьшена. Как правило, соответствующая система уравнений для нахождения небольшого числа неизвестных параметров оказывается хорошо обусловленной. Важным преимуществом этого подхода является то, что практически никогда нельзя получить абсурдное решение, если аналитическая модель выбрана в соответствии с исследуемым процессом.

В зависимости от типа диагностируемых объектов, характера протекающих в них процессов и способа организации диагностических процедур известны два вида математической постановки задачи диагностики [1].

Первая характерна для задач тестовой диагностики, когда на объект подается специально сформированное воздействие, а отклики объекта в заданных контрольных точках позволяют делать заключение о его техническом состоянии. Такая зависимость описывается интегральным уравнением Фредгольма I рода, решение которого представляет собой некорректно поставленную обратную задачу. В случае, когда есть основания для априорного выбора аналитической модели искомой функциональной характеристики, можно применить аппроксимационный метод, используя модели заданного вида либо ортогональные функции или полиномы.

В случае диагностики оборудования в режимах его нормального функционирования исследуемые сигналы, как правило, имеют случайный характер. В этом случае используют уравнение Винера - Хопфа, общее решение которого аппроксимационным методом с использованием критерия среднеквадратического приближения описано в [1]. Импульсная переходная функция (ИПФ) и взаимная корреляционная функция (ВКФ) представляются моделями, построенными на основе ортогональных функций и полиномов. Получившуюся систему линейных уравнений решают относительно коэффициентов ИПФ. При таком подходе важную роль играет выбор ортогонального базиса, на основе которого строятся модели.

Из теории известно, что спектральная плотность физически осуществимых процессов представляет собой дробно-рациональную функцию. В работе [2] предложен метод формирования ортогональных базисных систем для создания аппроксимационных моделей, спектральная плотность которых будет соответствовать спектральной плотности физически осуществимых процессов на основе семейства дробно-рациональных функций (1).

Путем фиксации параметров N, А и л можно получить ортогональные полиномы во временной области, Фурье-преобразования которых будут также дробно-рациональными функциями:

. (1)

В случае соотношение (1) принимает вид:

.(2)

Данный класс дробно-рациональных соотношений порождает большое множество базисных систем , получаемое соответствующим выбором параметров При получаются ортогонализированные экспоненциальные функции, соответствующие обобщенному виду АКФ реально осуществимых процессов. аппроксимационный ортогональный дисперсный

.(3)

Для соответствующих им во временной области функций можно записать рекуррентные соотношения

(4)

Где

Алгоритмы параметрической оптимизации данного базиса приведены в [2].

Для исследования аппроксимационных свойств было проведено построение моделей АКФ и ИПФ с использованием ортогональных функций Лагерра и полиномов (4). Порядок модели увеличивался до тех пор, пока относительная среднеквадратическая погрешность (ОСП) аппроксимации не становилась меньше 5%. ОСП рассчитывалась по формуле

,(5)

где f - значение аппроксимируемой функции, f_M - значение модели.

Порядок моделей и ОСП наиболее часто встречающихся на практике АКФ, полученных с использованием полиномов Лагерра (L_k ) и полиномов (4)(), представлены в табл. 1.

Таблица 1 Аппроксимация АКФ

Ввиду того, что полиномы нулевого порядка, построенные на основе базиса (4) при соответствующих коэффициентах А₀, А₁, б₁, б₂, б₃, совпадают по виду с большинством рассмотренных здесь АКФ, погрешность аппроксимации равна нулю при нулевом порядке модели, общая погрешность оценивания АКФ будет определяться только статистической погрешностью оценок параметров.

Порядок моделей и ОСП наиболее часто встречающихся на практике ИПФ, полученных с использованием полиномов Лагерра (L_k ) и полиномов (4)(), представлены в табл. 2.

Таблица 2 Аппроксимация ИПФ

Из полученных результатов видно, что при аппроксимации АКФ и ИПФ использование данного базиса имеет явное преимущество по сравнению с ортогональными функциями Лагерра.

Таким образом, использование базиса (4) при решении обратных задач промышленной диагностики в стохастической постановке позволяет существенно снизить размерность системы уравнений, что приводит к получению простых в реализации и устойчивых результатов.

В постановке задачи диагностики в случае детерминированных процессов возможен аппроксимационный метод решения с использованием параметрических моделей заданного вида.

В настоящее время в различных областях, таких как аналитическая химия, рентгеновская дифрактометрия, г-спектроскопия, ультразвуковая дефектоскопия и других, известно большое количество работ, посвященных обоснованию аналитических математических моделей, свойственных и адекватных различным объектам, процессам и ситуациям.

Использование этих методов в производстве, т.е. в условиях устоявшихся технологических процессов, в рамках узкоспециализированных задач, с ограниченным диапазоном вариации параметров, позволяет накапливать экспериментальную информацию об исследуемых процессах и явлениях. Данная информация может быть использована как априорная при решении обратных задач диагностики.

Практическая реализация метода решения обратных задач технической диагностики, основанного на среднеквадратической аппроксимации экспериментальных зависимостей и искомых решений, может оказаться чрезвычайно затруднительной при использовании моделей с нелинейно входящими в них параметрами. В случае использования параметрических моделей заданного вида целесообразно разрабатывать и применять подходы, позволяющие получать простые и статистически устойчивые решения.

Такие решения могут быть получены при использовании обобщенного критерия моментов. Рассмотрим задачу оценки распределения диаметров частиц в двухфазном дисперсном потоке [3, 4].

Непосредственно измерению подлежат значения функции скорости счета f(s), связанной с искомой плотностью распределения u(и) диаметров и капель интегральным уравнением Фредгольма I рода:

(6)

Ядро уравнения K(s, и) в случае анализа распределения размеров капель электропроводящей жидкости в газожидкостном потоке, основанном на подсчете количества капель с диаметром, большим определенного числа, в некоторой области потока за единицу времени, вычисляется по формуле:

, (7)

где Fc - площадь сечения сопла в месте измерения, P - общее число капель, проходящих в единицу времени в сечении Fc , s - параметр измерительного преобразователя, обеспечивающий формирование импульса при и? s.

Для данной задачи известны четыре модели распределения диаметров частиц в двухфазных дисперсных потоках:

; (8)

; (9)

; (10)

.(11)

После составления уравнения моментов получим систему из (m+1) уравнений:

, (12)

Где

- начальный момент порядка (q+3) случайной величины и с распределением u_M(и ,б),

. (13)

Система должна быть решена относительно б₁,…, б_m и p.

Тогда при использовании модели (8) система будет содержать два уравнения для моментов порядка 0 и 1. Учитывая дискретный характер функций скорости счета f(s) и ограниченный диапазон изменения размеров частиц иmin ?и? иmax, получим алгоритм оценки значения параметра б.