Эдип знал, что по возвращению от Оракула он убил невооруженного царя Фив, но пока прорицатель Тиресий не открыл ему крайне важное тождество лиц, не знал он, что подтвердил предсказание Оракула об убийстве собственного отца [10. Р. 111].
Тождество подобного рода усматривается в том, что определение непротиворечивости должно быть более полным, так чтобы выражать понятие. В этом случае мы имеем дело с интенсиональной стороной арифметизации, в то время как экстенсиональная сторона ограничивается лишь правильными нумерическими соотношениями (правильным соотношением геделевых чисел доказательства и доказуемого утверждения). Вторая теорема Геделя говорит о недоказуемой формуле, которая имеет намеренное метаматематическое содержание (утверждение о непротиворечивости), и тогда выражение формулой непротиворечивости теории Ф должно быть точным в том отношении, что Ф распознает его в качестве такого утверждения.
Важной стороной интенсиональности является то, что возможные варианты выражения понятия непротиворечивости теории Ф могут оказаться в Ф неэквивалентными. С интенсиональной точки зрения никакая формула не может считаться выражением непротиворечивости Ф без того, чтобы Ф не знала об этом. Но тогда странно было бы, что теория Ф может видеть свою непротиворечивость, выраженную формулами, эквивалентность которых не может быть доказана [10. P. 111]. Таким образом, вторая теорема Геделя справедлива только в том случае, если арифметизация интенсионально корректна. Этот вывод завершает третью стадию возникновения интенсиональности.
Возникает вопрос, что такое интенсиональная корректность арифметизации. Для экстенсиональной корректности утверждения А такое объяснение упростим, а именно: а есть экстенсиональная арифметизация А, если и только если, а есть представление А.
Как поясняет Нибергалл, аналогичная характеристика интенсиональной арифметизации зависит от конкретного характера А. Так, выражение, являющееся корректной интенсиональной арифметизацией непротиворечивости, скажем, Арифметики Пеано, не будет таковой для непротиворечивости аксиоматики Цермело-Френкеля [1. P. 140]. И все же требуется какой-то положительный критерий того, что является корректной интенсиональной арифметизацией понятий. Такой критерий, по Нибергаллу, имеет две части: во-первых, это уже упомянутое требование, чтобы по сравнению с экстенсиональной арифметизацией было более полное выражение соответствующего понятия. Здесь «выражение» имеет метаматематический смысл. Во-вторых, различные общие свойства таких понятий должны быть формально выводимы [1. P. 140].
Упомянутые выше критерии корректности интенсиональной арифметизации определяют довольно четко очерченный круг математического дискурса [11]. Поскольку большая часть этого дискурса связана с теорией доказательства, очевидно, что возникновение интенсиональных контекстов обязано здесь метаматематическим соображениям. Если термины «интенсиональный» в философии, логике и математике вообще имеют между собой нечто общее, должны быть такие темы, которые выводят за пределы собственно метаматематики. Нибергалл говорит о такой интенсиональности, как о «серьезной» [1. P. 150], противопоставляя ее «тривиальной» интенсиональности, которая является артефактом доказательства второй теоремы Геделя. Следуя этой терминологии, серьезная интенсиональность появляется в ряде контекстов, среди которых значительный интерес вызывают два случая: один из них связан с соотношением математического результата и его формулировке на обыденный язык, а другой - с философской концепций неопределенности перевода.
Как видно, оба случая имеют дело с переводом, потому что интенсиональная арифметизация, по Нибергаллу, подобна интерпретации [1. Р. 156]. Здесь под интерпретацией имеется в виду отображение теории 8 в теорию Т, каждая из которых представлена в некотором объект-языке. Для случая метаматематической операции арифметизации, если А является интенсионально корректной арифметизацией В, тогда В отображается в арифметизацию А. Для более общего случая 8 заменяется множеством неформальных формулировок в Т. С математической точки зрения такое отображение корректно, если объект-язык входит в метаязык. В более свободном понимании перевода формальная теория переводится на обыденный язык. Именно такой перевод приводит к интенсиональности, как утверждает Ауэрбах [7].
Он обращает внимание на значительное различие между содержанием собственно математического результата обоих теорем Геделя о неполноте и содержанием их в переводе на обыденный язык. Различие зиждется в своеобразии соответствующих концептуальных каркасов, в каждом из которых понимание релятивизовано к языковым структурам - формальному и обыденному. Действительно, простое сопоставление двух формулировок первой теоремы Геделя говорит о существенных различиях с точки зрения их понимания. Есть математический результат относительно исчисления Робинсона (О):
Не существует непротиворечивой полной аксиоматизации расширения, и есть его «перевод» на обыденный язык, из которого извлекается собственно значимость результата за пределами узкого каркаса математического дискурса.
Любая достаточно сильная формальная система арифметики неполна.
Такого рода перевод является верным, включая саму схему перевода, хотя в этом случае точное математическое утверждение переходит в предложение, где точность и определенность математического контекста отсутствуют. Таким образом, две формулировки явно не являются синонимичными в широком смысле этого слова, или, другими словами, они явно различаются по смыслу, который можно понять только в рамках концептуального каркаса. Именно это обстоятельство является причиной возникновения интенсиональности, понимаемой в более широком смысле, нежели интенсионально корректная арифметизация.
Феномен интенсиональности проявляется в известном тезисе У. Куайна о неопределенности радикального перевода [12]. Некоторое выражение А переводится двумя разными, равноправными или равно приемлемыми способами в А' и А'', но при этом А' и А'' не являются синонимичными. Дальнейшая разработка неопределенности перевода ведет к так называемой онтологической относительности, где языковые проблемы переходят А' и А'' в более широкую плоскость эпистемологии. Отсюда усматривается непосредственная связь интенсиональности второй теоремы Геделя и эпистемологических проблем: арифметизация синтаксиса приводит к разным «переводам» понятия непротиворечивости, видимое равноправие которых ставит под сомнение универсальность математически установленного результата.
Заключение
Таким образом, довольно расплывчатое понятие интенсиональности получает различные экспликации в различных контекстах, будь то философская логика или метаматематика. В любом случае, обнаружение интенсиональности контекста всегда связано с явным сужением области исследования. Именно это происходило в области философской логики, где интенсиональность хорошо обжилась в косвенных контекстах, пропозициональных установках и модальностях, которые не претендуют на центральность в дискурсе, как это имеет место в случае логики первого порядка. То же самое происходит и в математике, где интенсиональность проявляет себя в ее узкой части, а именно в метаматематике. Очевидно, что создание более общей теории интенсиональности возможно в рамках более общего каркаса, внутри которого должны быть объединены логика и математика. В этом отношении можно надеяться на возобновление логицистского проекта, который бы чисто логические рассмотрения сделал естественными и для математики.
Литература
1. Niebergall K.-G. Intensionality in Philosophy and Metamathematics // Intensionality: Lecture Notes in Logic. 2005. Vol. 22. P. 123-159.
2. Куайн У. Референция и модальность // Куайн У. С точки зрения логики / пер. В. А. Суровцева. М. : Канон+, 2010. С. 200-228.
3. Целищев В.В. Понятие объекта в модальной логике. 2-е изд. М. : Канон+, 2010. 174 с.
4. Рассел Б. Об обозначении // Рассел Б. Избранные труды / пер. В. А. Суровцева. Новосибирск : Сибирское университетское изд-во, 2007. С. 17-32.
5. Ryle G. Intentionality and the Nature of Thinking // Revue Internationale de Philosophie. 1973. Vol. 27. P. 251-262.
6. Jacquette D. Alexius Meinong, the Shepherd of Non-Being. New York : Springer, 2015. 434 p.
7. Auerbach D. Intensionality and the Godel's Theorems // Philosophical Studies. 1985. Vol. 48. P. 337-351.
8. Feferman S. Arithmetization of Metamathematics in a General Setting // Fundamenta Mathematicae. 1960. Vol. XLIX. P. 35-92.
9. Feferman S. Autonomous Transfinite Progressions and the Extent of Predicative Mathematics // Logic, Methodology and Philosophy of Science
III / eds. van Rootselaar B., Staal J. Amsterdam : North-Holland, 1968. P. 121-135.
10. Franks C. The Autonomy of Mathematical Knowledge: Hilbert's Program Revisited. Cambridge : Cambridge University Press, 2009. 228 p.
11. Niebergall K.G. Zur Metamathematik nichtaxiomatisierbarer Theorien. CIS, Mьnchen, 1996. 186 p.
12. Куайн У. О причинах неопределенности перевода // Логика, онтология и язык. Томск : Изд-во Том. ун-та, 2006. С. 80-92.
REFERENCES
1. Niebergall, K.-G. (2005) Intensionality in Philosophy and Metamathematics. Intensionality: Lecture Notes in Logic. 22. pp. 123-159.
2. Quine, W.V.O. (2010) S tochki zreniya logiki [From a Logical Point of View]. Translated from English by V.A. Surovtsev. Moscow: Kanon+.
pp. 200-228.
3. Tselishchev, V.V. (2010) Ponyatie ob"ekta v modal'noy logike [The Concept of an Object in Modal Logic]. 2nd ed. Moscow: Kanon+.
4. Russell, B. (2007) Izbrannye trudy [Selected Works]. Translated from English by V.A. Surovtsev. Novosibirsk: Sibirskoe universitetskoe izd-vo.
pp. 17-32.
5. Ryle, G. (1973) Intentionality and the Nature of Thinking. Revue Internationale de Philosophie. 27. pp. 251-262.
6. Jacquette, D. (2015) Alexius Meinong, the Shepherd of Non-Being. New York: Springer.
7. Auerbach, D. (1985) Intensionality and the Godel's Theorems. Philosophical Studies. 48. pp. 337-351.
8. Feferman, S. (1960) Arithmetization of Metamathematics in a General Setting. FundamentaMathematicae. XLIX. pp. 35-92.
9. Feferman, S. (1968) Autonomous Transfinite Progressions and the Extent of Predicative Mathematics. In: van Rootselaar, B. & Staal, J. (eds) Log
ic, Methodology and Philosophy of Science III. Amsterdam: North-Holland. pp. 121-135.
10. Franks, C. (2009) The Autonomy of Mathematical Knowledge: Hilbert's Program Revisited. Cambridge: Cambridge University Press, 228 p.
11. Niebergall, K.G. (1996) Zur Metamathematik nichtaxiomatisierbarer Theorien. Mьnchen: CIS.
12. Quine, W.V.O. (2006) O prichinakh neopredelennosti perevoda [Indeterminacy of translation]. Translated from English. In: Surovtsev, V.A. (ed.) Logika, ontologiya i yazyk [Logic, Ontology and Language]. Tomsk: Tomsk State University. pp. 80-92.