Материал: Графы рынков

Графы рынков

Введение

граф сетевой фондовый рынок

Актуальность исследования

Современные фондовые рынки генерируют огромные массивы данных. Традиционно эти данные представляются в виде графиков, каждый из которых отражает динамику соответствующей ценной бумаги. Такой способ представления данных является ненаглядным, он не позволяет получить целостное представление о происходящих на рынке процессах. С увеличением числа акций процедура проведения анализа становится все более сложной.

Развитие информационных технологий способствовало тому, что инвесторы сегодня имеют возможность совершать сделки на рынках разных стран. При этом, несмотря на доступность услуг различного рода финансовых консультантах, решение об инвестировании зачастую принимается человеком самостоятельно. В этих условиях инвестору крайне необходимы модели, позволяющие представлять информацию с рынка в удобном для анализа виде и быстро извлекать полезную информацию.

Большое внимание в современной экономике уделяется анализу фондовых рынков, выявлению на них закономерностей в периоды роста и кризиса. Для этой цели также нужны модели, позволяющие компактно описать протекающие на рынке процессы и быстро и извлечь информацию о существующих на них зависимостях.

Помочь в решении этих проблем могут математические методы. Сравнительно новым, но активно развивающимся направлением в математическом моделировании является сетевой подход, основанный на представлении изучаемой системы в виде графа. Существует ряд сетевых моделей фондового рынка, наиболее распространенной из которых является так называемый рыночный граф (market graph), предложенный Богинским, Бутенко и Пардалосом. В таком графе каждой вершине соответствует ценная бумага, а ребро проводится тогда, когда корреляции между доходностями соответствующих акций превышают некоторое пороговое значение. Совокупность характеристик рыночного графа, может помочь инвестору оценить состояние рынка и принять решение об изменении состава портфеля акций. Изучение этих характеристик способствует более глубокому пониманию взаимосвязей между доходностями ценных бумаг.

В то же время, использование корреляций Пирсона в качестве меры близости при построении рыночного графа имеет целый ряд недостатков. Главный из них заключается в том, что такая модель позволяет оценить лишь степень согласованности в движении акций, что важно при управлении рисками и формировании диверсифицированного портфеля, но не дает представления о реальной доходности ценных бумаг. Таким образом, проблема поиска моделей для удобного представления данных фондового рынка по сей день остается актуальной.

По нашему мнению, можно преодолеть недостатки модели рыночного графа, используя альтернативную меру близости между акциями. Новая мера рассчитывается как количество периодов (например, недель), когда две акции одновременно были доходными с учетом инфляции. Модифицированная таким образом модель рынка называется графов доходностей.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования в данной работе являются фондовые рынки (на примере рынков стран БРИК). Предметом исследования является динамика структурных характеристик рассматриваемых рынков.

Цель и задачи

Целью работы заключается в том, чтобы исследовать возможность применения альтернативной меры близости между акциями для построения графа фондового рынка. Для реализации этой цели были поставлены следующие задачи:

.        Написать программные реализации алгоритмов для построения сетевых моделей рынка и вычисления их характеристик.

.        Построить модели графа доходностей для выбранных фондовых рынков.

.        Провести анализ характеристик полученных моделей, дать результатам экономическую интерпретацию.

.        Сравнить результаты, полученные для новой меры близости с результатами для стандартных корреляций Пирсона.

Практическая значимость

Представленные в работе результаты позволяют сделать предположение о полезности использованной модификации рыночного графа. Изучение характеристик этой модели позволяет оценить состояние рынка, получить компактное и точное описание протекающих на нем процессов и может помочь инвестору при принятии решения.

Структура работы

Магистерская диссертация состоит из введения; основной части, состоящей из трех глав; заключения (выводов), списка литературы и приложений. Основная часть работы имеет следующую структуру.

В главе 1 «Обзор литературы» проведен анализ научной литературы по теме исследования; освещен процесс развития сетевого подхода к моделированию фондовых рынков; рассмотрены недостатки модели рыночного графа; приведено описание модели графа доходностей, ее свойства и преимущества.

В главе 2 «Материалы и методы исследования» приведено описание модельных данных и методика, использованная для построения и анализа характеристик рыночных моделей.

В главе 3 «Результаты расчетов и их анализ» содержатся результаты, полученные в ходе анализа; дана экономическая интерпретация полученных данных; проведено сравнение результатов для новой меры близости и стандартных корреляций Пирсона.

1. Обзор литературы

1.1 Современное состояние международного фондового рынка

Фондовые рынки (рынки, на которых оборачиваются ценные бумаги) имеют огромное значение для функционирования экономики. Они выполняют такие важные функции, как привлечение инвестиций, привлечение средств для покрытия дефицита бюджета. Показатели фондовых рынков, такие как биржевые индексы, позволяют судить о состоянии экономики страны в целом [34].

Одним из основных направлений глобализации является формирование международного рынка ценных бумаг (МРЦБ) [39]. Коренные изменения в торговле ценными бумагами произошли благодаря развитию информационных технологий: теперь инвесторы имеют возможность совершать сделки на рынках различных стран. Системы, основанные на использовании современных коммуникационных технологий, позволяют вести торговлю в автоматизированном режиме, снижая роль финансовых посредников.

Наблюдается рост объемов ценных бумаг, обращающихся на рынке, появляются новые виды инструментов. Примерами видов ценных бумаг являются акции (обычные и привилегированные), облигации, векселя, а также их многочисленные производные (деривативы) - опционы, варранты, фьючерсы. Сюда также относятся различные чеки, депозитные сертификаты паи инвестиционных фондов и многие другие.

Таким образом, современный рынок ценных бумаг представляет собой очень сложную структуру. В условиях, когда число торгующихся акций измеряется тысячами, даже сбор и обработка всей этой информации представляет собой тяжелую задачу. Еще одной чертой фондовых рынков, затрудняющей анализ, является их нестационарность: процессы, наблюдаемые в одном периоде, могут не происходить в другом. Таким образом, построение компактной экономико-математической модели сопряжено со значительными трудностями.

Самой распространенной и простой характеристикой, позволяющей в компактной форме получить информацию о состоянии рынка ценных бумаг, является значение индекса. Однако анализ рынка на основе индекса крайне неинформативен и имеет целый ряд недостатков [40]. Во-первых, нужно учитывать, что при расчете индекса включается только часть обращающихся на рынке акций. Во-вторых, динамика индекса показывает только общую тенденцию изменения доходностей, но не учитывает, насколько большое число бумаг придерживались этого тренда. Еще одним недостатком является отсутствие прямой связи между ростом индекса и реальной, с учетом инфляции, доходностью акций, в данный индекс входящих. В случае высокой инфляции рост индекса может означать вовсе не доход инвестора, а его убыток.

Таким образом, проблема поиска моделей для удобного и компактного представления данных рынка по сей день остается актуальной.

.2 Сетевой подход при моделировании сложных систем

В последние годы активно развивающимся направлением в изучении сложных систем является сетевой анализ [38]. Каждый объект системы может быть представлен узлом сети (графа), а взаимодействия между этими объектами - соответствующими ребрами. Сетевые модели находят применение во многих областях науки - биологии (генные сети, функциональные сети головного мозга), социологии (сети взаимодействия между людьми, сети знакомств), технике (сети сотовой связи, сети электроснабжения), компьютерных науках (World Wide Web, локальные сети) [19]. Проведенные исследования показывают, что многие из этих сетей имеют более сложную структуру, чем обычные случайные графы с заданным числом узлов и связей. Поэтому для обозначения таких моделей появился термин «сложные сети».

Считается, что активный интерес к исследованиям в области сложных сетей появился благодаря работам, посвященным анализу сетей «тесного мира» Уоттса-Строгатца [32] и «безмасштабных сетей» Барабаши-Альберт [2].

В 1967 г. американский социолог С. Милграм провел серию экспериментов, целью которых был поиск среднего пути в сети, состоящей из людей [18]. В ходе исследования жителям одного города раздали 296 писем, которые надо было передать незнакомому человеку, жившему в другом, значительно удаленном городе. Передавать письма можно было только через своих знакомых. В результате этого эксперимента оказалось, среднем каждое письмо прошло через шесть человек. Милгремом была выдвинута «теория шести рукопожатий», согласно которой любые два человека на планете разделены в среднем лишь пятью уровнями общих знакомых. Последующие исследования, в том числе с использованием электронной почты, подтвердили полученные результаты, а наблюдаемый феномен получил название «тесного мира», или «шесть ступеней разделения».

В работе [32] Д.Уоттс и С.Строгатц выделили особый класс сложных сетей, обладающих феноменом «тесного мира». Основным свойством этих сетей было то, что две вершины с большой долей вероятности не являются смежными, но одна вершина достижима из другой посредством небольшого числа переходов. Предложенная модель графа получила название сети «тесного мира» (small-world network). Свойства сетей Уоттса-Строгатца были обнаружены во многих объектах реального мира, таких как дорожные карты, метаболические сети, социальные сети и т.д. [8, 30, 31].

Барабаши и Альберт [1, 2] изучали закон распределения узлов по числу связей в ряде сетей реального мира. В результате исследования выяснилось, что во многих реальных сетях это распределение подчиняется т.н. степенному закону, т.е. несколько узлов-концентраторов содержит большое число связей, а большинство узлов содержит лишь незначительное число связей. Эти сети получили название безмасштабных (scale-free networks). Авторы предложили простую модель возникновения таких сетей, включающую два условия - рост и предпочтительное соединение.

Результаты этих исследований имеют большое теоретическое значение и практические приложения в области физики, биологии, социологии, а также экономики.

.3 Анализ фондовых рынков с помощью сетевого подхода

Одним из основных направлений современной финансовой науки является анализ фондовых рынков, направленный на выявление на них различных закономерностей в периоды роста и кризиса.

Впервые конкретные математические методы для анализа фондовых рынков предложил американский экономист Г. Марковиц [16]. В своей работе, ставшей впоследствии классической, Марковиц предложил модель формирования оптимального портфеля и привел методы построения портфелей при определённых условиях. Важным элементом этой модели является анализ совместного поведения акций, основанный на вычислении их попарных корреляций.

Вместе с тем фондовый рынок можно рассматривать как сложную сеть, вершины которой образованы ценными бумагами, а ребра обозначают связи между ними.

Впервые сетевой подход для анализа рынка ценных бумаг применил Р. Мантегна [14, 15]. Он предложил использовать матрицу корреляций для вычисления «расстояний» между парами акций, а затем выбирать такие из них, которые удовлетворяют критерию минимального остовного дерева. В получившемся дереве «расстояния» между акциями представлены ребрами, а узлы - ценными бумагами. Впоследствии многими авторами были исследованы похожие и изобретены новые сетевые модели фондового рынка.

Онелла и соавторы [20] использовали метод, предложенный Мантегной, для построения деревьев для ряда временных периодов. Получившиеся модели представляли собой этапы развития одного «динамического дерева активов» (dynamic asset tree). Авторами были предложены различные характеристики этой системы, например, нормализованная длина дерева (normalized tree length) и «средний культурный слой» (mean occupation layer). В работе [22] была проиллюстрирована динамика этих характеристик под влиянием «Черного понедельника» 1987 г. Дальнейшим развитием этой методологии был «граф активов» (asset graph), дающий возможность включать несколько компонент связности [20].

Туминелло и соавторы [25] предложили модель «максимально отфильтрованного плоского графа» (planar maximally filtered graph), позволяющую фильтровать сложные наборы данных, составляя подграф из значимых связей. Авторы показали, что данный метод особенно эффективен для сетей, основанных на корреляциях, и продемонстрировали его на примере фондового рынка.

Свойства сетей, основанных на корреляциях между ценными бумагами были изучены в работах [21, 26, 27].

В 2003 г. Богинским и соавторами [6] была предложена модель «рыночного графа» (market graph). В рамках данной модели фондовый рынок рассматривается как сеть, в которой каждой ценной бумаге соответствует своя вершина, а ребро между ними проводится в том случае, если коэффициент корреляции между доходностями соответствующих акций превышает некоторое пороговое значение. Модель графа рынка была впоследствии использована во многих исследованиях. В частности, с использованием этой методологии были получены интересные результаты для рынков США [5-7, 12], Китая [11], Швеции [12], России [29, 35].

В работах [28, 36] был проведен сравнительный анализ стран БРИК с использованием модели рыночного графа. Основным анализируемым шаблоном были максимальные клики, как характеристики связности рынка. В результате исследования был сделан вывод о том, что по своим структурным свойствам рынок Китая отличается от остальных стран БРИК.

Общей чертой всех упомянутых выше моделей является использование коэффициентов корреляции Пирсона в качестве меры близости между акциями. Это наиболее естественный подход, но, несмотря на свою популярность, он имеет целый ряд недостатков (см. раздел 1.5.2). Поэтому в отдельных случаях возникает необходимость использования иной меры. Так, в работе [4] предложена альтернативная мера близости, получившая название знаковой корреляции. Эта мера основана на вероятности совпадения знака доходностей акций. Авторы показали, что знаковые корреляции имеют простую, ясную интерпретацию, и в ряде случаев позволяют положить более содержательные результаты.

Мерой близости, принципиально отличающейся от корреляций, является мера, предложенная в работе [10]. Для каждой пары акций рассчитывается количество периодов, когда доходности обеих бумаг были положительны с учетом инфляции. Полученное число используется в качестве веса ребра между соответствующими вершинами. Эта модель носит название графа доходностей.

.4 Некоторые основные понятия

Использование теории графов для моделирования фондовых рынков позволяет предложить характеристики, в компактном и простом виде описывающие протекающие на них процессы. В этом разделе приведены основные понятия, относящиеся к теории графов [33, 41].

Неориентированным графом, или просто графом, называется упорядоченная пара G(V, E), где V - множество вершин (или узлов), а E - множество ребер (дуг). Количество вершин в графе обозначается как , количество ребер - . В прикладных областях графы часто называются сетями [37].