Материал: ГЛАВА 8_1

Если вернуться к затронутой выше взаимосвязи между линейной регрессией и корреляцией, то здесь мы можем сделать следующие дополнения. Пусть все точ­ки-наблюдения аккуратно размещены на регрессионной прямой. Перед нами почти невероятный случай абсолютной линейной зависимости. Зная, например, что коэффициент b (нестандартизованный) равен 313, мы можем утверждать, что именно такова величина воздействия переменной X на зависимую перемен­ную Y. Кроме того, мы можем точно сказать, что единичная прибавка в величи­не X вызовет увеличение Y на ту же величину, 313 (если, допустим, Х— стаж работы, а У — зарплата, то с увеличением стажа на год зарплата растет на 313 рублей). В этом случае коэффициент корреляции будет равен в точности 1,0, что свидетельствует о сильном, «абсолютном», характере связи переменных. Различие между предсказанными и наблюдаемыми значениями в этом случае отсутствует. Корреляция как мера точности прогноза показывает, что ошибок предсказания просто нет.

¹⁵ Более детальные сведения можно найти в статистической литературе. Очень доступ­но проблема излагается, в частности, в кн.: Гласе Дж., Стенли Дж. Указ. соч. С. 123—141. Для тех же, кто захочет осуществить «ручную» регрессию для какого-либо из использованных примеров, просто приведем формулы для вычисления нестан­дартизированных коэффициентов (обозначения те же, что и выше):

В действительности, однако, из-за влияния других переменных и случайной выборочной ошибки точки-наблюдения обычно лежат выше или ниже прямой, которая, как говорилось, является лишь наилучшим приближением реальных данных. Коэффициент корреляции Пирсона r и величина r² по-прежнему слу­жат оценкой точности прогноза, основанного на линии регрессии. Вполне воз­можны ситуации, когда коэффициент регрессии очень велик, воздействие X на Y просто громадно, но корреляция низка и, следовательно, точность прогноза невелика. Нет ничего необычного и в обратной ситуации: воздействие Х на Y относительно мало, а коэффициент корреляции и объясненная дисперсия очень велики. Посмотрев на приведенные выше диаграммы рассеивания, можно лег­ко уяснить себе смысл отношения между корреляцией и регрессией: первая имеет прямое отношение к «разбросанности» точек наблюдения (чем выше «разбро­санность», тем ниже r² и ненадежнее прогноз), тогда как коэффициент регрес­сии описывает наклон, «крутизну» линии. Однако существующее здесь разли­чие не стоит и преувеличивать: регрессионный коэффициент (наклон прямой) для стандартизованных данных в точности равен коэффициенту корреляции Пирсона r¹⁶. ¹⁶ Легко понять, что при измерении в единицах стандартного отклонения максимальная связь (Р= 1,0) соответствует ситуации, когда сдвигу от начала координат в 1 ед. стан­дартного отклонения по Х соответствует увеличение У также на 1 ед. стандартного от­клонения. Важно заметить, что в случае стандартизированных переменных (и только в этом случае) коэффициенты регрессии Y no X и X noY будут совпадать.

Предположим, что исследователь изучает зависимость между образованием матери (X) и образованием детей (Y). Обе переменные измерены как количе­ство лет, затраченных на получение образования. Найдя достаточно высокую корреляцию между Х и У— скажем, равную 0,71, — он также находит коэффи­циенты регрессии а и b и устанавливает, что r² (называемый также коэффици­ентом детерминации) в данном случае приближенно равен 0,5. Это значит, что доля вариации в значениях переменной Y (образование детей), объясненная воздействием переменной-предиктора Х (материнское образование), составля­ет около 50% общей дисперсии предсказываемой переменной. Коэффициент корреляции между переменными достаточно велик и статистически значим даже для не очень большой выборки. Следовательно, обнаруженная взаимосвязь пе­ременных не может быть объяснена случайными погрешностями выборки. В пользу предложенной исследователем причинной гипотезы говорит и то об­стоятельство, что альтернативная гипотеза — образование детей влияет на об­разовательный статус родителей — крайне неправдоподобна и может быть от­вергнута на основании содержательных представлений о временной упорядо­ченности событий. Однако все еще не исключены те возможности, которые мы обсуждали в параграфе, посвященном методу уточнения. Иными словами, нам следует считаться с вероятностью того, что какая-то другая переменная (или несколько переменных) определяют и образование родителей и образование детей (например, финансовые возможности либо интеллект). Чтобы проверить такую конкурирующую гипотезу, следует рассчитать так называемую частную корреляцию. Логика расчета частной корреляции совпадает с логикой построе­ния частных таблиц сопряженности при использовании метода уточнения. По­строить частные таблицы сопряженности для различных уровней контрольной переменной в случае, когда переменные измерены на интервальном уровне,— это практически неразрешимая задача.

Чтобы убедиться в этом, достаточно подсчитать, каким должно быть количество таблиц уже при десяти-двенадцати категориях каждой переменной. Расчет коэффициента частной корреляции— это простейшее средство уточнения исходной причинной модели при введении дополнительной переменной. Интерпретация коэффициента частной корреля­ции не отличается от интерпретации частных таблиц сопряженности: частной корреляцией называют корреляцию между двумя переменными, когда статис­тически контролируется, или «поддерживается на постоянном уровне», тре­тья переменная (набор переменных).

Если, предположим, при изучении корреляции между образованием и доходом нам понадобится «вычесть» из полученной величины эффект интеллекта, пред­положительно влияющего и на образование, и на доход, достаточно воспользо­ваться процедурой вычисления частной корреляции. Полученная величина бу­дет свидетельствовать о чистом влиянии образования на доход, из которого «выч­тена» линейная зависимость образования от интеллекта.

Мюллер и соавторы ¹⁷ приводят интересный пример использования коэффици­ента частной корреляции. В исследовании П. Риттербэнда и Р. Силберстайна изучались студенческие беспорядки 1968—1969 гг. Одна из гипотез заключа­лась в том, что число нарушений дисциплины и демонстраций протеста в стар­ших классах учебных заведений связано с различиями показателей академи­ческой успеваемости учащихся. Корреляция между частотой «политических» беспорядков и средней успеваемостью оказалась отрицательной (хуже успева­емость — больше беспорядков) и статистически значимой (r = -0,36). Однако еще более высокой была корреляция между частотой беспорядков и долей чер­нокожих учащихся (r=0,54). Исследователи решили проверить, сохранится ли связь между беспорядками и успеваемостью, если статистически проконтроли­ровать влияние расового состава учащихся. Коэффициент частной корреляции частоты беспорядков и успеваемости при контроле расового состава учащихся оказался равным нулю. Исходная корреляция между беспорядками и успевае­мостью в данном случае может быть описана причинной моделью «ложной взаимосвязи» (см. рис. 19): наблюдаемые значения этих двух переменных скор-релированы лишь потому, что обе они зависят от третьей переменной — доли чернокожих в общем количестве учащихся. Чернокожие студенты, как замети­ли исследователи, оказались восприимчивее к предложенным самыми актив­ными «политиканами» образцам участия в политических беспорядках. Кроме того, их успеваемость, помимо всяких политических событий, была устойчиво ниже, чем средняя успеваемость белых.

Коэффициент частной корреляции между переменными Х и. Y при контроле дополнительной переменной Z (т. е. при поддержании Z «на постоянном уров­не») обозначают как r_xy.z. Для его вычисления достаточно знать, величины на­блюдаемых попарных корреляций между переменными X, Y и Z (т. е. простых корреляций — r_xy, r_yz, r_xz):

Как всякая выборочная статистика, коэффициент корреляции подвержен выбо­рочному разбросу. Существует некоторая вероятность того, что для данной вы-

¹⁷ Mueller J., Schuessler К., Costner H. Statistical Reasoning in Sociology. 3rd ed. Boston:

Haighton Mifflin Co, 1977. P. 279—281.

борки будет получено ненулевое значение коэффициента корреляции, тогда как истинное его значение для генеральной совокупности равно нулю. Иными сло­вами, существует задача оценки значимости полученных значений корреляций и коэффициентов регрессии, относящаяся к области теории статистического вывода. Описание соответствующих статистических методов выходит за рамки этой книги, поэтому мы рассмотрим лишь самые общие принципы, позволяю­щие решать описанную задачу в простых случаях и интерпретировать соответ­ствующие показатели при использовании стандартных компьютерных программ.

Прежде всего вероятностная оценка коэффициента корреляции подразумевает оценку отношения к его случайной ошибке. Удобная, хотя и не вполне надеж­ная формула для вычисления ошибки коэффициента корреляции (т_r), выглядит так¹⁸:

Всегда полезно вычислить отношение полученной величины r к его ошибке (т. е. r/т_i). В использовавшемся нами примере данных о погоде коэффициент корреляции оказался равен 0,91, а его выборочная ошибка составляет:

Отношение r к m_r обозначаемое как t, составит (0,91/0,573)= 15,88. Разумеется, коэффициент, превосходящий свою случайную ошибку почти в 16 раз, может быть признан значимым даже без построения доверительных интервалов.

Когда значение г не столь близко к единице и выборка невелика, нужно все же проверить статистическую гипотезу о равенстве r нулю в генеральной совокуп­ности. Для этого нужно определить t по формуле:

где t — это величина так называемого t-критерия Стьюдента (см. также гла­ву 4), г — выборочный коэффициент корреляции, п — объем выборки. Для ус­тановления значимости вычисленной величины t-критерия пользуются табли­цами t-распределения для (n - 2) степеней свободы (см. табл. 4.1). Во многих пособиях по статистике можно найти и готовые таблицы критических значе­ний коэффициента корреляции r для данного уровня значимости а. В этом слу­чае отпадает необходимость в каких-либо вычислениях t: достаточно сравнить полученную величину коэффициента корреляции с табличным значением ¹⁹. (Например, величина коэффициента корреляции r = 0,55 будет существенной на уровне значимости р = 0,01 даже для выборки объемом 105, так как крити­ческое значение составляет 0,254.)

18 См.: Дружинин н. К. Логика оценки статистических гипотез. М.: Статистика, 1973. С. 112—114.

" См., в частности: Ликеш И., Ляга И. Основные таблицы математической статистики. М.: Финансы и статистика, 1985. (Табл. 14.)

Множественная регрессия и путевой анализ

Выше описывалась модель линейной регрессии для двух переменных. В дей­ствительности социолог довольно редко сталкивается со столь простыми моде­лями данных. Влияние одного фактора обычно может объяснить лишь часть разброса наблюдаемых значений независимой переменной. Метод частной кор­реляции позволяет нам проконтролировать эффекты воздействия любых дру­гих контрольных переменных, которые мы в состоянии измерить. (Стоит снова подчеркнуть здесь, что статистические методы изучения причинных взаимо­связей, в отличие от экспериментальных, позволяют нам контролировать лишь те источники вариации, которые мы способны концептуализировать и измерить.) Однако еще более интересной задачей является контроль одновременного воз­действия нескольких независимых на одну зависимую переменную, а также срав­нение эффекта воздействия разных независимых переменных и предсказание «отклика» независимой переменной. Именно эти задачи решают методы анали­за, о которых пойдет речь в данном параграфе. Наше изложение будет непол­ным, так как более детальное обсуждение требует дополнительной математи­ческой подготовки. Мы будем ориентироваться на сравнительно скромные цели понимания общей логики и интерпретации результатов соответствующих ста­тистических процедур.

Уравнение множественной регрессии — это определенная модель порождения данных. Важные допущения, принимаемые в этой модели, касаются уже извес­тного вам требования линейности, а также аддитивности суммарного эффекта независимых переменных. Последнее означает, что воздействия разных неза­висимых переменных просто суммируются, а не, скажем, перемножаются (муль­типликативный эффект, в отличие от аддитивного, имеет место тогда, когда ве­личина воздействия одной независимой переменной на зависимую, в свою оче­редь, находится под влиянием другой независимой переменной, т. е. независимые переменные взаимодействуют друг с другом).

Множественная регрессия во многом аналогична простой (бивариантной) рег­рессии. Отличие состоит в том, что регрессия осуществляется по двум и более независимым переменным одновременно, причем каждая из них входит в рег­рессионное уравнение с коэффициентом, позволяющим предсказать значения зависимой переменной с минимальным количеством ошибок (критерием здесь снова является метод наименьших квадратов). Частные коэффициенты в урав­нении множественной регрессии показывают, какой будет величина воздействия соответствующей независимой переменной на зависимую при контроле влия­ния других независимых переменных. Если воспользоваться простейшей сис­темой обозначений, то уравнение множественной регрессии для трех независи­мых переменных можно записать как:

где Y— это предсказываемое значение зависимой переменной, X₁ ... Х₃,— неза­висимые переменные, а b, ... b₃, — частные коэффициенты регрессии для каж­дой из зависимых переменных.

Коэффициенты b могут быть интерпретированы как показатели влияния каж­дой из независимых переменных на зависимую при контроле всех других неза­висимых переменных в уравнении. В отличие от коэффициентов частной кор­реляции коэффициенты регрессии обладают размерностью. Они показывают,на сколько единиц изменится зависимая переменная при увеличении независи­мой на одну единицу (при контроле всех остальных переменных модели). Пусть, например, мы построили уравнение множественной регрессии, описываю­щее зависимость дохода от интеллекта (Х₁) и стажа работы (Х₂). Если вели­чина b₁ оказалась равной 100, это означает, что каждый дополнительный балл по шкале интеллекта увеличивает доход на 100 рублей. Значение b₂= 950 говорит нам, что год стажа прибавляет 950 рублей. Однако «сырые» оценки интеллекта и стажа измерены в разных единицах. Для определения сравни­тельной значимости независимых переменных, входящих в уравнение мно­жественной регрессии, мы должны подвергнуть все переменные стандар­тизации (т. е. перевести их в Z-оценки, см. выше). Стандартизованные ко­эффициенты множественной регрессии, которые удобнее всего обозначать как b* (либо греч. «бета» — B), меняются в пределах от -1,0 до +1,0. Они сохраняют свою величину при изменении масштаба шкалы: переход от измерения возраста в годах к измерению в днях не изменит соответству­ющий b*.

Стандартизованные коэффициенты позволяют оценить «вклад» каждой из переменных-предикторов в предсказание значений независимой перемен­ной. Если в примере с влиянием интеллекта и стажа работы на доход ока­жется, что b₁* = 0,25, a b₂*=0,30, то можно заключить, что сравнительная значимость «веса» интеллекта и стажа в предсказании дохода различаются незначительно. Если же для одной переменной b₁* =0,80, тогда как b₂* =0,40, мы можем сказать, что эффект воздействия второй переменной в два раза меньше эффекта первой.

Чтобы определить ожидаемые значения зависимой переменной для отдельных индивидов, достаточно подставить в уравнение множественной регрессии со­ответствующие значения переменных-предикторов и вычисленных коэффици­ентов Ь. Пусть, например, мы хотим рассчитать прогнозное значение величины дохода для человека, чей коэффициент интеллекта равен 110, а стаж работы — 20 годам. Если b₁, как в вышеприведенном примере, составляет 100, b₂ = 950, а слагаемое а = 50000, то мы получим:

ожидаемый доход = 50000 +100 х 110 + 950 х 20 = 80000 руб.

Множественную регрессию можно использовать и для предсказания средних групповых значений, например среднего дохода мужчин-врачей. Единственное различие в данном случае заключается в использовании средних значений неза­висимых переменных для подстановки в уравнение множественной регрессии. В качестве независимой переменной множественной регрессии могут исполь­зоваться и дихотомические переменные, которым приписывают значения 0 и 1 (например, пол). Для того чтобы включить в уравнение номинальную перемен­ную с более чем двумя категориями, нужно создать соответствующее число новых, «фиктивных» переменных, каждая из которых будет кодироваться как О или 1 в зависимости от наличия или отсутствия категории-признака. Скажем, состоящую из трех категорий переменную «цвет глаз» можно представить с помощью трех переменных: Х₁ — «голубые глаза», Х₂ — «карие глаза», Х₃, — «зеленые глаза». (Человек с голубыми глазами получит 1 по Х₁ и 0 по двум другим переменным.)