Материал: ГЛАВА 8_1

Таблица 8.4 Oбщая форма таблицы сопряженности размерности 2х2

		Переменная Х		Всего
		0	1
Переменная У	0	а	б	А+б
	1	с	д	С+д
Всего		А+с	Б+д	n

довольно ясно показывает, что всякое приращение в размерах партийной кассы (сдвиг вправо по оси Х) влечет за собой увеличение парламентского представи­тельства (сдвиг вверх по оси ординат). Между переменными Х и Y существует линейное отношение: если одна переменная возрастает по величине, то это же происходит и с другой. Помимо указания на природу отношения двух перемен­ных, диаграмма на рисунке 21 позволяет также сделать некоторые предположе­ния об интенсивности, силе этого отношения. Очевидно, что чем более ком­пактно, «скученно» располагаются точки-наблюдения вокруг пунктирной пря­мой линии (описывающей идеальное линейное отношение Х и Y), тем сильнее зависимость. На рисунке 22 приведены еще три диаграммы рассеивания.

Очевидно, что на рисунке 22а какая-либо связь между x и y попросту отсут­ствует. На рисунке 22б воображаемая прямая линия (отмечена пунктиром) пе­ресекла бы диаграмму сверху вниз, из левого верхнего в правый нижний угол. Иными словами, линейная связь в этом случае имеет обратное направление:

чем больше X, тем меньше зависимая переменная У. Заметим также, что «куч­ность» расположения точек вдоль воображаемой прямой на рисунке 226 не очень велика, а значит и связь (корреляция) между переменными не только обратная, отрицательная, но еще и не очень сильная, умеренная. Наконец, на рисунке 22в зависимую и независимую переменную связывает явно нелинейное отноше­ние: воображаемый график нисколько не похож на прямую линию и напомина­ет скорее параболу¹². Отметим, что методы анализа, о которых сейчас пойдет речь, не годятся для этого нелинейного случая, так как обычная формула для подсчета коэффициента корреляции даст нулевое значение, хотя связь между переменными существует.

Существует обобщенный показатель, позволяющий оценить, насколько связь между переменными приближается к линейному функциональному отношению, которое на диаграмме рассеивания выглядит как прямая линия. Это коэффици­ент корреляции, измеряющий тесноту связи между переменными, т. е. их тен-денцию изменяться совместно. Как и в рассмотренных выше мерах связи каче-ственных признаков, коэффициент корреляции позволяет оценить возможность предсказания значений зависимой переменной по значениям независимой. Об­щая формула для вычисления коэффициента корреляции Пирсона включает в себя величину ковариации значений X и Y. Эта величина (s_xy) характеризует со­вместное изменение значений двух переменных. Она задается как сумма произ-

¹² Именно так обычно выглядит зависимость между благожелательностью установ­ки по отношению к некоторому объекту (X) и интенсивностью установки (Y): люди, занимающие крайне благожелательную или крайне неблагожелательную позицию в каком-то вопросе, обычно оценивают свои убеждения как более выраженные и ин­тенсивные, чем те люди, чьи установки лежат в области середины, «нейтральных» значений шкалы.ведений отклонений наблюдаемых значений Х и У от средних X и Y соответ­ственно, т. е. Eⁱ⁼¹_n (X_i - Х )(Y_i - Y ), деленная на количество наблюдений. Чтобы понять «физический смысл» ковариации, достаточно обратить внимание на сле­дующее ее свойство: если для какого-то объекта i в выборке оба значения —X, и Y,— окажутся высокими, то и произведение (Х_i - Х) на (Y_i - Y) будет боль­шим и положительным. Если оба значения (по Х и по Y) низки, то произведение двух отклонений, т. е. двух отрицательных чисел, также будет положительным. Таким образом, если линейная связь Х и Y положительна и велика, сумма таких произведений для всех наблюдений также будет положительна. Если связь между Х и У обратная, то многим положительным отклонениям по Х будут соответ­ствовать отрицательные отклонения по Y, т. е. сумма отрицательных произведе­ний отклонений будет отрицательной.

Наконец, при отсутствии систематической связи произведения будут иногда положительными, иногда отрицательными, а их сумма (и, следовательно, ковариация Х и Y) будет, в пределе, равна нулю. Таким образом, ко вариация показы­вает величину и направление связи, совместного изменения Х и У. Если разде­лить ковариацию s_xy на стандартные отклонения s_x и s_y (чтобы избавиться от влияния масштаба шкал, в которых измеряются X и Y), то мы получим искомую формулу коэффициента корреляции Пирсона (r_xy):

Более удобная для практических вычислений расчетная формула выглядит так:

Несмотря на несколько устрашающий вид, расчетная формула очень проста. Для «ручного» вычисления r_xy, вам понадобятся лишь пять величин: суммы значений по X и Y (Eⁱ⁼¹_nХ_i и Eⁱ⁼¹_nY_i), суммы квадратов значений по Х и Y (Eⁱ⁼¹_nХ² и Eⁱ⁼¹_nY²), суммы произведений Х и Y по всем объектам-«случаям» (Eⁱ⁼¹_n X_iY_i).

В таблице 8.11 приведены данные о максимальных дневных и ночных температурах, зарегистрированных в 10 городах¹³.

Просуммировав значения в столбцах, мы получим E¹⁰ _i=1Х_i =258 и E¹⁰ _i=1 Y_i=156.

Возведя каждое из значений Х и Y в квадрат и просуммировав, мы найдем, что E¹⁰ _i=1Х_i² = 7180 и E¹⁰ _i=1 Y_i² = 2962. Сумма попарных произведений Х_i и Y_i (E¹⁰ _i=1 X_iY_i) составит 4359. Вы можете самостоятельно убедиться в том, что подстановка всех значений в расчетную формулу даст (надеюсь) величину r_xy=0,91. Иными словами, корреляция между дневными и ночными температурами воздуха очень высока, но все же отлична от 1,0 (коэффициент корреляции может меняться в пределах от-1,0 до +1,0). Это отличие, вероятно, объясняется влиянием других факторов (продолжительность дня и ночи, облачность, географическое положение и т. п.). Судя по полученной величине корреляции, знание дневных температур позволяет предсказывать ночные температуры с очень высокой точностью, но не безошибочно.

13 Погода (Гидрометцентр рф) // Сегодня. 1994. 23 авг.

Величина, которая равна квадрату коэффициента корреляции Пирсона, т. е. г, имеет ряд интересных статистических свойств. Отметим сейчас, что r² являет­ся ПУО-мерой связи, подобной обсуждавшимся выше (см. с. 176—179). Мож­но показать, что она характеризует ту долю дисперсии значений Y, которая объяс­няется наличием корреляции между Х и Y. (Естественно, величина r² будет все­гда положительной и не может превзойти по абсолютной величине коэффициент корреляции.) ¹⁴ Та часть разброса в значениях Y, которая не может быть пред­сказана по значениям X,— это дисперсия ошибки нашего прогноза, т. е. 1 - r². Необъясненный разброс в значениях У присутствует в том случае, когда при равных уровнях Х (ср., например, дневные температуры в Варшаве и Бонне из таблицы 8.11) сохраняются различия в значениях Y.

Коэффициент корреляции позволяет оценить степень связи между переменны­ми. Однако этого недостаточно для того, чтобы непосредственно преобразовы­вать информацию, относящуюся к одной переменной, в оценки другой пере­менной. Допустим, мы выяснили, что коэффициент корреляции между пере­менными «величина партийного бюджета» и «число мест в парламенте» равен 0,8. Можем ли мы теперь предсказать, сколько мест в парламенте полу­чит партия, годовой бюджет которой равен 100 млн рублей? Похоже, что знание величины коэффициента корреляции нам здесь не поможет. Однако мы можем вспомнить, что коэффициент корреляции — это еще и оценка соответствия раз­броса наших наблюдений той идеальной модели линейного функционального отношения, которое на рассмотренных выше диаграммах рассеивания (см. рис. 21—22) представлено пунктирными прямыми. Эти линии называют линиями регрессии.

Если бы все наблюдения аккуратно «укладывались» на линию регрессии, то для предсказания значения зависимой переменной достаточно было бы восстано вить перпендикуляр к оси Y из той точки прямой, которая соответствует известному значению X.

14 Подробный анализ можно найти в большинстве руководств по прикладной статисти­ке. Здесь мы ограничимся обсуждением общей логики оценки объясненной дисперсии.

На рисунке 23 показано, как можно было бы графически определить ожидае­мые значения Y для гипотетического примера с партийной кассой и местами в парламенте. (Разумеется, найти искомое значение У можно и без линейки, с помощью вычислений, если известен угол наклона регрессионной прямой и точка пересечения с осью ординат.)

Как говорилось выше, линия регрессии не обязательно должна быть прямой, но мы ограничимся рассмотрением самого простого случая линейной зависимо­сти (нелинейные связи во многих случаях также могут быть приближенно опи­саны линейными отношениями).

Существуют специальные статистические процедуры, которые позволяют най­ти регрессионную прямую, максимально соответствующую реальным данным. Регрессионный анализ, таким образом, дает возможность предсказывать зна­чения Y по значениям Х с минимальным количеством ошибок. В общем виде уравнение, описывающее прямую линию регрессии Y no X, выглядит так:

Y=a_yx +b_yx X,

где Y— то предсказываемое значение по переменной Y (в только что рассмот­ренном примере — количество мест в парламенте), а — это точка, в которой прямая пересекает ось Y (т. е. значение Y для случая, когда X=0), и b—коэффи­циент регрессии, т. е. наклон прямой. Часто удобно измерять обе переменные не в «сырых» шкалах, а в единицах отклонения от среднего. Процедура стан­дартизации, т. е. перевода исходной шкалы в стандартные Z-оценки, вам уже известна (см. с. 169). Преимущество использования стандартизированных пе­ременных в регрессионном анализе заключается в том, что линия регрессии в этом случае проходит через начало координат. Стандартизованный коэффици­ент регрессии (наклон прямой) обозначают обычно греческой буквой b (либо лат. b*). Правда, в отличие от b-коэффициента, b не позволяет прямо заклю­чить, на какое количество исходных единиц возрастет У при увеличении Х на одну единицу (например, насколько увеличится число депутатских мандатов при увеличении бюджета на 1 млн рублей или насколько увеличивается зара­ботная плата при увеличении стажа работы на один год). С другой стороны, b позволяет сопоставить влияние на независимую переменную контрольных переменных, измеренных в разных шкалах.

Социологи обычно осуществляют регрессионный анализ, используя возмож­ности распространенных прикладных пакетов компьютерных программ (напри­мер, SPSS). В этом случае для нахождения линии регрессии, лучше всего соот­ветствующей данной выборке наблюдений, которая представлена точками на диаграмме рассеивания, используют метод минимизации взвешенной суммы квадратов расстояний между этими точками и искомой прямой¹⁵.

Хотя здесь не место для обсуждения статистических деталей, мы все же сдела­ем несколько замечаний, относящихся к осмысленному (или бессмысленному) использованию техники линейной регрессии.

Во-первых, как и в ранее обсуждавшихся примерах анализа связи, наличие ко­ординации, согласованности в изменениях двух переменных еще не доказыва­ет, что обнаруженное отношение носит собственно каузальный характер. Про­верка альтернативных причинных моделей, иначе объясняющих эмпирическую сопряженность переменных-признаков, может основываться только на содер­жательных теоретических представлениях.

Далее, нужно помнить о том, что регрессионные коэффициенты в общем слу­чае асимметричны. Если мы решим, что это У, а не Х является независимой переменной, то вполне можем рассчитать другую по величине пару коэффициентов — а_xу и b_xу. (Заметьте, что порядок букв в подстрочном индексе значим: первой всегда идет предсказываемая переменная, а второй — предсказываю­щая.) Разумеется, при выборе кандидатов в зависимые и независимые перемен­ные также важны не статистические, а содержательные соображения.