Материал: Элементы теории вероятностей

Далее надо сделать замену переменных: , где  есть функция, обратная . Делаем замену переменных в предыдущем выражении:

Аналогично находится выражение для убывающей функции. В этом случае в правой части появляется знак минус. Эти два случая могут быть объединены одной формулой:

Случай осциллирующей функциональной связи можно найти в руководствах по теории вероятности.

Следствия.

. Компьютерные генераторы случайных чисел, как правило, генерируют последовательности с равномерным распределение плотности. Полученные формулы позволяют пересчитывать их в последовательности, подчиняющиеся любым законам распределения.

Пусть случайная величина  подчинена нормальному закону, а случайная величина  связана с ней линейной функцией: . Требуется найти закон ее распределения.

Из условия: , отсюда . Тогда:

Мы здесь сделали замену , чтобы уточнить, что это дисперсия х, при этом обозначение для среднего значения х оставили прежнее. Из последнего выражения видно, что закон распределения  тоже нормальный с числовыми характеристиками: среднее значение (математическое ожидание) ; среднеквадратичное .

6. Центральная предельная теорема

Мы остановились подробно на нормальном законе распределения случайной величины по ряду соображений. В курсах теории вероятности (см. Худсон, стр.54) доказывается т. н. центральная предельная теорема. Суть ее состоит в следующем. Пусть случайная величина х имеет среднее значение А и дисперсию σ Если дисперсия конечная, то при стремлении числа реализаций случайной величины (или еще говорят ее выборки) N к бесконечности распределение <x> будет стремиться к нормальному закону со средним А и дисперсией . Там же доказывается важнейшая формула:

 (12)

где z и есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с нулевым средним и единичной дисперсией (поскольку <x> связано с z линейным соотношением, то <x> тоже будет распределено по нормальному закону). Крайне важно отметить следующее. При формулировке и доказательстве теоремы не делается никаких предположений о законе распределения самой величины х, кроме предположения о конечности дисперсии (см. Худсон).

В других формулировках (см., например, Вентцель) доказывается, что если мы имеем N независимых случайных величин, то совместная их вероятность также стремится к нормальному закону распределения.

Центральная предельная теорема - важнейшая теорема статистики. Она как раз и служит основанием того, что так много внимания уделяется нормальному закону распределения. Впрочем, в ряде случаев возможны и другие законы.

7. Закон больших чисел

Другая важная теорема - это т. н. закон больших чисел (теорема Чебышева). Опыт человечества еще с древнейших времен демонстрирует поразительную устойчивость массовых явлений, когда реализуется большое число однородных опытов со случайными воздействиями. При этом случайные воздействия компенсируются, а средние величины (в наших терминах - моменты, т.е. математическое ожидание, дисперсия) мало подвержены случайным изменениям (или, как говорят, флуктуациям). Этот практический результат и составляет содержание теоремы Чебышева (или закона больших чисел):

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится (по вероятности) к ее математическому ожиданию.

Литература

1. Андронов, А.М.; Копытов, Е.А.; Гринглаз, Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика; СПб: Питер - Москва, 2004. - 461 c.

. Битнер Г.Г. Теория вероятностей; Феникс - Москва, 2012. - 336 c.

. Большакова Л.В. Теория вероятностей для экономистов; Финансы и статистика - Москва, 2009. - 208 c.

. Боровков А.А. Теория вероятностей; Либроком - Москва, 2009. - 656 c.

. Боровков А.А. Теория вероятностей; Мир - Москва, 1986. - 395 c.

. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения; Высшая школа - Москва, 2010. - 480 c.

. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей; Высшая школа - Москва, 1976. - 616 c.

. Глиненко В.И. Теория вероятностей; Государственное учебно-педагогическое издательство - Москва, 1986. - 138 c.

. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика; Наука - Москва, 1980. - 541 c.

. Горлач Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика; Лань - Москва, 2013. - 320 c.

. Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика; Юрайт - Москва, 2013. - 480 c.

. Колмогоров А.Н., Юшкевич А.П. Математика XIX века (том 1): математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей; СПб. [и др.]: Питер - Москва, 1978. - 246 c.

. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О. Теория вероятностей в задачах и упражнениях; Форум - Москва, 2008. - 480 c.

. Крупин В.Г., Туганбаев А.А. Теория вероятностей; Факториал Пресс - Москва, 2006. - 128 c.

. Левкович В.Л. Теория вероятностей; Издательство Академии наук БССР - Москва, 2007. - 104 c.

. Луценко А.И. Теория вероятностей; Феникс - Москва, 2009. - 256 c.

. Нельсон Е. Радикально элементарная теория вероятностей; РГГУ - Москва, 1995. - 145 c.

. Ниворожкина, Л. И.; Морозова,

.А. Теория вероятностей и математическая статистика; Эксмо - Москва, 2008. - 432 c.

. Прохоров Ю.В., Розанова Ю.А. Теория вероятностей; Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука" - Москва, 2003. - 496 c.