Материал: Движение математического маятника

Интегралы (A), (B) и (C) также называются эллиптическими интегралами 1-го,2-го и 3-го рода - в форме Лежандра.

5§. Закон движения маятника (в эллиптических функциях)

 (5)

общее решения уравнения в явном виде.

Видно, что квадратура в конечном виде не берётся: интеграл справа непосредственно приводится к эллиптическому интегралу 1го рода.

Так как , ,

то

Подставляя этот результат в уравнение (5), получаем:

и положив =κ (0< κ<1), введём новую переменную интегрирования φ

по формулам , ; (6)

откуда

Кроме того,

при этом изменению θ от 0 до α отвечает изменение φ от 0 до π/2. Тогда получим закон движения маятника в виде

 (7)

Интеграл, стоящий в правой части равенства (7), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина κ называется модулем эллиптического интеграла.

Так как по первой из формул (6) легко выразить φ через θ, то зависимость t от θ можно считать установленной.

Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля. Желая выразить, наоборот, θ через t, мы нуждаемся в обращении эллиптического интеграла

 (8)

Если в равенстве (8) рассматривать верхний предел, а как функцию от интеграла u, монотонно возрастающую непрерывную (и даже дифференцируемую) функцию от φ в промежутке (-; то такая функция носит название амплитуды u (am u) - как её обозначил Якоби - и обозначается так: , или . (9)

А мы обозначим так: , то , или .

Из (8) теперь ясно, что  и, значит, .

Беря от обеих частей равенства (9) синус, мы получим:

 (10)

Функция sn u представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (7), u=t, то, переходя в равенстве (10) с помощью формулы (6), найдём закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию sn, в виде

. (11)

6§. Графики траекторий движения маятника

Построим численно кривые движения математического маятника при различных начальных условиях используя закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию . Задавая угол  и промежуток времени, мы строим графики зависимости  (). Возьмём =Pi/4 и для точности определения зависимости  () возьмём t1=0.10, t2=0.20, t3=0.30. При =5 - >  () = - 1,2; =15 - >  () =1,2 Замечаем, что через каждые 10с, повторяется угол отклонения.

Возьмём =Pi/3 и для точности определения зависимости  () возьмём t1=0.10, t2=0.20, t3=0.30.

При =5 - >  () = - 1,84; =8,44 - >  () =1,86 Замечаем, что через почти каждые 3,5с, повторяется угол отклонения.

Таким образом, мы видим, что движение маятника периодическое. За 1 период при увеличении времени угол сначала увеличивается, а потом уменьшается.

7§. Заключение

В данной работе мы выполнили поставленные задачи и достигли заданной цели. Мы познакомились с такими понятиями, как "математический маятник", "эллиптическая функция" и "эллиптический интеграл"… Отметили, как численно строить соответствующие кривые движения при различных начальных условиях.

8§. Список литературы

1. Беляева Н.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения Сыктывкар, 2012

. Боровой А., Херувимов А. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981.

. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969.

. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления 2 том М.: Наука. 1969.