Материал: Диагностика многофункционального оборудования. методические указания к выполнению контрольных работ для студентов направления 15.04.01 «Машиностроение». Жачкин С.Ю

z F ximax F xi up i 2

где F ximax ,F xi - значения результатов расчетов, полученные для максимального значения i-ro исходного параметра (при средних значениях осталь-

ных параметров) и для среднего значения всех параметров:

F xi F x1,x2 ,...,xn

Fximax F x1, x2 ,...,xi 1,ximax ,xi 1,...,xn

Вслучае, если доверительные вероятности для параметров расчета Xi и запаса прочности заданы одинаковыми:

P1 P2 ... Pn P

то можно использовать следующее соотношение:

где Z- погрешность запаса прочности.

При этом, в случае использования для задания погрешностей правила «трех сигм» вероятность безотказной работы инструмента составит Р = 0,99865.

Если, сохраняя допущения 3 и 4, заменить допущения 1 и 2 (о независимости и нормальном распределении случайных величин) на допущение 5 о том, что все случайные исходные данные xi могут изменяться только строго в пределах от хimin до хimах, то можно получить зависимость для расчета погрешности результатов наихудшего случая:

n

Z F ximax F xi

i 1

Вобщем случае, если для части случайных исходных данных можно принять допущение 2, а для других - допущение 5, используется следующая зависимость:

При проведении реальных вычислений полученный результат означает,

что для оценки погрешности расчета помимо среднего значения результата Z = F(х) должны быть вычислены F(ximax) (ИЛИ F(ximim)) для каждой i-й случайной

величины. Таким образом, длительность расчетов возрастает пропорционально первой степени количества случайных исходных данных. Заметим, что при отказе от допущения 4 (о независимости погрешностей, вносимых различными исходными данными) длительность расчетов возрастала бы экспоненциально при увеличении числа учитываемых случайных исходных данных.

В данном домашнем задании все исходные данные будут приняты нормально распределенными, что позволяет записать:

Z up z MR2 MN2

6

где MR и MN вычисляются по зависимостям аналогичным зависимости

(4):

Из этих зависимостей, в частности, следует, что уменьшение погрешностей как нагрузки, так и прочностных параметров уменьшает необходимый запас прочности, поэтому эти погрешности следует, по возможности, уменьшать. Уравнение (3) при этом примет вид

MR MN MR2 MN2

или

ПРИ ЭТОМ С повышением заданной вероятности безотказной работы прочность конструкции при неизменной нагрузке необходимо будет увеличивать.

Заметим, что приведенные зависимости справедливы не только для расчетов на прочность и могут быть использованы и при проведении других видов расчетов при соблюдении соответствующих допущений.

На практике полученные методами теории надежности решения, как правило, все же не учитывают всех источников погрешностей. Поэтому в расчетах обычно используют также коэффициенты запаса, которые в этом случае назначаются минимальными, что оформляется соответствующим стандартом или нормами, принятыми на конкретном предприятии.

2.Постановка задачи и исходные данные

Вданной контрольной работе необходимо методами теории надежности произвести проектировочный расчет инструмента под действием изгибающего момента, для чего определить величину параметра d сечения державки при заданных вероятностях безотказной работы Р = 0,99865 и Р = 0,99999. Сделать выводы о влиянии заданной вероятности безотказной работы на требуемые размеры сечения державки.

Каждый вариант задания образуется сочетанием букв и цифр, каждая из которых позволяет найти в таблицах П.1..П.6 Приложения все необходимые исходные данные.

Все задаваемые величины считать нормально распределенными. Во всех случаях, кроме прочности материала считать симметричный допуск величины равным трем ее среднеквадратическим отклонениям.

7

В схемах сечений размеры с одинаковыми индексами (например, два размера А1) считать идентичными, а с разными (например, А1 и А2) - считать независимыми случайными величинами. В остальном считать, что приведенные выше допущения 1...4 полностью выполняются.

3. Порядок выполнения контрольной работы

Поскольку при выполнении такого рода расчетов необходимо вычитать близкие значения, во избежание потери точности расчетов результаты промежуточных вычислений округлять не рекомендуется.

1) Расчет допуска предела пропорциональности материала.

Значения погрешностей прочностных параметров материалов в общем случае можно узнать либо из справочников по надежности [2], либо по результатам проведения соответствующих испытаний. Испытания при этом дают намного более надежные результаты, но в рамках данной контрольной работы рекомендуется пользоваться данными из справочника [2], считая что среднее значение предела пропорциональности материала равно номинальному.

В Таблице П.1 Приложения для материалов приведен придел пропорциональности 02 и коэффициент вариации прочности (в пределах одной плавки) vм. Симметричный допуск предела пропорциональности материала принимаем равным трем его среднеквадратическим отклонениям:

02 3vм 02

2) Расчет прочности конструкции Для подбора размеров сечения инструмента необходимо в соответствии с

приведенными в Приложении сечениями и соотношениями их размеров построить функцию зависимости прочности (максимального изгибающего момента, который фактически может выдержать конструкция MR) от размера d:

MR d 0.2Wx

где момент сопротивления Wx определяется методами теории сопротивления материалов [1].

В зависимости от заданной схемы сечения количество и состав случайных величин, от которых зависит MR, может изменяться.

Необходимо определить математическое ожидание MR;

MR MR 0.2,A1,A2,...

И значения MR для смещенного значения каждой из переменных:

MR1 MR 0.2 0.2,A1,A2,...

MR2 MR 0.2,A1 A1,A2,...

MR3 MR 0.2,A1,A2 A2,...

...,

на основании которых рассчитывается погрешность MR;

При этом MR и МR получаются некоторыми функциями от характерного размера d.

8

3) Расчет нагрузки Необходимо построить заданную расчетную схему по приведенным в

таблице размерам. Далее для заданных в таблице нагрузок определяются реакции в опорах и для чего строится эпюра изгибающего момента [3].

С помощью построенной эпюры определяется зависимость для расчета максимального изгибающего момента в сечении державки MN (а, b, с, е, Р, q,

М).

В зависимости от заданной схемы державки и соотношения размеров количество и состав случайных величин, от которых зависит MN, может изменяться.

Необходимо определить математическое ожидание MN. В общем случае оно рассчитывается по зависимости;

MN MN a,b,c,e,P,q,M

Рассчитываются также значения MN для смещенного значения каждой из переменных:

на основании которых рассчитывается погрешность MN

При этом MR и MR, в отличие от случая прочности конструкции, будут иметь конкретные числовые значения.

4) Определение необходимого размера сечения при вероятности безотказной работы 0,99865. Решаем относительно d уравнение

MR MN 2 MR2 MN2

с использования замены переменной х = 10md3, где m - наиболее удобный при решении данного варианта целый показатель степени. Истинным решением полученного квадратного уравнения будет максимальное, так как именно оно соответствует случаю положительной разности MR MN в левой части уравнения.

Полученный размер d можно округлять только в большую сторону, так как иначе заданное условие соблюдаться не будет.

5) Определение необходимого размера сечения при вероятности безотказной работы 0,99999. Решаем относительно d уравнение

с использования замены переменной х = 10md3, где m - наиболее удобный при решении данного варианта целый показатель степени. Истинным решением полученного квадратного уравнения будет максимальное, так как именно оно

9

соответствует случаю положительной разности MR MN в левой части уравнения.

Для погрешностей, заданных по правилу «трех сигм» и вероятности безотказной работы 0,99865

uP’i=3

Для вероятности безотказной работы 0,99999

иР = 4,265

И в этом случае полученный размер d можно округлять только в большую сторону, так как иначе заданное условие соблюдаться не будет.

4. Требования к оформлению контрольной работы

Контрольная работа сдается в машинописном виде на листах А4 в сброшюрованном и подписанном автором виде. Контрольная работа должна содержать титульный лист, оформленный согласно общим правилам оформления технической документации, и выводы, содержащие полученный результат в явной форме. Обязательно приведение соответствующих варианту задания расчетных схем державки и ее сечения. Также в контрольной работе должны быть приведены исходные данные варианта расчета, основные расчетные зависимости, а также отражены результаты промежуточных вычислений.

Заключение

Полученные при вдумчивом выполнении контрольной работы студентом компетенции позволят не только успешно проводить расчеты прочности конструкции облрудования методами теории надежности, но и выполнять по аналогии этими методами другие виды расчетов оборудования стартовых и технических комплексов, в частности тепловые, термомеханические, гидравлические и другие, что позволит студенту в целом стать более востребованным и конкурентоспособным специалистом, способным создавать новые образцы оборудования, отличающегося максимально возможной на текущем уровне науки и техники эффективностью.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика -

М., Высш.шк., 2003.- 479 с.

2.Надежность в машиностроении. Справочник / Под общ. Ред. В.В. Шашкина, Г.П. Карзова – Сбп. Политехника, 1992. – 719 с.

3.Александров А.В. Сопротивление материалов: Учеб. Для вузов/А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин; Под ред. А.В. Александрова. – 3-е

изд. Испр. – М: Высш. Шк., 2003. – 560.

10