ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»
Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова
Выпускная квалификационная работа - магистерская диссертация
по направлению 11.04.04 «Электроника и наноэлектроника»
студента образовательной программы магистратуры «Прикладная физика»
????????? ?????? ??????? ????????? ???? ????????? ??????? ???????? ?????? ? ?????? ?????? Х??????? ? ???????????
Студент
Епифанова Г.С.
Москва 2018
ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»
Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова
ЗАДАНИЕ
на выполнение магистерской диссертации
студенту группы МФЗ161 Епифановой Галине Сергеевне
1. Тема работы
Численный расчет фазовой диаграммы двух связанных цепочек холодных атомов в
рамках модели Хаббарда с притяжением
2. Цель работы
Разработка программного обеспечения и численный расчет фазовой диаграммы двух
связанных цепочек холодных атомов рамках модели Хаббарда с притяжением.
3. Формулировка задания
1) Разработка программы расчета энергетического спектра одномерной цепочки
спинов методом прямой диагонализации.
2) Расчет фазовой диаграммы одной цепочки холодных атомов рамках модели
Хаббарда с притяжением для различных значений параметров модели.
3) Расчет фазовой диаграммы двух связанных цепочек холодных атомов.
Проект ВКР должен быть предоставлен студентом в срок до «25» декабря 2017 г.
Оглавление
Currently, a large amount of theoretical and experimental research in the field of physics of strongly correlated systems is carried out in the world. Interest in such systems has increased particularly in recent years, when the development of low temperature technology has opened up new opportunities and trends in these studies.
In this paper, one-dimensional bound chains of cold atoms interacting by means of atomic spin magnetic moments were considered. On the basis of the Hubbard model with attraction, the numerical calculation of the phase diagram of one, two and three chains of cold atoms was carried out. The calculations were carried out using software of own development in Matlab system and using software package of free distribution of ALPS, managed by commands in Python.
Phase diagrams were calculated for different model parameters and different number of chains, a number of qualitative and quantitative theoretical results were tested.
Введение
Несмотря на свою простоту, модель Хаббарда очень распространена и эффективно описывает взаимодействие между частицами, как фермионатми, так и бозонами. Модель часто применяется для описания многих физических систем, вплоть до высокотемпературных сверхпроводников. В настоящей работе модель Хаббарда с притяжением реализована численно методом прямой диагонализации для расчета фазовых диаграмм одной, двух и трех цепочек холодных атомов. При этом, менялись значения параметров моделей.
Одной из задач ВКР стояла разработка программного обеспечения, позволяющего расчитать энергетический спектр одномерной цепочки спинов методом прямой диагонализации.
В первой главе настоящей работы описывается алгебра гильбертового пространства для случая с многочастичной системой: вводится обозначение векторов, основных операторов, тензорного произведения гильбертовых пространств и особенностями этой системы. Во второй главе описана модель Хаббарда, которая используется в расчетах численный расчет фазовой диаграммы одной, двух и трех цепочек холодных атомов. В следующей главе описываются методы, использованные при моделировании в программе Matlab, а также говорится об особенностях использования пакета ALPS. В главах с четвертой по шестую содержится описание проведенных расчетов и результаты работы.
1. Одиночный спин. Гильбертово пространство
Для описания произвольной физической системы требуется ввести понятие состояния. Если в классической теории состояние системы можно описать набором заданных координат и скоростей всех частей системы в определенный момент времени, то описание микросистем требует более детальных и глубоких параметров. Квантовомеханические системы описываются конечномерными комплексными гильбертовыми пространствами.
В квантовой механике векторное пространство состоит из элементов , которые называются кет-векторами (кетами), которые представляют собой векторы состояния системы. Такие вектора следует рассматривать в качестве векторов-столбцов. Для любого кет-вектора в дуальном пространстве существует бра-вектор, обозначаемый - вектор-столбец.
Скалярное произведение векторов в квантовой механике называется внутренним произведением и обозначается . Результатом этой операции является комплексное число, которое линейно зависит от и антилинейно от . Выразим скалярное произведение через операции с компонентами:
Длина вектора состояния определяется равенством: .
Само Гильбертово пространство можно определить следующими пунтками:
а) векторное пространство комплексных чисел C. Обозначение вектора (или луча) в H принято в виде ;
б) пространство с определенным скалярным произведением , удовлетворяющим следующим свойствам:
- положительная определенность:
- линейность: , где и - комплексные числа
- эрмитовское сопряжение:
в) пространство, нормированное по норме
Действием линейного оператора : можно назвать перевод состояния в состояние .
Для линейного оператора верно равенство:
Где и - произвольные комплексные числа.
Коммутатор операторов и обозначается символом и определяется равенством:
Уравнение на собственные значения и собственные функции в квантовой теории выглядит:
Число - собственное значение оператора , а вектор - собственный вектор линейного оператора .
Условие полноты векторов состояний представляется:
В результате измерения состояние переходит (редуцируется) в состояние , которое является собственным для оператора . Нормированное состояние после измерения имеет вид:
Введем понятие пси-функции которая описывает состояние системы. Физических свойств у нее нет, это комплексная величина, которую нельзя измерить. Квадрат модуля пси-функции - это физическая величина, описывающая плотность вероятности нахождения частицы.
описывает вероятность нахождения частицы в элементе объема .
Условие нормировки волновой функции:
Это условие говорит о том, что вероятность нахождения частицы в объеме dV равна единице.
Если f - физическая величина, то значения, которые она может принимать - являются собственными значениями данной физической величины.
Собственные функции - волновые функции, которые описывают такое состояние системы, находясь в котором физическая величина с некоторой вероятностью принимает значение .
Принцип суперпозиции состояний:
Физическая величина f принимает значение с вероятностью .
Среднее значение физической величины в состоянии :
Как указывалось ранее, каждой физической величине в квантовой механике можно сопоставить некоторый оператор . Среднее значение физической величины в состоянии можно выразить с помощью оператора:
Условие линейности:
Рассмотрим основные операторы физических величин.
I. Оператор координат.
Уравнение на собственные функции и собственные значения:
II. Оператор проекции импульсов.
III. Оператор вектора импульса.
- оператор Набла.
IV. Оператор кинетической энергии.
Кинетическая энергия определяется:
Оператор кинетической энергии выражается:
- оператор Лапласа
Таким образом, оператор кинетической энергии:
V. Оператор потенциальной энергии.
- потенциальная функция.
VI. Оператор полной энергии.
Поскольку полная энергия есть сумма кинетической и потенциальной:
Уравнение на собственные функции и собственные значения для полной энергии:
Таким образом, получилось уравнение Шредингера для стационарных состояний:
Для свободных частиц .
VII. Оператор гамильтониана.
Зная функцию в момент времени , можно найти во момент времени .
Оператор гамильтониана, поскольку он линейный и эрмитов, соответствует некоторой физической величине - полной энергии .
собственные значения . - собственные функции .
Общее уравнение Шредингера:
Для стационарного уравнения Шредингера:
Оператор гамильтониана соответствующей энергии:
VIII. Оператор момента импульса.
В классической механике момент импульса материальной точки относительно начала отсчета определяется:
где - радиус-вектор частицы, а - ее импульс. Аналогично этому определению вводится оператор момента импульса в квантовой механике:
Это векторный оператор, поэтому его можно представить как сумму операторов проекций:
Где операторы проекций момента импульса определяются:
Можно определить коммутаторы:
IX. Оператор квадрата момента импульса.
Из операторов , , составим оператор квадрата абсолютной величины вектора момента:
Этот оператор коммутативен с каждым из операторов , , , как было отмечено ранее.
Вместо операторов и часто бывает удобнее пользоваться их комплексными комбинациями:
Для этих комбинаций справедливы следующие соотношения:
Теперь перечислим, как выглядят основные операторы с использованием вторичное квантование.
Оператор импульса:
Оператор кинетической энергии:
Оператор числа частиц:
Где с - оператор рождения, а - уничтожения.
Теперь перейдем к описанию систем с несколькими частицами.
2. N спинов. Тензорное произведение Гильбертовых пространств
Пусть - гильбертовы пространства двух квантовых систем со скалярными произведениями . Тогда система, состоящая из двух квантовых систем должна описываться тензорным произведением гильбертовых пространств, построение которого будет описано дальше.
Пусть элемент определяет антилинейную функцию аргумента . Пусть имеются два элемента . Тогда би-антилинейную функцию аргументов обозначим и определим соотношением:
Рассмотрим векторное пространство конечных линейных комбинаций таких функций . Введем скалярное произведение на пространстве , полагая:
Определенное выше пространство L с указанным скалярным произведением называется тензорным произведением гильбертовых пространств: .
Если - ортонормированные базисы в соответственно, то ортонормированным базисом в будет . .
Следовательно, любой вектор однозначно выражается:
Произведем суммирование по индексу j, также обозначим . Тогда получим, что в общем случае гильбертово произведение изоморфно прямой ортогональной сумме слагаемых :
Теперь зададим тензорное произведение операторов в пространствах :
Если зафиксируем базис в , чтобы представлялось как , то можно представить в виде блочной матрицы: , где - матрица оператора в базисе Тогда произвольный вектор в будет задаваться блочной матрицей .
Пусть некий линейный оператор действует в пространстве состояний составной системы. Тогда элементы матрицы оператора выражаются:
3. Модель Хаббарда
Модель Хаббарда -- приближение, используемое в физике твёрдого тела для описания перехода между проводящим и диэлектрическим состояниями, с учетом перескоков электронов на соседние атомы и кулоновского отталкивания на узле. В модели используется гамильтониан Хаббарда (1), состоящий из двух слагаемых [1]. Первый член гамильтониана (кинетическая энергия) описывает перескоки электронов на соседние узлы с амплитудой , второй член описывает кулоновское отталкивание электронов на узле с потенциалом U и учитывает, что одновременно на узле могут находиться частицы только с противоположным спином.
(1)
В приближении ближайших соседей гамильтониан Хаббарда запишется в следующем виде:
(2)
Впервые модель была предложена (в 1963 году) для описания электронов в твёрдых телах, помогла объяснить фазовые переходы «металл - изолятор» в переходных металлах с узкими зонами. С тех пор модель особенно интересна при изучении высокотемпературной сверхпроводимости, наноструктур, квантовых точек и ям. Позднее стала использоваться при описании поведения ультра холодных атомов в оптических решётках.
4. Методы моделирования и программное обеспечение
Как было сказано ранее, в работе использовалась система Matlab и программный пакет ALPS. Matlab удобен в использовании, поскольку он содержит различные встроенные функции, позволяющие решать множество технических задач, и обладает достаточно простым интерфейсом. Система Matlab умеет проводить операции со скалярами, векторами, матрицами и единицами измерения, поэтому она часто используется для численных и символьных вычислений.