Материал: Численное решение уравнения теплопроводности

Рис. 2.5. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u4, u5 (режим отображения чисел)

Рис. 2.6. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u4, u5 (режим отображения формул)

Полученные значения температуры сводим в единую таблицу (Рис.2.7).

Рис.2.7. Полученное решение (режим отображения чисел)

Рис.2.8. Полученное решение (режим отображения формул)

График изменения температуры в точке области x=1,2 и при значении времени t=0,6

Строим графическое представление полученного решения (Рис.2.9).

Рис.2.9. Графическое представление решение уравнения теплопроводности

3.     
Численное решение уравнения теплопроводности в пакете математических расчётов MathCAD

Начиная решение, введем исходные данные и вычислим значения температуры на нулевом временном слое по начальными условиями (1.9). Далее зададим матрицу коэффициентов системы - матрица А и столбец свободных членов (1.16). Находим решение системы, т.е. температура на первом временном слое u1, и показываем результат вычислений (рис 2.1).Определенна температура для внутренних узлов сетки. Для того, чтобы найти температуру на втором временном слое нужно решить систему с измененным столбцом свободных членов. Для получения решения на втором временном слое нужно пересчитать свободный столбец системы и снова ее решить. Особенность вычисления в пакете MathCAD является то, что индексы у векторов отсчитываются от нуля, поэтому появляется несоответствие в записи формул. Решение для второго слоя u2 приведено на рис.2.3.

Рис 3.1. Решение уравнения теплопроводности на первом временном слое

Рис 3.2. Решение уравнения теплопроводности на втором временном слое

Рис 3.3. Решение уравнения теплопроводности на третьем временном слое

Повторяя вычисление столбца свободных членов и решение системы еще 4 раза, получим u1, u2,u3, u4,u5 и u6 содержание значения температуры во внутренних точках сетки. Далее предстоит собрать в одну матрицу начальные значения, краевые и вычисленные во внутренних узлах.

Рис 3.4. Решение уравнения теплопроводности на четвертом временном слое

Рис 3.5. Решение уравнения теплопроводности на пятом временном слое

Рис. 3.6. Результат решения уравнения теплопроводности

Рис. 3.7 Графическое представление решения

4.      Анализ результатов расчета

Решение, полученное средствами обоих пакетов, совпадает, что подтверждает правильность выполненных расчетов. Решение позволяет ответить на ряд вопросов о характере распределения температуры в области. Температура изменяется в области получения решения монотонно, без разрывов. Можно определить наименьшую и наибольшую температуру и их расположение в области, например как рис.4.1.Можно проследить распределение температуры в определёние температуры изменение в определенный момент времени (например, как на рис. 4.2), а также температуры в некоторой точке области за промежуток времени (например, как на рис 4.3).

Рис 4.1. Анализ решения на максимальное и минимальное значения

Рис.4.2. График изменения температуры в момент времени t=0.6

Рис.4.3. График изменения температуры в точке x=1.2

Заключение

Полученное решение, выполненное в пакетах Microsoft Excel и MathCad, совпадает, что подтверждает правильность выполненных расчетов. Решение позволяет ответить на вопросы о характере распределения температуры в области. Температура изменяется в области получения решения монотонно, без разрывов. Можно определить наименьшую и наибольшую температуру и их расположение в данной области (рис.4.1). Можно проследить распределение температуры в определенный момент времени (Рис. 4.2), а также температуры в некоторой точке области за промежуток времени (Рис. 4.3).

Список литературы

1. Быкова О.Г. Информатика. Математические методы в процессах добычи нефти и газа: методические указания по выполнению курсовой работы. Спб,2010. 39 с.

. Быкова О.Г. Информатика. Работа в пакете MATHCAD: методические указания к выполнению лабораторных работ. СПб, 2005.46 с.

. Быкова О.Г. Информатика. Решение нелинейных и дифференциальных уравнений: методические указания к выполнению практических и лабораторных работ. СПб, 2009.70с.

. Быкова О.Г. Информатика. Вычисления в Microsoft Excel: методические указания к самостоятельной работе. СПб, 2008.58с.