Решая совместно уравнение (4), и уравнение (3), получим выражение для радиуса n-й стационарной орбиты:
(n = 1, 2, 3, …).
Из выражения (5) следует, что радиусы орбит растут пропорционально квадратам целых чисел. Для атома водорода (Z = 1) радиус первой орбиты электрона при n = 1, называемый первым боровским радиусом (rB), равен
Полная энергия электрона в водородоподобной системе складывается из его кинетической энергии и потенциальной энергии в электростатическом поле ядра :
[учли, что см.(4)]. Учитывая квантованные для радиуса n-й стационарной орбиты значения (5), получим, что энергия электрона может принимать только следующие дозволенные дискретные значения:
(n = 1, 2, 3, …),
где знак « - » означает, что электрон находится в связанном состоянии.
Из формулы (7) следует, что энергетические состояния атома образуют последовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от значения n. Целое число n в выражении (7), определяющее энергетические уровни атома, называется главным квантовым числом. Энергетическое состояние с n = 1 является основным (нормальным) состоянием; состояния с n > 1 являются возбужденными. Энергетический уровень, соответствующий основному состоянию атома, называется основным (нормальным) уровнем; вес остальные уровни являются возбужденными.
Придавая n различные целочисленные значения, получим для атома водорода (Z = 1), согласно формуле (7) возможные уровни энергии, схематически представленные на рис. 7 и 8. Рис. 7 иллюстрирует образование спектральных серий в излучении атома водорода при переходе электрона с высоких стационарных орбит на более низкие. На рис. 8 изображена диаграмма энергетических уровней атома водорода и указаны переходы, соответствующие различным спектральным сериям. Энергия атома водорода с увеличением n возрастает и энергетические уровни сближаются к границе, соответствующей значению n = ?. Атом водорода обладает, таким образом, минимальной энергией (Е1 = = - 13,6 эВ) при п = 1 и максимальной (Е? = 0) при n = ?. Следовательно, значение Е? = 0 соответствует ионизации атома (отрыву от него электрона). Согласно второму постулату Бора (см. (1)), при переходе атома водорода (Z = 1) из стационарного состояния n в стационарное состояние т с меньшей энергией испускается квант
Рис. 7 Стационарные орбиты атома водорода и образование спектральных серий
Откуда частота излучения
Воспользовавшись при вычислении R современными значениями универсальных постоянных, получим величину, совпадающую с экспериментальным значением постоянной Ридберга в эмпирических формулах для атома водорода.
Прекрасное согласие боровской теории атома водорода с экспериментом служило веским аргументом в пользу ее справедливости. Стало ясно, что атомы - это квантовые системы. Энергетические уровни стационарных состояний атомов дискретны. Представление о дискретных состояниях противоречит классической физике. Поэтому возник вопрос, не опровергает ли квантовая теория законы классической физики. Квантовая физика не отменила фундаментальных классических законов сохранения энергии, импульса, электрического разряда и т. д. Согласно сформулированному Н. Бором принципу соответствия, квантовая физика включает в себя законы классической физики, и при определенных условиях можно обнаружить плавный переход от квантовых представлений к классическим. Это можно видеть на примере энергетического спектра атома водорода (рис. 8). При больших квантовых числах n >> 1 дискретные уровни постепенно сближаются, и возникает плавный переход в область непрерывного спектра, характерного для классической физики.
Рис. 8 Диаграмма энергетических уровней атома водорода. Показаны переходы, соответствующие различным спектральным сериям. Для первых пяти линий серии Бальмера в видимой части спектра указаны длины волн
Недостатки теории Бора. Попытки применить теорию Бора к более сложным атомам (даже для атома гелия) не увенчались успехом. Эта теория обладает внутренними противоречиями: с одной стороны, применяет законы классической физики, а с другой - основывается на квантовых постулатах. Бор не смог дать физическую интерпретацию правилу квантования. Это было сделано де Бройлем (1923) на основе представлений о волновых свойствах частиц.
5. Гипотеза де Бройля
Гипотеза де Бройля о волновых свойствах вещества. Де Бройль, развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой природе света, выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Он предположил, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами. Итак, согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики - энергия Е и импульс р, а с другой - волновые характеристики - частота и длина волны . Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:
Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляется волновой процесс, длина волны которого определяется по формуле де Бройля:
Де Бройль предложил, что каждая орбита в атоме водорода соответствует волне, распространяющейся по окружности около ядра атома. Стационарная орбита возникает в том случае, когда волна непрерывно повторяет себя после каждого оборота вокруг ядра. Другими словами, стационарная орбита соответствует круговой стоячей волне де Бройля на длине орбиты (рис. 9). Это явление очень похоже на стационарную картину стоячих волн в струне с закрепленными концами. В стационарном квантовом состоянии атома водорода на длине орбиты должно укладываться по идее де Бройля целое число длин волн л, то есть
nлn = 2рrn
Подставляя в это соотношение длину волны де Бройля л = h / p, где p = meх - импульс электрона, получим:
или
Таким образом, боровское правило квантования (3) связано с волновыми свойствами электронов.
Рис. 9 Иллюстрация идеи де Бройля возникновения стоячих волн на стационарной орбите для случая n = 4
Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля. Вскоре гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1927 г. К. Дэвиссон и Л. Джермер обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки - кристалла никеля,- дает отчетливую дифракционную картину. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа - Брэггов, а брэгговская длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычисленной по формуле (11).
В дальнейшем формула де Бройля была подтверждена опытами П.С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (энергия == 50 кэВ) через металлическую фольгу (толщиной ? 1 мкм).
Впоследствии дифракционные явления обнаружили также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило доказательством наличия волновых свойств микрочастиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося определенной длиной волны, рассчитываемой по формуле де Бройля (11). Открытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению и развитию новых методов исследования структуры веществ, таких, как электронография и нейтронография, а также к возникновению новой отрасли науки - электронной оптики.
Экспериментальное доказательство наличия волновых свойств микрочастиц привело к выводу о том, что перед нами универсальное явление, общее свойство материи. Но тогда волновые свойства должны быть присущи и макроскопическим телам. Почему же они не обнаружены экспериментально? Например, частице массой 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с соответствует волна де Бройля с л = 6,62 · 10-31 м. Такая длина волны лежит за пределами доступной наблюдению области. Поэтому считается, что макроскопические тела проявляют только одну сторону своих свойств - корпускулярную и не проявляют волновую.