В данном примере система имеет семь состояний. Отказовые состояния помечены на графе штриховкой. С использованием описанных выше правил формируем по составленному графу (см. рис. 1) уравнения Колмогорова в форме (1): = A• P; P0. Здесь: A - (7Ч7)-матрица коэффициентов; P - (7Ч 1) - вектор вероятностей состояний Pi; P0 - вектор начальных условий.
Рис.1 Граф системы
Матрица А и вектор P0этих уравнений для данного примера имеют вид:
P0= |1 0 0 0 0 0 0|Т;
Преобразования(6) - (8) полученных уравнений выполним, выражая вероятность седьмого состояния системы: P7 = 1 - (P1 + P2 + …P5 + P6) =1 - с • р . Здесь р - (6Ч 1) -вектор, содержащий первые шесть элементов вектора Р; строка с = | 111111 |.
После замены в векторе Р элемента P7, получаем преобразованные УрК в форме (8): = M • p + b; M- (6Ч 6) -матрица; b - (6Ч 1) -вектор, составленный из первых шести членов последнего столбца матрицы А.
Выберем в рассматриваемой обратной задаче критерий в виде установившегося значения вероятности безотказной работы системы. Эта вероятность в данном случае может быть выражена как:
ро = 1 - hs • p(?), hs = | 0 0 0 111|,
де вектор p(?) определяется выражениями (9). Максимизация вероятности (10) по искомому вектору µ составляет сущность данной обратной задачи.
В настоящем материале решение данной задачи получено в среде mathcad для значений интенсивности отказов ?1 = 0,2 1/час, ???= 0,1 1/час и ?3= 0,1 1/час.
В подобных задачах требуется ограничивать значения µ сверху, что позволяет учесть реальные возможности ремонтно-восстановительных структур. Такие ограничения могут вводиться на максимальные значения µ или сумму(Q) элементов вектора µ. В данном примере было принято Q = 1; значения Q выбираются в файле из списка. Также мы наложили условие на запас устойчивости в виде неравенства Re(zm) < 0, где zm -- наиболее близкое к мнимой оси с.ч. матрицы M(µ).
На рис. 2 приведен заключительный этап решения, в котором искомый вектор (µ0) находится с использованием процедуры maximize. Выводятся значения элементов µ0 и вероятности ро(µ0) = 0.774 безотказной работы. Не трудно видеть, что сумма элементов вектора µ равна заданному значению Q.
Рис. 2. Получение значений искомого вектора.
Повышение вероятности ро может быть достигнуто при уменьшении значений? и/или увеличении значений Q.
В нижней строке рис. 3 выведены также минимальное (р0 = 0.068) и максимальное (р1 = 0.397) значения вероятностей состояний данной системы.
Интерактивный файл, размещенный в [6], позволяет получать решения для других исходных данных.
Заключение
Ограниченность объема данного материала не позволяет рассмотреть другие задачи анализа характеристик надежности МСОВ. Однако подробное описание свойств УрК и рассмотренная в примере обратная задача, а также интерактивные ресурсы авторов [6] позволят читателю успешно ставить и решать собственные задачи вероятностного анализа надежности МСОВ в статике и динамике. Полученные в результате работы методы анализа вероятностных характеристик могут использоваться для уменьшения издержек, повышения эффективности в любом виде деятельности.
В дальнейшем планируется автоматизировать составление системы дифференциальных уравнений Колмогорова по графу, а также создать ресурс, позволяющий учитывать категорию отказа (например мелкие, значительные).
При этом переход из рабочего состояния в отказовое может происходить в результате отказов различных категорий со случайным их выбором. Каждой категории будет соответствовать своя интенсивность и вероятность появления таких отказов, а так же состояние МСОВ возникающее после отказа данной категории. Такого рода спецификация будет достигаться за счет введения дополнительных состояний.
Литература
1. Волков, И.К. Случайные.процессы /И.К. Волков, С.М. Зуев, Т.М. Цветкова. - Москва: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 448 с.
2. Ивановский, Р.И. Теория вероятностей и математическая статистика / Р.И.Ивановский. - Спб.: «БХВ-Петербург», 2008. - 512 с.
3. Глазунов, Л.П. Основы надежности автоматических систем управления /Л.П. Глазунов, В.П. Грабовецкий, О.В. Щербаков. - Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отделение, 1984. - 208 с.
4. Вентцель, Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология/Е.С.Вентцель. - 2-е изд., стер. - Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 208 с.