Курс лекций: Аналитические методы и модели в экономике и управлении

Выделим следующие этапы цикла принятия и реализации решений:

1. Сбор исходных данных и анализ экономической проблемы.

2. Обоснование оптимального решения и его принятие.

3. Реализация решения.

4. Оценка полученного результата и при необходимости внесение изменений в регламентные процедуры.

Характерным примером для данной темы является проблема распределения ограниченного ресурса. Она возникает в бюджетной сфере государственного и муниципального управления, производственных системах (корпорациях), при организации коллективных действий в социологии и политике и др.

Пусть Центр располагает ограниченным ресурсом в объеме и ставит задачу его распределения по исполнителям так, чтобы суммарная эффективность использования ресурса была максимальной. Обозначим объем ресурса, выделяемого исполнителю i (i=1,…,n). Будем считать, что вклад исполнителя i в суммарную эффективность зависит от объема выделенного ресурса и определяется выражением: , где - коэффициент, истинное значение которого Центр оценивает с погрешностью.

В предположении, что Центр идеально информирован, найдем оптимальное распределение решением следующей задачи:

;(2.10)

.(2.11)

Задание 2.4. Доказать, что в рассматриваемой формализации задачи при оптимальном решении Центр распределяет весь объем наличного ресурса и балансное ограничение (2.11) выполняется как равенство: Решение задачи (2.10) - (2.11) найдем с использованием метода множителей Лагранжа. Ограничение пока не рассматриваем. Запишем функцию Лагранжа:

.(2.12)

Составим систему из (n+1) уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по и по : .

Найдем решение первых n уравнений записанной системы в зависимости от :

.(2.13)

Рассматриваем последнее уравнение системы с учетом выражения (2.13):

. (2.14)

Из выражений (2.13) и (2.14) имеем:

.(2.15)

В рассматриваемом случае найденное решение системы (n+1) уравнений удовлетворяет ограничению и является оптимальным распределением ресурсов в задаче (2.10) - (2.11), поскольку она относится к классу задач выпуклого программирования.

Рассмотрим порядок использования полученных расчетов на практике контроля процессов принятия и реализации решений, которое можно провести только после завершения цикла (после полной или частичной реализации решения). Для этого предлагается использовать расчетные и фактические значения эффективностей распределения и использования ресурсов. Профессиональное расследование эффективностей проводится с использованием методов экономической безопасности.

Оптимальное распределение ресурса согласно (2.15) зависит от коэффициента : . Если при распределении ресурсов (не важна причина) использовались оценки , то фактические эффективности отличаются от истинных значений (которые аналитику следует восстановить). Согласно этапу п.4 цикла принятия и реализации решений необходимо внести изменения в регламенты. Но тогда необходимо выяснить причины отклонений: либо искажение информации, либо ошибки формализации проблемной ситуации, либо погрешности вычислений, либо объективное изменение условий принятия и реализации решений.

2.5 Типовые задачи, решаемые с использованием инструмента Excel «Поиск решения»

Поиск решений - надстройка (инструмент) Excel, которая помогает найти решение с помощью изменения значений целевых ячеек. Целью может быть минимизация, максимизация или достижение некоторого целевого значения. Проблема решается путем регулировки входных критериев или ограничений, определенных пользователем.

В рассматриваемом курсе этот инструмент используется при оптимизации инвестиционного портфеля, при прогнозировании доходности вложения денежных средств в условиях нестабильной экономики (раздел 3) и при исследовании задач блочного программирования (раздел 5).

Задание 2.5. Рассмотреть порядок актуализации и примеры использования инструмента «Поиск решения» самостоятельно по указанной выше ссылке и с использованием программных средств лабораторных работ портфельного анализа.

3. Математические и инструментальные методы портфельного анализа

Портфельный анализ. Модель Марковица. Формирование таблицы вариантов инвестиционных портфелей. Поддержка решений при оптимизации портфельных инвестиций в условиях стабильной и нестабильной экономики.

3.1 Портфельный анализ. Модель Марковица

Портфельная теория Марковица (англ. mean-variance analysis) -- подход, основанный на анализе ожидаемых средних значений и вариаций случайных величин) -- разработанная Гарри Марковицем методика формирования инвестиционного портфеля, направленная на оптимальный выбор активов, исходя из требуемого соотношения доходность/риск. Сформулированные им в 1950-х годах идеи составляют основу современной портфельной теории.

Можно рассмотреть два различных подхода к формированию портфеля.

Первый связан с выбором активов, доходность которых стабильна, но существует не нулевая вероятность потери активов. Тогда цель портфельного анализа состоит в определении оптимального набора активов, при котором риски потерь являются минимальными. Данная стратегия портфельного анализа выражена рекомендацией: «не храните яйца (деньги) в одной корзине (в одном банке, одном активе)».

Второй подход, для которого применима теория Марковица, состоит в выборе совокупности компенсационных активов. Считается, что доходность активов является случайной величиной, но вероятности их полных потерь нулевые. Тогда цель портфельного анализа состоит в выборе совокупности активов, которая обеспечит высокую среднюю доходность (критерий 1) и минимальное отклонение уровня дохода от этого среднего (критерий 2 - риск должен быть минимальным). Снижение риска достигается использованием компенсационных активов, коэффициент корреляции доходностей которых является отрицательным. Модель Марковица позволяет выбрать оптимальный набор компенсационных активов с высокой средней доходностью.

При записи модели используются свойства математического ожидания и формула математического ожидания суммы случайных величин. Пусть для формирования оптимального портфеля выбраны n активов, доходность которых на период инвестирования - случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями . Пусть - доли использования каждого актива в формируемом портфеле, которые удовлетворяют условиям:

.(3.1)

Тогда доходность портфеля на периоде инвестирования - случайная величина, которая зависит от доходности активов и определяется по следующей формуле:

.(3.2)

Найдем математическое ожидание (среднее значение) доходности :

.

Формулу для средней доходности портфеля можно записать в более наглядном виде:

.(3.3)

Из формулы (3.3) следует, что средняя доходность формируемого портфеля определяется средними доходностями активов и долями их включения в портфель.

Найдем выражение для дисперсии доходности портфеля :

.

Откуда получаем формулу для дисперсии портфеля в матричной записи:

.(3.4)

Здесь вектор - доли активов размерностью (1 Ч n); - вектор столбец долей активов размерностью (n Ч 1); - ковариационная матрица активов, которая отражает взаимозависимость доходностей выбранных активов, размерностью (n Ч n).

Модель Марковица предписывает выбор оптимального вектора долей, при котором средняя доходность портфеля должна быть не меньше заданной инвестором величины (ограничение на критерий 1), а уровень риска отклонения доходности от средней величины был бы минимальным (минимизация критерия 2) Рекомендуется выполнить Задание 2.1 раздела 2 для исследования способа решения двухкритериальной задачи принятия решений, к которой относится модель Марковица. . Математически модель записывается с использованием выражений (3.1), (3.3), (3.4) в следующем виде. Найти из условий:

;(3.5)

;(3.6)

.(3.7)

Задание 3.1. Доказать, что средний уровень доходности портфеля изменяется в пределах: , т.е. от минимальной средней до максимальной средней доходностей выбранных активов:

.(3.8)

Учитывая утверждение в задании 3.1, аналитику следует рекомендовать инвестору указанные там границы для выбора требуемой доходности . Рассмотрим уровни риска для оценок реальной доходности портфеля. Обозначим границы доходности портфеля: %Низ и %Верх. Математическая статистика дает следующие доверительные интервалы для реальной доходности портфеля (см. формулу (3.2)):

%Низ %Верх, где %Низ = ; %Верх = . (3.9)

Здесь - квантиль распределения доходности, определяемый заданным уровнем доверительной вероятности (для нормального распределения и уровня значимости 5% ). Задание 3.2. Провести сравнение приведенных формул модели Марковица (3.5) - (3.7), границ изменения средней доходности портфеля (3.8) и уровней риска доходности (3.9) с формулами программы «Портфельный анализ СЭ.xls». Указать номера ячеек листа Excel, в которых вычисляются соответствующие величины.

3.2 Портфельный анализ. Формирование таблицы вариантов инвестиционных портфелей

Для использования модели Марковица на практике необходимо найти вероятностные оценки ее параметров (эта задача решается в Теме 3.3) и обосновать выбор уровня средней доходности портфеля . Эту задачу решаем в данном разделе путем формирования таблицы вариантов инвестиционных портфелей при разных значениях . В таблице 3.1 приведены 10 вариантов портфеля, сформированного из 5 активов (расчеты проведены в среде Excel).

Таблица 3.1. Пример вариантов портфеля, полученных с использованием модели Марковица при изменении равномерно в пределах 1,8% до 5.1%.

В приведенной таблице первые три портфеля совпадают по всем параметрам, так как при выбранных исходных данных ограничение (3.6) модели Марковица выполняется как строгое неравенство. По остальным портфелям наблюдается закономерность в изменении долей активов А1 - А5, включенных в портфель (см. данные столбцов 2 - 6 таблицы). Характерным свойством таблицы вариантов является увеличение риска доходности, определяемого величиной доверительного интервала (столбец ДИ%), с ростом средней доходности (столбец данных СД%).

Задача аналитика состоит в обосновании рекомендации для инвестора по выбору оптимального варианта портфеля. Данная задача может быть решена с использованием экономико-математических методов принятия решений в условиях риска и неопределенности файл «Решения при неопределенности.pdf» учебных материалов кафедры МЭММБИ АГУ..

При использовании максиминных стратегий (принцип максимальной гарантированной доходности портфеля) оптимальным вариантом в таблице 3.1 следует считать портфель 7.

Задание 3.3. Пояснить порядок выбора варианта 7 и дать его полную характеристику.

Задание 3.4. Обосновать порядок проведения дополнительных расчетов при необходимости повышения точности расчетов оптимального портфеля.

3.3 Поддержка решений при оптимизации портфельных инвестиций в условиях стабильной и нестабильной экономики

Проведенный выше портфельный анализ базировался на использовании теоретических знаниях Для подтверждения этого утверждения смотрите выше слова: «Портфельная теория Марковица». и в модели Марковица использованы теоретические модели процессов. Однако в настоящее время не существует теории для оценок параметров этой модели: ковариационной матрицы в формуле (3.4) и прогнозов средних доходностей выбранных активов в формуле (3.3). На практике эти количественные данные оцениваются на основе эмпирического подхода (на основе наблюдений количественных данных).

Следует иметь в виду, что основной принцип эмпирического подхода «так было, так будет!» не всегда выполняется Анализ эмпирического подхода проведен в главе 1 книги: «Максимов А.В., Оскорбин Н.М. Многопользовательские информационные системы: основы теории и методы исследования. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2013».. Эмпирические знания верны для стабильной экономики, для которой комплекс закономерностей формирования событий в прошлом без изменения может быть перенесен на будущее. Тогда для оценок и можно использовать временные ряды совместных значений доходностей в прошлом и статистические методы их обработки. Пример исходных данных квартальных доходностей 5 активов представлен в таблице 3.2.