Під час доведення теорем дозволяється користуватися основними властивостями найпростіших фігур, тобто аксіомами, а також уже доведеними властивостями, тобто теоремами. Ніякими іншими властивостями фігур, навіть якщо вони нам видаються очевидними, користуватись не можна.
При доведенні теорем можна користуватися рисунком, як геометричним записом того, що виражається словами. Під час міркувань не дозволяється використовувати властивості фігур, які видно з рисунка, якщо не можна обґрунтувати їх, спираючись на аксіоми і теореми, доведені раніше».
. Вимірювання геометричних величин займає значну частину шкільного курсу геометрії, зокрема при розв'язуванні задач. У той же час введення понять вимірювання відрізків і кутів є одним із найскладніших для учнів 7 класу. Ці поняття можна ввести по-різному, Один із способів введення поняття величини відрізка і кута, який використовується в інших підручниках з геометрії, базується на понятті накладання, точніше, переміщення, бо накладання можна виконати тільки уявно. При заміні поняття «довжина» поняттям «відстань» треба формулювати аксіоми відстані.
Взагалі питання вимірювання довжини відрізка прямої еквівалентне питанню побудови теорії дійсних чисел, оскільки можна встановити взаємно однозначну відповідність між точками прямої і множиною дійсних чисел. Але цей шлях для учнів 7-9 класів також не підходить.
Тому О.В. Погорєлов у своєму підручнику, враховуючи вікові та пізнавальні можливості учнів, починаючи з 7 класу обходить теоретичні питання вимірювання довжин відрізків та величин кутів, замінивши їх достатньою мірою адекватними моделями - відповідно масштабною лінійкою і транспортиром, що не знижує наукового рівня розуміння основних властивостей вимірювання відрізків і кутів. Тоді аксіоми III і V стають цілком доступними для учнів 7 класу.
. Досить важливим у геометрії є поняття рівності фігур. У багатьох шкільних підручниках геометрії поняття рівності вводиться на основі властивостей руху, при цьому формулюються властивості (аксіоми) руху, які важко сприймаються на рівні 7 класу.
О.В. Погорєлов у своєму підручнику поняття рівності відрізків і кутів вводить на основі аксіом III і V вимірювання (п. 9 § 1):
«Два відрізки називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину.
Два кути називаються рівними, якщо вони мають однакову кутову міру в градусах.
Трикутники називаються рівними, якщо в них відповідні сторони рівні і відповідні кути рівні. При цьому відповідні сторони мають лежати проти відповідних кутів». В означенні рівності трикутників особливо підкреслюється, що рівними мають бути відповідні сторони і відповідні кути, чого раніше в подібних означеннях не було.
Вводячи аксіому VIII, О.В. Погорєлов виключив використання досить складних за змістом і абстрактних аксіом руху і забезпечив можливість аксіоматичного викладу матеріалу про ознаки рівності трикутників.
Аксіома VIII про існування рівних трикутників дуже проста за формулюванням, доступна учням 7 класу і конструктивна: кожний учень може переконатись в існуванні трикутника, рівного даному, за допомогою побудови.
Пізніше, у 8 класі, після вивчення властивостей рухів поняття рівності фігур вводиться узагальнено: дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться одна в іншу певним рухом (§ 9).
Геометрична система будується не тільки на аксіомах (основних властивостях) і теоремах, а й на означеннях.
У підручнику О.В. Погорєлова даються означення всіх понять, які використовуються при побудові геометрії. Більшість означень понять дано так, що в них правильно і послідовно закріплюються результати діяльності мислення. Використовуються в основному означення двох видів - описові (дескриптивні) і конструктивні. Прикладами конструктивних означень є означення трикутника, кола тощо. Наприклад, трикутник визначається не як частина площини, а як фігура, утворена трьома точками, що не лежать на одній прямій, і трьома відрізками, які попарно сполучають ці точки. Взагалі, до вивчення § 13 «Площі фігур» та § 20 «Об'єми тіл» у підручнику О.В. Погорєлова планіметричні, а потім і стереометричні фігури розглядаються як каркасні, що більше відповідає фактичному виконанню рисунків або конструкцій (моделей) цих фігур.
4. У підручнику О.В. Погорєлова немає прийнятої в інших навчальних посібниках символіки. Надмірне захоплення символікою в 7 класі лише гальмує розвиток логічного мислення учнів, оскільки водночас необхідно стежити за логікою міркувань і вникати в зміст застосовуваних символів. Автор дотримується традиційної точки зору на використання символіки: формування понять неможливе без слів, а мислення в поняттях неможливе без усного мовлення. Експериментальні дослідження показали, що учні краще розуміють матеріал без використання спеціальної символіки. Звичайно, вчителеві зручно використовувати більше символіки для скорочених записів на дошці і в зошитах доведення теорем і розв'язання задач. Але затрати часу на засвоєння символіки не компенсуються скороченими записами, основний час уроку треба витрачати на навчання учнів міркувати.
5. Наприкінці кожного параграфа підручника з геометрії є запитання для повторення, за допомогою яких здійснюється контроль знань, умінь, навичок учнів. У цих запитаннях передбачено, що учень має вивчити напам'ять, що повинен уміти довести, а що просто пояснити на прикладах. На оцінку знань учнів істотно впливає і вміння розв'язувати задачі з підручника.
Отже, як видно з короткого огляду особливостей викладу матеріалу геометрії, запропонована система аксіом є науковою основою підручника О.В. Погорєлова, вона доступна учням. Всі планіметричні аксіоми розміщені на початку курсу геометрії, вони дають можливість побудувати курс геометрії дедуктивно, на високому науковому рівні. Звертаємо увагу на те, що ця система аксіом є науковою основою для засвоєння найважливіших понять курсу геометрії, таких, як відрізки, кути, рівність відрізків і кутів, рівність трикутників, паралельність прямих, сума кутів трикутника тощо.
Традиційна побудова курсу, в якому основним методом доведення є використання ознак рівності трикутників, приводить до того, що доведення з посиланням на аксіоми триває недовго: досить швидкий перехід до теорем про рівність трикутників дозволяє далі використовувати їх для доведення всіх наступних тверджень і розв'язання задач без прямого посилання на аксіоми.
Зрозуміло, що не треба семикласникам пояснювати суть аксіоматичного методу побудови геометрії. Це, по-перше, не вимагається програмою, по-друге, у процесі вивчення геометрії учні поступово звикатимуть до ідеї її дедуктивної побудови, а закінчивши вивчення планіметрії, дістануть загальне уявлення про геометрію як логічну науку. Таким чином, вибрана О.В. Погорєловим система аксіом шкільного курсу геометрії надала можливість досягти досить високого рівня доведення тверджень, а логічна послідовність викладення матеріалу і знайдені автором нові математичні підходи до викладення важких розділів дозволили значно скоротити зміст і обсяг підручника.
Метрична система аксіом О.В. Погорєлова дозволяє уже з 8-го класу ефективно використовувати при доведенні геометричних тверджень координатний метод і цим самим зменшити обсяг матеріалу, а також створити умови для здійснення внутрішньо предметних зв'язків геометрії і алгебри.
Традиційний зміст і аксіоматична побудова геометрії в підручнику «Геометрія 7-10» О.В. Погорєлова, його внутрішньо предметні зв'язки і орієнтація на учнів - усе це має єдину мету: розвивати в учнів логічне мислення.
2.4 Система
аксіом Л.С. Атанасяна
Один із варіантів аксіоматики шкільної геометрії для загальноосвітніх середніх шкіл запропонований авторським колективом під керівництвом професора Л.С. Атанасяна [10].
Основними об’єктами (не означуваними поняттями) в ній є точка, пряма і площина, основними відношеннями між основними об'єктами - належність, лежати між, накладання (рівність), міра відрізка. Крім того, використовуються загальноматематичні поняття множина, число та ін.
У додатках до підручника з геометрії для 7-9 класів сформульовано 16 аксіом планіметрії:
1. Кожній прямій належать принаймні дві точки.
2. Існує принаймні три точки, які не лежать на одній прямій.
. Через будь-які дві точки проходить пряма, і притому тільки одна.
. Із трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між двома іншими.
5. Кожна точка О прямої розділяє її на дві частини (два промені) так, що будь-які дві точки одного променя лежать по один бік від точки О, а будь-які дві точки різних променів лежать по різні боки від точки О.
6. Кожна пряма α розділяє площину на дві частини (дві півплощини) так, що будь-які дві точки однієї і тієї ж півплощини лежать по один бік від прямої α , а будь-які дві точки різних півплощин лежать по різні боки від прямої α.
7. Якщо при накладанні збігаються кінці двох відрізків, то збігаються і самі відрізки.
8. На будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок, рівний даному, і притому тільки один.
9. Від будь-якого променя в даній півплощині можна відкласти кут, рівний даному нерозгорнутому куту, і притому тільки один.
10. Будь-яка фігура рівна сама собі.
11. Якщо фігура Ф рівна фігурі Ф^ ,то фігура Ф1 рівна фігурі Ф.
12. Якщо Ф1 = Ф2 і Ф2 = Ф3, то ФХ = ФД.
14.При вибраній одиниці вимірювання відрізків довжина кожного відрізка виражається додатним числом.
15.При вибраній одиниці вимірювання відрізків для будь-якого додатного числа існує відрізок, довжина якого виражається цим числом.
16. Через точку, яка не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даній.
У підручнику з геометрії для 10-11 класів цих же авторів [7] уже у вступі сформульовані три аксіоми стереометрії.
) Через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій, проходить площина, і притому тільки одна.
) Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині.
) Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму, на якій лежать всі спільні точки цих площин.
Далі доводяться два наслідки з перелічених аксіом:
1. Через пряму і точку, яка їй не належить, проходить площина, і притому тільки одна.
2. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площина, і притому тільки одна.
При введенні нових понять і доведенні теорем використовуються відомі з планіметрії твердження і деякі аксіоми.
Аксіоми першої групи характеризують взаємне розміщення точок, прямих і площин.
1. На кожній прямій і в кожній площині є точки.
2. Існують принаймні три точки, які не лежать на одній прямій, і принаймні чотири точки, які не лежать на одній площині.
3. Через будь-які дві точки проходить пряма, і притому тільки одна.
4. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і притому тільки одна.
5. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то і всі точки прямої лежать у цій площині.
6. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму, на якій лежать всі спільні точки цих площин.
7. З трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між двома іншими.
8. Кожна точка О прямої розділяє її на дві частини - два промені - так, що будь-які дві точки одного і того ж променя лежать по один бік від точки О, а будь-які дві точки різних променів лежать по різні боки від точки
9. Кожна пряма а, що лежить у площині, розділяє цю площину на дві частини (дві півплощини) так, що будь-які дві точки однієї і тієї ж півплощини лежать по один бік прямої а, а будь-які дві точки різних півплощин лежать по різні боки від прямої а.
10. Кожна площина а розділяє простір на дві частини (два півпростори) так, що будь-які дві точки одного і того ж півпростору лежать по один бік від площини а, а будь-які дві точки різних півпросторів лежать по різні боки від площини а.
Друга група аксіом належить до понять накладання і рівності фігур.
Перед формулюванням аксіом цієї групи вводиться відношення накладання як відображення простору на себе, при якому виконуються перелічені нижче аксіоми 11-17. Крім того, використовується поняття рівності фігур, яке визначається так.
Нехай Ф і Ф1 - дві фігури; якщо існує накладання, при якому фігура Ф відображається на фігуру Ф^ то говорять, що фігуру Ф можна сумістити накладанням з фігурою ФX або що фігура Ф рівна фігурі ФГ .
Третя група аксіом пов'язана з вимірюванням відрізків: це аксіоми 18, 19, вони мають той самий зміст, що і аксіоми 14-15 у планіметрії.
Четверта група - це аксіома паралельності.
. У будь-якій площині через точку,
що не лежить на даній прямій цієї площини, проходить тільки одна пряма,
паралельна даній.
РОЗДІЛ III.
АКСІОМАТИКА ШКІЛЬНОГО КУРСУ ГЕОМЕТРІЇ ЗА ПІДРУЧНИКОМ БУРДА М.І., ТАРАСЕНКОВА
Н.А. ГЕОМЕТРІЯ
3.1 Загальна
характеристика підручника геометрії (Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія)
Підручник з геометрії для 7 класу Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. побудовано відповідно до чинної Програми з математики 5 - 12 класів.
Навчальний матеріал спирається на наочність та геометричну інтуїцію учнів, на їхній життєвий досвід, робить його доступним. Вивчення геометричного факту, як правило розпочинається зі звернення до успіху учня «Ви вже знаєте, що…» з практичних дій або з аналізу відповідного прикладу, моделі чи конфігурації на малюнку. Це дає змогу учням з'ясувати істотні ознаки, властивості геометричної фігури, і на основі цього самостійно сформулювати відповідне твердження. Самостійно оволодіти навчальним матеріалом допоможе підкріплення його малюнками, які виконують не лише ілюстративну, а й евристичну роль - на малюнках кольором виділяються дані і шукані величини, допоміжні побудови тощо.
Зміст підручника спрямований на творчий розвиток учня. Іноді вважають що розвивальний ефект відбувається лише на основі вироблення вмінь доводити властивості геометричних фігур, застосовувати методи геометрії розуміння аксіоматичної побудови курсу, суті абстрактних геометричних конструкцій. Усе це так. Але, враховуючи значення геометрії у діяльності людини, сьогодні і в історичному контексті (започатковувалися і розвивалися інші науки), автори поряд з питаннями, пов’язаними з логічною побудовою курсу, якомога швидше використовували образно-чуттєвий, естетичний,художньо-графічний та емоційно-ціннісний потенціал геометрії.
Підручник добре ілюстрований. Кольорові фотографії та ілюстрації несуть ретельно продумане дидактичне навантаження.
В основному тексті кожного параграфа наводиться також типова задача та її розв’язання. Спосіб розв’язання такої задачі використовується в подальшому.
Тобто геометрична підготовка учня обов’язково включає діяльнісний компонент - де і як застосовувати набуті знання. Важливою особливістю підручника є систематизація геометричного матеріалу (таблиці, схеми, задачі-таблиці, класифікації). З одного боку це покращує застосування матеріалу до розв’язування задач, а з другого посилює зорове сприймання його побачив і запам’ятав.
Підручник розрахований на учнів з різними навчальними досягненнями. Для тих хто цікавиться геометрією, бажає поглибити свої знання, призначена рубрика «Дізнайтесь більше». Матеріал цієї рубрики досить різноманітний, цікавий та корисний для учнів. Школярі отримують можливість ознайомитися не лише з історичними відомостями, а й розширити та поглибити свої знання стосовно основного навчального матеріалу.